课时测评17 两角和与差的正弦、正切-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评17　两角和与差的正弦、正切 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°等于(　　) A．0 B． C． D．1 答案：D 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.故选D． 2．已知cos α＝－，α∈，则sin＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 解析：因为cos α＝－，α∈，所以sin α＝＝，所以sin＝sin αcos －sin cos α＝(sin α－cos α)＝＝.故选A． 3．已知2cos(π＋θ)＝sin(－θ)，则tan＝(　　) A． B． C．－1 D．－3 答案：D 解析：2cos(π＋θ)＝sin(－θ)⇒－2cos θ＝－sin θ，所以tan θ＝2，则tan＝＝＝－3.故选D． 4.等于(　　) A． B． C．tan 6° D． 答案：A 解析：因为＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，所以原式＝＝.故选A． 5．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：因为cos B＝且0<B<π，所以sin B＝.又A＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝.故选A． 6．sin 67°cos 37°－cos 67°sin 37°＝__________． 答案： 解析：sin 67°cos 37°－cos 67°sin 37°＝sin(67°－37°)＝sin 30°＝. 7．已知sin(α＋π)＝－，则tan＝__________． 答案：－7或－ 解析：由sin(α＋π)＝－得sin α＝，因为sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±，则tan α＝±，则tan＝，将tan α＝±代入，知tan＝－7或tan＝－. 8．已知sin α＝，cos β＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)＝__________． 答案： 解析：sin α＝，cos β＝－，α∈，β∈，所以cos α＝＝＝sin β＝＝＝，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. 9．(10分)求下列各式的值： (1)；(2分) (2)；(2分) (3)sin 35°cos 25°＋sin 55°cos 65°；(3分) (4)cos 28°cos 73°＋cos 62°cos 17°.(3分) 解：(1)＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝. (2)＝＝tan(45°－75°)＝－tan 30°＝－. (3)sin 55°＝cos(90°－55°)＝cos 35°， cos 65°＝sin(90°－65°)＝sin 25°， 所以sin 35°cos 25°＋sin 55°cos 65° ＝sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25° ＝sin(35°＋25°)＝sin 60°＝. (4)cos 62°＝cos(90°－28°)＝sin 28°， cos 17°＝cos(90°－73°)＝sin 73°， 所以cos 28°cos 73°＋cos 62°cos 17° ＝cos 28°cos 73°＋sin 28°sin 73° ＝cos(73°－28°)＝cos 45°＝. 10．(13分)已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值． 解：因为α∈，tan α＝4， 所以sin α＝4cos α①， sin2α＋cos2 α＝1②， 由①②得sin α＝，cos α＝， 因为α＋β∈(0，π)， cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. (11－13每小题5分，共15分) 11．(多选)下列式子的运算结果为的是(　　) A．2(sin 35°cos 25°－cos 35°sin 25°) B．2(cos 35°cos 5°＋sin 35°sin 5°) C．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° D． 答案：BC 解析：对于A，2(sin 35°cos 25°－cos 35°sin 25°)＝2sin(35°－25°)＝2sin 10°≠，故A错误；对于B，2(cos 35°cos 5°＋sin 35°sin 5°)＝2cos(35°－5°)＝2cos 30°＝2×＝，故B正确；对于C，由于tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，所以tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)[1－tan 25°tan 35°]＋tan 25°tan 35°＝tan 60°(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝，故C正确；对于D，＝×＝×tan ＝，故D错误．故选BC． 12．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos＝________． 答案： 解析：因为＜α＜π，0＜β＜，所以＜＜，0＜＜，＜α＋β＜.所以＜α－＜π，－＜－β＜，＜＜.又cos＝－，sin＝，所以sin＝，cos＝.所以cos ＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－＋＝. 13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β＝________． 答案：－π 解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.又因为α∈(0，π)，而tan α>0，所以α∈.tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.因为tan β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，所以α－β∈(－π，0)；由tan(α－β)＝>0，得α－β∈，所以2α－β∈(－π，0)；又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－. 14．(5分)(新定义)形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________． 答案：－1 解析：＝sin 15°－cos 15°＝2＝2sin(15°－45°)＝2sin(－30°)＝－1. 15．(17分)(开放题)观察以下各式： tan 60°－tan 60°tan 30°－tan 30°＝1； tan 50°－tan 50°tan 20°－tan 20°＝1； tan 45°－tan 45°tan 15°－tan 15°＝1. 分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式． 解：tan α－tan αtan β－tan β＝1，其中α－β＝30°， 证明：tan＝＝tan 30°＝， 则tan α－tan β＝， 则左边＝－tan αtan β＝×－tan αtan β＝1＝右边． 故等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $