8.1.3 向量数量积的坐标运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面向量数量积的坐标运算核心知识点，通过单位正交基底推导数量积坐标公式，衔接向量模、夹角及垂直的坐标表示，构建“定义推导—公式应用—几何意义”的学习支架，系统梳理前后知识逻辑。 资料以问题链引导学生自主推导公式，如通过单位向量乘积探究数量积坐标表示，培养逻辑推理素养。例题涵盖代数运算与几何应用，搭配对比辨析（如平行与垂直坐标条件），提升数学运算能力。课中助力教师引导探究，课后习题帮助学生巩固提升，查漏补缺。

8.1.3　向量数量积的坐标运算 知识 目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．　2.能运用向量数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式．　3.能根据向量的坐标判定两个向量垂直. 素养 目标 通过推导向量数量积的坐标运算及通过求夹角与模，体会逻辑推理素养与数学运算素养，培养学生数学抽象核心素养；利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算核心素养. 平面向量数量积的坐标表示，使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究． 问题1.在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 问题2.若向量a＝(x，y)，你能计算出向量a的模吗？若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能计算出的模吗？ 提示：根据a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝，＝(x2－x1，y2－y1)， 则＝. 问题3.你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为时，得到的结论是什么？ 提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝. 当夹角为时，x1x2＋y1y2＝0. 学生用书↓第61页 知识点一　向量数量积的坐标表示 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1，e2}，使得a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，因此a·b＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)＝x1x2e1·e1＋x1y2e1·e2＋y1x2e2·e1＋y1y2e2·e2＝x1x2＋y1y2，从而a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (1)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． (2)当x1x2＋y1y2＜0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＞0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＝0时，θ＝.因此可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的范围、三角形的形状等． 知识点二　向量的模与夹角的坐标表示 1．向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝． 两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝． 2．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，cos〈a，b〉＝＝． [微提醒]　已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，所以不存在讨论角的终边所在象限的问题． 知识点三　用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由于a⊥b⇔a·b＝0，故a·b＝x1x2＋y1y2＝0，即a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 即两个向量垂直的等价条件是它们相应坐标乘积的和为0. [微提醒]　(1)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下： a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0. 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． (2)垂直向量的坐标之间的关系：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为坐标平面内的三个点，则⊥⇔·＝0⇔(x3－x1)(x2－x1)＋(y3－y1)(y2－y1)＝0. 1．若向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，则a·b＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 答案：D 解析：a·b＝－2＋6＝4.故选D． 2．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，且a·b＝3，则x＝(　　) A．－3 B．3 C． D．－ 答案：B 解析：因为向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，且a·b＝3，所以－x＋6＝3，解得x＝3.故选B． 3．设向量a＝(0，2)，b＝(，1)，则a，b的夹角等于(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为a＝(0，2)，b＝(，1)，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0×＋2×1＝2 ，又|a|＝|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π] ，所以〈a，b〉＝.故选A． 4．已知a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________． 答案：2 解析：因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2. 5．已知平面向量a＝(4，3)，2a－b＝(2，－2)，则a与b的夹角余弦值等于________． 答案： 解析：因为a＝(4，3)，2a－b＝(2，－2)，设b＝(x，y)，所以2a－b＝(8－x，6－y)＝(2，－2)⇒x＝6，y＝8⇒b＝(6，8)，所以cos〈a，b〉＝＝＝. 学生用书↓第62页 题型一　向量数量积的坐标运算 角度1　向量数量积的简单运算 例1　 已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)． 点拨：思路一　将(3a－b)·(a－2b)展开，合并同类项→求a·b，a2，b2→代入求解 思路二　求出3a－b，a－2b的坐标→求数量积 解：方法一　(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2. 因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8， a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13， 所以(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 方法二　因为a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， 所以3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4，3)， 所以(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15. 角度2　几何图形中的向量数量积 例2　 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·的值是________． 点拨：根据所给图形建立平面直角坐标系，用向量坐标进行求解． 答案： 解析：如右图，以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，E(，1)，所以＝(，0)，＝(，1)．设F(t，2)(0≤t≤)，则＝(t，2)，＝(t－，2)．因为·＝t＝，所以t＝1，则＝(t－，2)＝(1－，2)，所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 数量积坐标运算的两个途径 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　　 对点练1.已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________． 答案： 解析：设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以解得所以c＝. 题型二　平面向量的模 例3　 (1)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝(　　) A． B． C．2 D．5 (2)若a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|＝(　　) A． B． C．2 D．2 点拨：(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0. (2)求向量模的方法 ①利用公式|a|＝求解； ②利用数量积求解； ③利用公式a2＝|a|2求解． 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝－.所以a＋b＝＋(1，－2)＝，|a＋b|＝ ＝. (2)由已知得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5，所以a·b＝0，所以(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4－0＋4＝8，所以|2a－b|＝2. 求向量的模的两种基本策略 1．字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． 2．坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　　 对点练2.(1)已知向量＝(－1，2)，＝(x，－5)，若·＝－7，则||＝(　　) A．5 B．4 C．6 D．5 (2)已知|a|＝10，b＝(1，2)，且a·b＝10，则a的坐标为________． 答案：(1)A　(2)(10，0)或(－6，8) 解析：(1)由已知向量＝(－1，2)，＝(x，－5)，又·＝－7，所以(－1，2)·(x，－5)＝－7⇒－x－10＝－7⇒x＝－3，即＝(－3，－5)，所以＝＋＝(－4，－3)，所以||＝＝5.故选A． (2)设a的坐标为(x，y)，由题意得即解得或所以a＝(10，0)或a＝(－6，8)． 学生用书↓第63页 题型三　平面向量的夹角 例4　 (1)已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° (2)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝__________________________________________________. 点拨：(1)先求出a·c，再利用公式cos θ＝求解． (2)先求c，再利用公式cos θ＝求解． 答案：(1)D　(2)2 解析：(1)方法一　依题意得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.设c＝(x，y)，因为(a＋b)·c＝，所以x＋2y＝－.又a·c＝x＋2y，所以cos〈a，c〉＝＝＝＝－.又0°≤〈a，c〉≤180°，所以a与c的夹角为120°.故选D． 方法二　因为a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，所以|a|＝，a＋b＝(－1，－2)＝－a.又(a＋b)·c＝，所以(a＋b)·c＝－a·c＝，即a·c＝－，所以cos〈a，c〉＝＝＝－.又0°≤〈a，c〉≤180°，所以〈a，c〉＝120°.故选D． (2)方法一　由已知得c＝(m＋4，2m＋2)，因为cos〈c，a〉＝，cos〈c，b〉＝，所以＝.由已知得|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，解得m＝2. 方法二　易知c是以ma，b对应线段为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以该平行四边形为菱形．由已知得|b|＝2|a|，|ma|＝|b|，即m|a|＝|b|，所以m＝2. 利用数量积求两向量夹角的步骤 对点练3.(1)已知单位向量a，b，c，满足a＋b＝c，则向量a和b的夹角为(　　) A． B． C． D． (2)已知向量a＝(2，－1)，b＝(0，1)，(a＋kb)·b＝3，则k＝________． 答案：(1)A　(2)4 解析：(1)单位向量a，b，c，满足a＋b＝c，所以(a＋b)2＝1＋1＋2cos〈a，b〉＝1，解得cos〈a，b〉＝－，所以0≤〈a，b〉≤π，所以向量a和b的夹角为.故选A． (2)因为向量a＝(2，－1)，b＝(0，1)，所以(a＋kb)·b＝a·b＋kb2＝－1＋k，又－1＋k＝3，解得：k＝4. 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，则a·(2a＋b)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案：A 解析：由题意，向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，可得a2＝2，a·b＝1×(－1)＋(－1)×3＝－4，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×2－4＝0.故选A． 2．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：|a|＝＝5，|b|＝＝13，a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝.故选A． 3．已知向量a＝，b＝，若⊥，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D 解析：因为a＝，b＝，所以a＋λb＝，a＋μb＝，由⊥可得，·＝0，即＋＝0，整理得λμ＝－1.故选D． 4．已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________． 答案：7　 解析：＝(1，－3)，所以·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3，2)，所以||＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $