8.1.3 第2课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 10.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=10,求： 解：.a=(1,2),b=(-2,-3), (1)向量a的坐标； .c=2a十b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1), 4(2)若c=(2,-1),求(a·c)·b. d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2 解：(1)a与b同向，且b=(1,2), 3m), ∴.a=b=(入，2λ)（入>0）. ∴.c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m. 又a·b=10,∴.入+4入=10， 又，|cl=1,|d=J(1-2m)+(2-3m)2, ∴.λ=2，∴.a=(2,4). cos46°=cd= c·d 2-3m (2).a·c=2×2+(-1)X4=0, √/(1-2m)2+(2-3m)月 ∴.(a·c)·b=0·b=0. 2 11.已知a=(4,-3),b=(-1,2). (1)求a+b与a一b夹角的余弦值； 化简得5m-8m十3=0，解释m=1或m=景 (2)若(a-b)⊥(2a十b),求实数入的值. 13.已知平面直角坐标系中，A(0,4),B(2,0),P(3,t). 解：(1)a十b=(3,-1),a-b=(5,-5), (1)若A,B,P三点共线，求实数t的值. 设a十b与a-b的夹角为0， (2)若AB⊥BP,求实数t的值. 则cos0=a+b）·(a-b)-15十5=25 a+ba-b√/10X√/5o5 (3)若∠BAP是锐角，求实数t的取值范围. 解：(1)A,B,P三点共线，AB∥BP a+b与a一b夹角的余弦值为25 5 AB=(2,-4),BP=(1,t),.2t+4=0,t= (2).(a-b)⊥(2a+b), -2. ∴.(a-b)·(2a十b)=0, (2):A店1B萨，Ai,B萨-2-41=04= ∴.2a2+(1-2入)a·b-b2=0, (3)若∠BAP是锐角，则AB·AP>0,且AB,AP .a2=25,b=5,a·b=-4-6=-10. 不共线。 .50-101-2以)-5x=0,解得入三-8 :AB=(2,-4),AP=(3,t-4),.6-4(t-4) 能力提升 >0, NENG LI TI SHENG 12.设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b,d=a+ 且≠-2，解得号，且≠-2 mb,若c与d夹角为45°，求实数m的值. 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 课程标准 素养解读 1.能根据向量的坐标判定两个向量垂直 通过学习向量的数量积表示两向量的垂直，重 2.能根据向量的垂直证明平面几何中的直线垂直 点培养学生数学运算及逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P66 [情境引入] [问题]设a=（z1,y1),b=(x2,y2).如何用向量的 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的 坐标来表示a⊥b? 表示形式不同，对其运算的表示方式也不同.向量的 坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极 提示：a⊥b台a·b=0台1x2十y1y2=0 大方便 ·123· 必修第三册 数学B [知识梳理] 2.已知向量b与向量a=(1,一2)的夹角是180°，且b= [知识点]两个向量垂直的坐标表示 3√5，则b= 设a=(x1y1),b=(x2y2),则a⊥b曰21x2+y1y2 A.(-3,6) B.(3,-6) =0. C.(6,-3) D.(-6,3) 2思考已知非零向量a=(1,y1),b=(x2,y2.a∥ 解析：A[由题意，设b=a=(入，一2入)（入<0），由 b与a⊥b坐标表示有何区别？ 于|b=35. 提示：若a∥b台x1y2=x2y1,即x1y一x2y1=0. .1b=√2-(-2入)7=√5入=3√5，∴.A=-3,即 若a⊥b台x1x2=-y1y2,即x1x2十y1y2=0.两个 b=(-3,6).] 命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横 3.在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(一4,2)，则 交错积相等，横横纵纵积相反， 四边形ABCD的面积为 [预习自测] 解析：因为在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD 1.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量Aa+b与a- (-4,2),AC·BD=0, 2b垂直，则实数入的值为 所以四边形ABCD的对角线互相垂直， A.- B7C-吉 D. 又因为AC=√J+2=√5，|BD1=√(-4)2+2 解析：A[由a=(-3,2),b=(-1,0), =2√5 知a+b=(-3入-1,2λ)，a-2b=(-1,2). 所以该四边形的面积AC·BD=X5× 又(a+b)·(a-2b)=0, .3λ+1+4=0， 2W5=5. .= 答案：5 课堂。互动学案 对应学生用书P66 ● 题型一向量垂直的坐标表示及应用 规律方法 由于未指定哪个角是直角，故应分三种情形讨论， [例1]在△ABC中，已知AB=(2,3),AC=(1,k), 利用向量垂直刻画内角为直角，列出k的方程，再 且△ABC的一个内角为直角，求实数k的值， 求出k. 汇思路点拔]利用向量垂直列飞的方程，再求， ◇[变式训练] [解]根据直角的位置不同，可分为3种情形： 1.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b垂 (1)若∠A=90°，则AB·AC=0, 直，求k的值， 解：ka+b=(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), 即2十3k=0,得k=- 3 a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). (2)若∠B=90°，则AB·BC=0, 又ka+b与a-3b垂直，故(ka十b)·(a-3b)=0. 因为BC=AC-AB=(-1,k-3), 即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,得k=19. 所以-2+3k-3)=0,得6号 题型二向量数量积的坐标运算在平面几何中应用 [例2]已知正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD (3)若∠C=90°，则AC·BC=0, 的中点，BE,CF交于点P.求证： 所以-1十k(k-3)=0,得=3±3 (1)BE⊥CF; 2 (2)AP=AB. 综上可知，k=一 或号或3生 汇思路点拨]画出图形，根据图像寻找边与边之 3 2 间的关系，在平面直角坐标系中求解， ·124 第八章向量的数量积与三角恒等变换 [证明]建立如图所示的平面 即 x-a=一2x, 直角坐标系，设AB=2, y=2a-2y, 则A(0,0),B(2,0). (1)BE=(-1,2),CF=(-2, A(0) 解得 2 -1). “.BE.CF=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ∴.BE⊥CF,即BE⊥CF (号 (2)设点P坐标为(xy),则FP=(,y-1), :ai-(o,号)-a0=（-a号)月 FC=(2,1), FP∥FC, 庞-座〔层) .x=2(y-1),即x=2y-2, 同理，由BP∥BE得y=-2x十4， 3a+3a2=0. 由=22，得 .AD⊥CE,即AD⊥CE. (y=-2x+4, 8 y=5 题型目 数量积的综合运用 “点P的坐标为（号）月 [例3]已知a=(cosa,sina),b=(cos3,sin3), 且|ka+b=√3|a-kb(k>0): 11=√g)+)=2-,即AP (1)用k表示数量积a·b; =AB. (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角0 的大小 规律方法 用向量数量积的坐标运算可以解决平面几何中的 汇思路点拔]利用向量的数量积列的方程，然 后求解 问题： ①垂直问题，如证明四边形是矩形，常用向量垂直 [解](1)由ka+b|=√3|a-b|,得(ka+b)2 的等价条件：a⊥b=a·b=x12十y1y2=0. =3(a-b)2, a·b .k2a2+2ka·b+b=3a2-6ka·b+3k2b, ②求夹角问题：cos0=1ab .(k2-3)a2+8a·b+(1-3k2)b2=0. x1x2十y1y2 ,a=√/cos'a+sina=1,|b=√os2g+sinB=1, √x+听·√x+y2 .k2-3+8ka·b+1-3k2=0, ③求线段长度或证明相等：a=√2十y. “a·b=2k2+2-2+1 8k 4k ⊙[变式训练] 2.已知在△ABC中，C是直角，CA=CB,D是CB的 (2ab出+2》. 中点，E是AB上一点，且AE=2EB,求证：AD 由画教的单调性容易得出，)=子十安)在(0， ⊥CE. 1]上单调递减，在[1，十∞)上单调递增. 证明：建立如图所示的直角坐标系， B 设A(a,0),则B(0,a),E(x,y). “当6=1时，f)mn=f)=子×1+1D=,即 :D是BC的中点D0,号) 0(C a:b的最小值为2， 又AE=2EB, ∴.(x-a,y)=2(-x,a-y), 北时a与6的夫肩8的余破位ca9=日合子 ∴.0=60°. ·125· 必修第三册 数学B 规律方法 解：(1)AC=(2sin0-1,cos) 坐标由三角函数表示的向量要注意与单位圆的关 BC=(2sin 0,cos 0-1) 系，模长具有特殊性，比如可以利用cos2a十sina ACI=IBC =1等.由三角函数表示的数量积通常可以应用 ∴.√(2sin0-1)2+cos20 三角函数的有界性，同时要注意，sina,cosa的取 =√(2sin)+(cos0-1)', 值范围是[-1,1]. ◇[变式训练] 化简得2sin0=cas0,an0=2 3.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin0,cos0). (2)OA+2OB=(1,2), (1)若1AC=BC1,求tan0的值 OC=(2sin 0,cos 0), (2)若(OA+2OB)·OC=1,其中O为坐标原点， ∴.(OA+2OB)·OC=2sin0+2cos0=1, 求sin0+cos0的值. '.sin 0+cos=2 1 随堂。步步夯实 对应学生用书P67 ● 1.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a⊥b,则x的值是 解析：因为OA⊥AB,所以OA·AB=0, ( 所以OA.OB=OA.(OA+AB)=OA12+OA· A.±2 B.0 AB=1OA12=32=9. C.-2 D.2 答案：9 解析：B[由a⊥b,得a·b=0,即4x十x=0,解得 5.已知平面向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),a x=0,故选B.] ∥b,a⊥c,求： 2.已知向量m=(入十1,1)，n=(入+2,2)，若(m+n) ①向量b,c的坐标： 上(m一n),则入= ②向量a一2c与-3b的夹角. A.-4B.-3C.-2D.-1 解：①a=(3,-4),b=(2,x),a∥b, 解析：B[因为m=(十1,1)，n=(a+2,2). 3x+8=0,x=-3 8 所以m+n=(2入+3,3)，m-n=(-1,-1). 因为(m十n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m-n)=0, c=(2,y),a⊥c,.6-4y=0,…y= 所以一(2入十3)-3=0，解得入=-3.故选B.] 3.已知向量a=(2,4),b=(一1,1)，c=a-tb,若b⊥ b-(2-)c=（2) c,则实数t= ②设a-2c与-3b的夹角为0，，a-2c=(3,-4) 解析：由题意得c=a-tb=(2,4)一t(-1,1)=(2 -(4,3)=(-1,-7),-3b=(-6,8), +t,4-t). :b⊥c,.b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+ ∴.cos0= (a-2c)·(-3b)_ 6-56_2 a-2c·-3b52×10 2 t)十(4-t)=2-2t=0,解得t=1. 答案：1 0≤π，0=3四 4 4.已知OA⊥AB,1OA1=3,则OA.OB= 故a一20与一3b的夫角为买 对应学生课时P39 ● 课后。素养提升 基础过关 A.3 B.1 JI CHU GUO GUAN C.-1 D.-3 1.已知平面向量a=(3,1),b=(x,一3)，且a⊥b,则 解析：B[a⊥b,.a·b=0,.3x-3=0,∴x x ( =1.] ·126· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 2.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1, 6.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量，且它们相互 则c的坐标为 ( 不共线，给出的下列结论正确的是 A.(3,-2) B.(3,2) A.a·c-b·c=(a-b)·c C.(-3,-2) D.(-3,2) B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 解析：C[设c=(x,y),cLa,.2.x-3y=0. C.al-b<a-bl 又b·c=1,.x-2y=1, D.(3a+2b)·(3a-2b)=9a2-41b2 综合①②知x=-3,y=一2.] 解析：ACD[根据向量数量积的分配律知A 3.已知点A(-2,一3)，B(19,4),C(-1,-6),则 正确； △ABC是 ( [(b·c)·a-(c·a)·b]·c A.等腰三角形 B.等边三角形 =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, C.直角三角形 D等腰直角三角形 .(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误；a,b 解析：C[AB=(19,4)-(-2,-3)=(21,7), 不共线，.a、b、a一b组成三角形三边， AC=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3), ∴.a一b<a一b成立，C正确；D正确.故正确 命题的序号是A、C、D.] AB.AC=21-21=0, 7.已知a=(2,5),b=(入，-3)，且a⊥b,则入 .AB⊥AC. 则∠A=90°， 又AB≠|AC, 解析：a⊥b,a·b=0,即2入-15=0，入=15 .△ABC为直角三角形.门 答案：号 4.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA· 8.设向量a=(1,0),b=(一1，m).若a⊥(ma一b),则 OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的 m= 解析：由题意得ma一b=(m十1，一m),根据向量垂 A.三个内角的角平分线的交点 直的充要条件可得1×(m十1)十0×（一m)=0,所 B三条边的垂直平分线的交点 以m=-1. C.三条中线的交点 答案：-1 D.三条高的交点 9.(多空题)已知向量a=(1,2),b=(2,一3).若向量 解析：D[OA.OB=OB.O元， c=(x,y)满足(c十a)∥b,c⊥(a十b),则x= ..(OA-0C).OB=0. ,y= 解析：，c=(x,y),则c十a=(x十1，y十2)， ∴.OB·CA=0. 又(c+a)∥b,∴.2(y+2)+3(x+1)=0. ① .OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB, O为三条高的交点.] 又c⊥(a+b),∴.(x,y)·(3,-1)=3.x-y=0.② 5.若角α顶点在坐标原点O,始边与x轴的正半轴重 由①@解释x=子y=寻 7 合，点P在a的终边上，点Q(-3,-4),且tana= 答案：子 -7 一2，则OP与OQ夹角的余弦值为 ) 3 A. B1⑤ 10.已知a=(4,3),b=(-1,2). 5 25 (1)求a与b的夹角的余弦值； c或誓 n.成 (2)若(a-b)⊥(2a十b),求实数入的值. 5 解：(1).a·b=4×(-1)+3×2=2, 解析：C[tana=一2， a=√/42+3=5，|b=√(-1)+22=√5， .可设P(x,一2x), OP·OQ ..cos(a,6)-a.b=_2_2/5 cos(OP,OQ>=- 5x ab55251 OP|·1OQ5W51xl (2):a-b=(4+入，3-2λ)，2a+b=(7,8), 当x>0时，0sOP,0Q》=5 又(a-b)⊥(2a+b), .(a-b)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0， 当<0时，ows0i.00=5] =52 91 ·127· 必修第三册 数学B 11.已知a=(1,一1)，b=(入，1).若a与b的夹角a为 13.已知正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD的中 钝角，求实数入的取值范围. 点，BE,CF交于点P.求证： 解：：a=(1,-1),b=(入，1) (1)BE⊥CF; ∴a=2,b1=√1+，a·b=x-1. (2)AP=AB.解：建立如图所示的平面直角坐标 ,a,b的夹角a为钝角. 系，设AB=2, 即<1， 则A(0,0),B(2,0). ,2+灭1-入，以2+2a+10 y ∴.A<1且入≠-1 ∴.A的取值范围是(-∞，一1)U(-1,1). 能力提升 NENG LI TI SHENG A(O) 12.已知a 1,3,0A=a-b,0B=a+b,若 (1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1). 2’2 △AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求 :BE.CF=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, 向量b. BE⊥CF,即BE⊥CF 解：设向量b=(x,y). (2)设点P坐标为(x,y),则FP=(x,y-1), 根据题意得OA·OB=0,1OA1=OB. FC=(2,1),:FP∥FC, ∴.(a-b)·(a+b)=0,a-b=a+bl, .x=2(y-1),即x=2y-2, .a=b,a·b=0. 同理，由BP∥BE得y=一2x十4， x2+y2=1, 6 -2x4得 由 2=2y-2, 8 y= 5 z=3, 解得 2 2 或 点P的坐标为() y2 y=-2 .API= )+) =2=AB1,即AP =AB. 8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 课程标准 素养解读 1.通过探索得到两角差的余弦公式、并能熟记公式，灵活应用 通过两角差的余弦公式的推导及应 2.体会向量法在差角余弦公式推导过程中的作用 用，提升逻辑推理和数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P68 [情境引入] (2图为os(受 -a)=sin a,cos cos a+sin 2sin a 回顾三角函数的诱导公式： (1)c0s(π-a)=cos元-cosa能否成立？ =sin a. (2)cos(受-a）=cos受cosa十sin受sin成立吗？ 所以cos(受-a)=cos受cosa十sin受sina成立. 提示：(1)不成立.因为c0s(π-a)=一cosa,cosπ [知识梳理] [知识点一]两角差的余弦公式 cosa=-1-cosa,若cos(元-a)=cos元-cosa,则 (1)公式：cos(a-)=cos acos B+sin asin. 一1=0矛盾，故不成立. ·128·