8.2.1 两角和与差的余弦-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“两角和与差的余弦”核心知识点，先通过向量数量积推导两角差的余弦公式，再由此推导出两角和的余弦公式，构建“观察数据—公式推导—应用化简”的学习支架，辅以公式结构微提醒与题型分类指导。 该资料以数据观察引导学生发现公式规律，培养数学眼光，通过向量法推导公式强化逻辑推理，结合给值求值中角的变换等实例提升数学运算素养。课中助力教师系统授课，课后学生可借例题与易错分析查漏补缺，巩固知识。

8.2　三角恒等变换 8．2.1　两角和与差的余弦 知识 目标 1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．　2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．　3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值. 素养 目标 通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养；借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生数学运算核心素养. 观察下表中的数据： cos (60°－30°) cos (60°＋30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30° 0 cos (120°－60°) cos (120°＋60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60° －1 － 问题．从中你能发现cos(α－β)，cos(α＋β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？ 提示：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 知识点一　两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β． 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系，称为两角差的余弦公式，简记为Cα－β. [微提醒]　(1)有了公式Cα－β，我们只要知道cos α，cos β，sin α，sin β的值，就可以求得cos(α－β)的值． (2)cos(α－β)＝cos α－cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立，例如，当α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°. 学生用书↓第66页 知识点二　两角和的余弦公式 对于任意α、β有cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β． 此公式即为两角和的余弦公式，记为Cα＋β. [微提醒]　两角和与差的余弦公式的结构特征 比较公式Cα＋β和Cα－β，可得二者的结构特征： 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”． (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“－”，两角差的余弦展开后两项之间用“＋”． 1．cos 15°的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.故选B． 2．cos 72°cos 12°＋sin 72°·sin 12°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析： cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos(72°－12°)＝cos 60°＝.故选B． 3．cos 50°cos 10°－sin 50°·sin 170°＝(　　) A．cos 40° B．sin 40° C． D． 答案：C 解析：cos 50°cos 10°－sin 50°sin 170°＝cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°＝cos 60°＝.故选C． 4．计算cos 20°cos 80°＋sin 160°cos 10°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 解析：cos 20°cos 80°＋sin 160°cos 10°＝cos 20°cos 80°＋sin 20°sin 80°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.故选A． 5．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝_____________________________. 答案： 解析：因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，所以cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝. 题型一　运用公式化简求值 例1　 化简求值： (1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (2)cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β. 点拨：(1)由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角． (2)利用公式求值． 解：(1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝. (2)原式＝cos[(α－β)＋β]＝cos α. 两角和与差的余弦公式常见题型及解法 1．两特殊角之和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解． 2．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解． 3．求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解．　　 对点练1.求值： (1)cos 75°＝________； (2)计算cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝ ________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)cos 75°＝cos (45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝×－×＝. (2)因为cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝. 题型二　给值求值问题 例2　 (1)若cos(α＋)＝，α∈(0，)，则sin α的值为(　　) A． B． C． D． 学生用书↓第67页 (2)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)＝________． 点拨：(1)由已知利用两角和的余弦公式可求出cos α＝＋sin α，结合同角三角函数的基本关系式可得2sin2α＋sin α－＝0，从而求得sin α的值．也可以利用角的变换来求得最后结果． (2)由定义可求cos α，由cos β可求sin β再利用两角差的余弦公式求cos(α－β)． 答案：(1)A　(2)－ 解析：(1)方法一　因为cos(α＋)＝，α∈，所以sin α＞0，所以cos α－sin α＝，即cos α＝＋sin α.因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以sin2 α＋＝1，即2sin2 α＋sin α－＝0，解得sin α＝.故选A． 方法二　由题意得α＋∈，则sin＝ ＝ ＝，所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，所以sin α＝＝.故选A． (2)由sin α＝，α∈，得cos α＝－＝－＝－.又由cos β＝－，β是第三象限角，得sin β＝－＝－＝－.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 给值求值的解题策略 1．利用两角和与差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式． 2．常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＝(α－β)＋β，β＝α－(α－β)等．　　 对点练2.(1)已知cos α＝，α∈，则cos＝(　　) A． B． C． D． (2)已知cos＋sin α＝，求cos＝______． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)因为cos α＝，α∈，所以sin α＝－＝－，所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.故选D． (2)因为cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝，所以cos＝. 题型三　由三角函数值求角 例3　 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且0<β <α<，求β值． 点拨：(1)β＝(α＋β)－α. (2)由cos α，cos(α＋β)，求sin α，sin(α＋β)注意角的取值范围． 解：因为0< β<α<，所以0<α＋β<π， 由cos α＝，cos(α＋β)＝－， 得sin α＝，sin(α＋β)＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝. 又β∈， 所以β＝. 给条件求值问题的解题思路和常用技巧 所谓给条件求值，本质上是寻求差异，包括角的差异和函数名的差异，因而三角变换求值本质上是差异分析，不妨称之为差异分析法．即在探求过程中不断寻求角的差异、函数名的差异，并运用角的变换和函数名的变换使得差异趋同进而解决问题． 1．解给值求值型问题的一般思路是：先观察公式中的量，了解哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系式求出待求值，注意根据角的终边所在的象限确定三角函数值的符号． 2．解给值求角型问题一般分下列三个步骤：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围；③根据范围确定角． 3．正用、逆用两角和与差的余弦公式时，常用到角的变换和特殊角的三角函数值与三角函数的变换．确定求所求角的哪种三角函数值是有规律可循的：一般地，若角的范围是，，选正弦、余弦函数皆可；若角的范围是，最好选正弦函数；若角的范围是(0，π)，最好选余弦函数．　　 对点练3.已知α，β为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β的值是(　　) A． B． C．或 D．或 答案：B 解析：α，β为锐角，且cos α＝，cos β＝，所以sin α＝，sin β＝，且α＋β∈(0，π)，则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×，＝－，则α＋β＝.故选B． 学生用书↓第68页 易错点　忽视角的范围致误 已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，求cos A． 正解：因为在△ABC中，由cos B＝－<0， 所以B为钝角，且sin B＝. 因为B为钝角，所以A＋B为钝角． 因为sin(A＋B)＝可得cos(A＋B)＝－. 所以cos A＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B＝－×＋×＝. 易错探因：本题易忽略角的范围而得到下面的错解： 因为cos A＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B， 在△ABC中，由cos B＝－， 可得sin B＝， 由sin(A＋B)＝可得cos(A＋B)＝±， 所以cos A＝×＋×＝. 误区警示：处理三角函数给值求值问题时，应首先确定角的范围，注意对题中隐含条件的挖掘．特别在三角形中，A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)． 1．cos 40°＝(　　) A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10° 答案：A 解析：cos 40°＝cos(30°＋10°)＝cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°.故选A． 2．化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为(　　) A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β) C．cos α D．cos β 答案：C 解析：原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.故选C． 3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α＋β)的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：因为α为锐角，且cos α＝，所以sin α＝＝.因为β为第三象限角，且sin β＝－，所以cos β＝－＝－，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.故选B． 4．已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________． 答案： 解析：因为α，β均为锐角，所以cos α＝，cos β＝.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又因为sin α>sin β，所以0<β<α<，所以0<α－β<.故α－β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $