8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦两角和与差的正弦、正切公式这一核心知识点，以两角和差的余弦公式为基础，通过诱导公式推导两角和的正弦公式，类比得到差角正弦公式，再结合正余弦公式推导出正切公式，构建从已知到未知的学习支架。 该资料通过问题链引导学生自主推导公式，培养逻辑推理核心素养，例题分给角求值、给值求值、给值求角等题型并附方法总结，提升数学运算能力。课中辅助教师授课，课后助力学生回顾强化，有效查漏补缺，体现用数学思维思考和语言表达现实世界的学科特色。

8．2.2　两角和与差的正弦、正切 知识 目标 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．　2.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．　3.能利用两角和与差的正弦、正切公式及变形解决简单的化简、求值问题. 素养 目标 通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式、正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养；借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式、正切公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养. 问题1.(1)由诱导公式及两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？ (2)用类比的方法，由sin(α＋β)能推导出sin(α－β)吗？ 提示：(1)sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 问题2.你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示：tan(α＋β)＝＝.分子、分母同时除以cos αcos β(当cos αcos β≠0时)，得到两角和的正切公式tan(α＋β)＝，用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β)＝. 知识点一　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝ sin__αcos__β＋cos__αsin__β α，β∈R 两角差 的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝ sin__αcos__β－cos__αsin__β α，β∈R [微提醒]　应用两角和与差的正弦公式应注意以下几点 (1)和差角的正弦公式不能按分配律展开，即 sin(α＋β)≠sin α＋sin β， 如sin≠sin ＋sin . (2)α，β中有一个角为的整数倍时，利用诱导公式较为简便． 知识点二　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠ kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 tan(α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠ kπ＋(k∈Z) [微提醒]　公式T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 学生用书↓第70页 1．tan 75°＝(　　) A．2＋ B．1＋ C． D．2－ 答案：A 解析：tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选A． 2．在△ABC中，cos A＝－，tan B＝，则tan (A－B)＝(　　) A．－2 B．－ C． D．2 答案：A 解析：因为A∈(0，π)，由cos A＝－得sin A＝，则tan A＝－1，则tan(A－B)＝＝＝＝＝－2.故选A． 3.的值为(　　) A． B．1 C． D．2 答案：B 解析：因为＝＝×tan(45°－15°)＝×＝1.故选B． 4．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的最大值是(　　) A．1 B．2 C．－ D． 答案：B 解析：因为函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)＝2＝2(sin xcos 60°－cos xsin 60°)＝2sin(x－60°)，所以函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的最大值为2.故选B． 5．在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是________． 答案： 解析：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，所以sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝×－×＝. 题型一　利用两角和差公式求三角函数式的值 例1　 求下列各式的值： (1)； (2)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°； (3)(tan 10°－) ·； (4)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)． 点拨：(1)观察式子不难发现47°＝17°＋30°，然后结合两角和的正弦公式即可求解． (2)观察式子我们不难发现45°＝12°＋33°，然后逆用两角和的正切公式即可求解． (3)化切为弦，再逆用两角差的正弦公式． (4)先由式子(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)展开可得1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°，结合第(2)小题的结构特征我们即可快速求解． 解：(1)原式＝ ＝ ＝＝. (2)因为＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1， 所以tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°， 所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. (3)原式＝(tan 10°－tan 60°)· ＝· ＝· ＝－·＝－＝－2. (4)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°·tan 24°. 由tan 45°＝tan(21°＋24°)＝＝1，得 tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1， 所以(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2， 同理可得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 所以原式＝2×2＝4. 1．解给角求值问题的基本思路 给角求值问题中，所给角往往都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： (1)逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值． (2)化为正、负相消的项，消去求值． (3)分子、分母出现公约数时进行约分求值． 2．解决三角函数求值的四个切入点 (1)观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角． (2)观察函数特点，向同名函数转化：弦切互化，通常是切化弦． (3)利用辅助角公式：asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)，其中tan φ＝. (4)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式．　　 对点练1.求值： (1)sin 25°sin 215°＋sin 65°cos 35°； (2). 解：(1)原式＝sin 25°(－sin 35°)＋cos 25°·cos 35° ＝cos 25°cos 35°－sin 25°sin 35° ＝cos(25°＋35°) ＝cos 60°＝. (2)原式＝＝tan ＝tan ＝tan＝－tan ＝－. 学生用书↓第71页 题型二　给值求值(给条件求值) 例2　 (1)已知cos θ＝－，θ∈，求tan(θ－)的值． (2)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值． (3)已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，求tan(α＋)． 点拨：(1)由cos θ的值及θ的取值范围求出tan θ. (2)由α，β的范围，求α－β，α＋β的三角函数值代入sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]求值． (3)由tan＝tan求值． 解：(1)因为cos θ＝－，θ∈， 所以sin θ＝－＝－， 所以tan θ＝＝. 所以tan(θ－)＝＝＝－. (2)因为cos(α－β)＝＞0，＜β＜α＜， 所以0＜α－β＜，所以sin(α－β)＝. 又sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜， 所以cos(α＋β)＝－. 所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－×－× ＝－. (3)tan＝tan ＝＝＝. 解决给条件求值问题的基本思路及常用技巧 1．根据已知角与未知角之间的联系，运用拆角和拼角技巧、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形，化未知为已知，从而达到求解的目的． 2．当角之间符合以下规律：＋＝＋(α＋β)，＋＝＋(α－β)时，要配合使用诱导公式． 3．在给值求值的问题中要注意隐含条件，尤其是角的取值范围． 对点练2.已知cos＝，sin＝，α∈，β∈，求sin(α＋β)的值． 解：因为α∈，β∈，cos＝， －α∈， 所以sin＝－＝－. 由＋β∈，sin＝， 可得cos＝， 所以sin(α＋β)＝sin ＝sincos－cossin ＝×－×＝. 题型三　给值求角 例3　 已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值． 点拨：(1)由0<α<，cos α求sin α. (2)由α，β的范围，求α＋β的范围，再求cos(α＋β)． (3)β＝(α＋β)－α. 解：因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝. 又因为0<β<，所以0<α＋β<π. 因为sin(α＋β)＝<sin α，所以<α＋β<π，cos(α＋β)＝－， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝×－×＝. 又因为0<β<，所以β＝. 学生用书↓第72页 解决给值(式)求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定．当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值；当所求角范围是或时，选取求正弦值．　　 对点练3.(1)已知sin α＝，α∈，sin(α＋β)＝，β∈ ，求β的值． (2)已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值． 解：(1)由sin α＝，α∈，得cos α＝， 又sin α＝<，所以α∈，β∈ , 所以α＋β∈， 又因为sin(α＋β)＝，所以cos(α＋β)＝， 所以sin β＝sin(α＋β－α) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝， 因为β∈，所以β＝. (2)因为tan α＝<1，tan β＝<1，且α，β均为锐角， 所以α，β∈，所以α＋2β∈， 又tan 2β＝＝＝， 所以tan(α＋2β)＝＝＝1， 故α＋2β＝. 1．若0<α<，0<β<，cos α＝，cos β＝，则sin(α＋β)＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由0<α<，0<β<，cos α＝，cos β＝， 得sin α＝＝，sinβ＝＝， 所以sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.故选C． 2．已知tan α＝－，则tan等于(　　) A．－ B．－5 C． D．5 答案：D 解析：tan＝＝＝5.故选D． 3．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1. 又因为α为锐角，所以0<2α<π，所以2α＝，所以α＝.故选C． 4.＝________． 答案：－ 解析：＝ ＝＝tan(15°－45°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $