精品解析：广东工业大学北附教育港澳台联考2026届高三上学期第一次月考数学试卷

中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨､港澳地区､台湾省学生 广工大北附2026届第一次月考数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分 一､选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合、满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求出集合、，然后即可得到答案. 【详解】因为，， 所以，，∴． 故选：D 【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单. 2. 已知i是虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数运算化简复数，再求共轭复数即可. 【详解】，． 故选：B． 【点睛】本题考查复数的运算以及共轭复数的求解，属基础题. 3. 设为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角关系求得，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设为第三象限角，，∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负． 4. 已知向量，，.若为实数且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：，因为，则，选B； 考点：向量的坐标运算； 5. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由线面垂直的定义以及充分、必要条件的定义可判断. 【详解】已知，，，则，故充分性成立； 已知，，，则任何位置关系均可，故必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得圆心到直线的距离，解不等式即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知圆心到直线的距离，化简得， 故. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题. 7. 已知等比数列的前项和为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，用前项和公式化简可得. 【详解】因为，所以.由，得，即，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列基本量.等比数列基本量涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量． 8. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果. 【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况， 再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去， 5人被分为或 当5人被分为时，情况数为; 当5人被分为时，情况数为； 所以共有. 由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可， 当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则 共计种， 当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种， 所以甲不在小区的概率为 故选：B. 9. 设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值. 【详解】解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|可得|AF|m， 由抛物线的方程可得：F（1，0）， 过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'， 过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点， 则△BFD∽△BAC，所以， 即，解得：m， 所以2， 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题. 10. 设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】恰有3个零点等价于直线与的图象有3个不同的交点，利用导数刻画的函数图象后可得实数的取值范围. 【详解】恰有3个零点等价于在上恰有3个零点， 也就是直线与的图象有3个不同的交点， 令，则， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 所以. 因为时，，而当，， 结合的单调性可得的图象（如图所示）， 由直线与的图象有3个不同的交点可得， 故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点，注意把零点问题转化为动直线与不含参数的函数图象的位置关系来讨论，后者可利用导数和函数图象变换来考虑，本题属于中档题. 二､填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 二项式的展开式中的系数为__________. 【答案】70 【解析】 【分析】求二项式的展开式的通项，由条件求，由此可得结论. 【详解】由题意知二项式的展开式的通项为， 令， 则的系数为. 故答案为： 12. 若，则的最小值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】结合基本不等式可得. 【详解】解：因为，，所以，，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为:4. 【点睛】本题考查了基本不等式.运用基本不等式求解最值时，需要注意一正二定三相等. 13. 如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先把向量用表示出来，再根据平面向量基本定理可得到的值，即得答案. 【详解】由题意，设 ，， 取  中点 ，则 ， 重心  在中线  上，且 ， 故，  为  边上靠近  的四等分点， 即 ，而 ， 所以， 由，得： 因此： 故答案为： 14. 已知二次多项式除以的余式是1，除以的余式是2，除以的余式是4，则该二次多项式除以的余式是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】由题意有，，求出即可求解. 【详解】设 ， 所以，，解得， 故，，故该二次多项式除以的余式是. 故答案为： 15. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(－1,1)，且g(x)＝f(x－1)，则f(7)＋f(8)的值为__▲____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇偶性求出函数的周期，结合周期及奇函数的性质可求结果. 【详解】因为为偶函数，所以； 因为是奇函数，所以 所以，故为周期函数，且4是它的一个周期； 因为g(x)过点(－1,1)，所以,所以； 所以. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性求值时，一般是通过转化，把未知的函数值转化为已知. 三､解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 在中，分别为角所对的边，. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角公式化为的形式，然后正弦定理转化为边的关系，最后由余弦定理求得； （2）由面积公式求得，再由余弦定理求得。 【详解】（1）. ∴， 由正弦定理得，，，∴。 （2），， ∴，∴。 【点睛】本题考查二倍角公式，考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式。在解三角形问题中应用正弦定理、余弦定理时行边角转换，是常用方法。 17. 已知定义域为的函数且是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若，判断函数单调性，并求不等式对于恒成立时t的取值范围. 【答案】（1）2 （2）减函数， 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求出实数k的值并检验即可； （2）由可得，根据函数解析式判断单调性，利用函数奇偶性和单调性得到对于恒成立，由基本不等式求出的最大值即可. 【小问1详解】 定义域为的函数且是奇函数， 则有，解得. 所以，函数定义域为， ，满足为奇函数， 所以实数k的值为. 【小问2详解】 ，由，可得， 则函数在R上单调递减，函数在R上单调递增， 所以在R上单调递减. 不等式，可得， 由函数单调性可知对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，有， 即t的取值范围为. 18. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【小问1详解】 对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； 【小问2详解】 由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 19. 已知椭圆：（）的离心率是，原点到直线的距离等于. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若椭圆上总存在两个点关于直线对称，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先根据题意建立方程组并求得，，再求椭圆的标准方程； （2）先根据题意设直线的方程并联立化简整理得，接着求出，再设并表示出的中点坐标，结合点在直线上，得到代入，求得，接着根据题意表示出和并结合求得，最后求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率是，原点到直线的距离等于， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）根据题意可设直线的方程为，联立，整理得， 由，得．设，则 又设的中点为，则. 由于点在直线上，所以，得代入，得，所以， 因为，所以 .由，得，即，所以，即， 所以，解得. 实数的取值范围为. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、根据向量的数量积求参数范围，是偏难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨､港澳地区､台湾省学生 广工大北附2026届第一次月考数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分 一､选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合、满足，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，.若为实数且，则 A. B. C. D. 5. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 6. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 10. 设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 二项式的展开式中的系数为__________. 12. 若，则的最小值为_______. 13. 如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 14. 已知二次多项式除以的余式是1，除以的余式是2，除以的余式是4，则该二次多项式除以的余式是__________. 15. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(－1,1)，且g(x)＝f(x－1)，则f(7)＋f(8)的值为__▲____． 三､解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 在中，分别为角所对的边，. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求. 17. 已知定义域为的函数且是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若，判断函数单调性，并求不等式对于恒成立时t的取值范围. 18. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 19. 已知椭圆：（）的离心率是，原点到直线的距离等于. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若椭圆上总存在两个点关于直线对称，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $