8.2.3 倍角公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学倍角公式核心知识点，通过引导学生回顾两角和的正弦、余弦、正切公式，逐步推导得出二倍角公式，包括sin2α=2sinαcosα、cos2α的三种形式及tan2α公式，同时梳理升幂降幂等变形，构建完整知识脉络。 资料以问题链驱动公式推导，培养逻辑推理素养，通过正用逆用、条件求值等题型（如例1计算cos20°cos40°cos80°）提升数学运算能力，微专题拓展公式灵活应用。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

8．2.3　倍角公式 知识 目标 1.理解倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．　2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换. 素养 目标 通过倍角公式的推导和应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 问题1.请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式． 提示：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；tan(α＋β)＝. 问题2.在上述公式中，当α＝β时，你能推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示：sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan 2α＝tan(α＋α)＝. 问题3.结合同角间的三角函数的平方关系，你能将cos 2α的式子用只含有sin α或cos α的形式表示吗？ 提示：cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－sin2α－sin2α＝1－2sin2α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1. 知识点一　二倍角公式 记法 公式 推导 S2α sin 2α＝2sin__αcos__α S(α＋β)S2α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C2α cos 2α＝1－2sin2α cos 2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α T2α tan 2α＝ T(α＋β)T2α 知识点二　二倍角公式的变形 1．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α； 1－cos 2α＝2sin2α. 2．降幂公式：cos2α＝； sin2α＝. [微提醒]　细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． (3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用． 1．若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：因为sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.故选B． 2.sin 15°cos 15°的值等于(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：原式＝×2sin 15°cos 15°＝×sin 30°＝. 学生用书↓第74页 3．已知α是第二象限角，且sin α＝，则sin 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：α是第二象限角，且sin α＝，所以cos α＝－＝－，则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.故选D． 4．已知sin x－2cos x＝0，则tan 2x＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：由sin x－2cos x＝0⇒tan x＝2，则tan 2x＝＝－.故选C． 5.等于________． 答案： 解析：原式＝＝＝. 题型一　二倍角的正用、逆用 例1　 (1)若sin θ＝，θ∈，则sin 2θ＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________； (3)计算：＝________． 点拨：(1)sin 2θ＝2sin θcos θ. (2)构造二倍角的正弦公式，分母视为1，分子分母同时乘以2 sin 20°. (3)运用二倍角的正切化简求值． 答案：(1)A　(2)　(3)2 解析：(1)因为sin θ＝，θ∈，所以cos θ＝－＝－，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.故选A． (2)原式＝＝＝＝＝. (3)原式＝＝＝2. 应用二倍角公式化简(求值)的策略 1．化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．　　 2．公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α， sin αcos α＝sin 2α，cos α＝， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. 对点练1.求下列各式的值： (1)2sin 67°30′cos 67°30′； (2)cos2－sin2； (3)2cos2－1； (4)1－2sin2 75°. 解：(1)2sin 67°30′cos 67°30′＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝. (2)cos2－sin2＝cos＝cos＝. (3)2cos2－1＝cos＝cos＝. (4)1－2sin2 75°＝cos(2×75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－. 题型二　根据条件求值 例2　 (1)若＝，则tan 2α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 点拨： (1),将已知式 化弦为切→,求出tan α→,代入二倍角的正 切公式求tan 2α (2)将已知式平方可得sin 2α，结合α为第二象限角可求cos α－sin α，从而利用cos 2α＝cos2α－sin2 α求值． 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)将等式＝左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0)，得＝，解得tan α＝－3，所以tan 2α＝＝.故选B． (2)将sin α＋cos α＝两边同时平方，得1＋sin 2α＝，则sin 2α＝－，所以(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α－sin α＝－，所以cos 2α＝cos2 α－sin2 α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝×＝－.故选A． 学生用书↓第75页 三角函数求值问题的一般思路 1．一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形；将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．注意几种公式的灵活应用，如： (1)sin 2x＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2； (2)cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos.　　 对点练2.(1)已知sin α＝，且α∈，求cos 2α，sin 2α的值． (2)已知0<α<，cos＝. ①求cos α的值； ②求sin 2α的值． 解：(1)因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－＝－， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝－， sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－. (2)①因为0<α<，所以<＋α<， 所以sin>0， 由cos＝， 所以sin＝＝， 所以cos α＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝. ②sin 2α＝－cos＝－cos ＝1－2cos2＝1－＝. 题型三　简单的化简证明 例3　 (1)已知＝，则tan α＋等于(　　) A．－8 B．8 C． D．－ (2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B． 点拨：(1)先由二倍角公式及两角和公式展开， 再化切为弦求值． (2)证明时由繁入简，即从等式左边入手，利用二倍角公式的变形公式化简，证明． 答案：(1)A 解析：(1)由＝＝cos α－sin α＝，可得(cos α－sin α)2＝，所以sin αcos α＝－，所以tan α＋＝＋＝＝－8. (2)证明：左边＝－＝ ＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边， 所以等式成立． 三角函数式的化简与证明 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出；(2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低． 2．证明三角恒等式的方法：(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；(2)比较法．左边－右边＝0，左边/右边＝1；(3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　　 对点练3.化简：(1)－； (2). 解：(1)原式＝ ＝＝tan 2θ. (2)原式＝ ＝＝＝ ＝1. 学生用书↓第76页 微专题(四)　规律方法 合理配凑、巧用倍角公式求解 求cos cos cos cos cos 的值． 点拨：添加“sin ”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式． 解：原式＝－cos cos cos cos cos ＝ ＝ ＝ ＝＝＝. [名师点评]　本题体现了对二倍角公式的巧用，通过分子、分母同乘以24sin 后，出现了“多米诺”链接效应，连续逆用二倍角正弦公式后获得结果，具体计算时要注意“2”的次方幂，不要数错．一般地，sin 2nα＝2·sin 2n－1α·cos 2n－1α⇒cos αcos 2αcos 22α…cos 2n－1α＝. 1．下列各式中，不一定成立的是(　　) A．sin 8α＝2sin 4αcos 4α B．1－cos 2α＝2sin2α C．(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α D．tan 2α＝ 答案：D 解析：由二倍角公式可知A、B、C项均一定成立，D项中的等式不一定成立．故选D． 2．(新角度)将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比值为无理数，该值恰好等于2sin 18°，则cos 36°＝(　　) A．－2 B． C． D． 答案：C 解析：因为2sin 18°＝，所以sin 18°＝，所以cos 36°＝1－2sin218°＝1－2×＝.故选C． 3．(多选)下列选项中，值为的是(　　) A．cos72°cos36° B．sinsin C．cos20°cos 40°cos80° D．－cos215° 答案：AB 解析：对于A，cos72°cos36°＝＝＝＝＝，故A正确；对于B，sinsin＝cossin＝sin＝，故B正确；对于C，cos20°cos40°cos80°＝＝＝＝＝＝，故C错误；对于D，－cos215°＝＝－＝－，故D错误．故选AB． 4．在△ABC中，若tan A＝，tan B＝2，则tan(2A＋2B)＝________． 答案： 解析：因为tan A＝，tan B＝2，所以tan(A＋B)＝＝＝－2.所以tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $