8.1.2 向量数量积的运算律-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的运算律这一核心知识点，从向量数量积与数乘运算的区别切入，系统梳理交换律、数乘结合律、分配律等运算律，对比实数乘法明确向量运算特殊性，并通过常用结论构建知识支架，衔接后续数量积计算、模与夹角求解等应用。 通过类比实数乘法创设问题情境培养数学抽象素养，结合几何图形实例与分层题型（如数量积计算、模的求解、垂直与夹角问题）提升数学运算能力。微专题融入平面几何应用与最值问题，课中助力教师系统授课，课后例题与练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

8.1.2　向量数量积的运算律 知识目标 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．　2.能利用运算律进行向量数量积的运算. 素养目标 通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生数学抽象核心素养；利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算核心素养. 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 问题1.向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ 提示：不相同；数量积得到的结果是实数；而数乘运算得到的结果是向量． 问题2.类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 提示：满足交换律和分配律． 知识点一　向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则有 1．a·b＝b·a(交换律)． 2．λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(数乘结合律)． 结合律说明：数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [微提醒]　(1)已知实数a，b，c(b≠0)则ab＝bc⇒a＝c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c⇒/ a＝c.因为a·b＝b·c(b≠0)表示向量c，a在向量b方向上的投影的数量相等，并不能说明a＝c.如图所示，虽然a·b＝b·c，但a≠c. (2)对于实数a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)．但对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立． 学生用书↓第57页 知识点二　向量数量积的常用结论 实数中的某些公式“移植”到向量数量积的运算中仍然成立，下表为多项式中的一些公式与相应的向量数量积公式的对照，方便理解记忆. 多项式中的公式 向量数量积公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a a2＋b2＝0⇔a＝b＝0 a2＋b2＝0⇔a＝b＝0 (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立) ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a与b同向共线时右边等号成立，a与b反向共线时左边等号成立) 1．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　) A．0 B．a C．b D．c 答案：B 解析：b·c＝|b||c|cos 45°＝1.所以a·(b·c)＝a.故选B． 2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　) A．14 B． C．4 D．2 答案：B 解析：a，b，c是两两垂直的单位向量，所以a2＝b2＝c2＝1，且a·b＝b·c＝a·c＝0，|a－2b＋3c|＝＝＝.故选B． 3．下列命题中正确的个数是(　　) ①＋＝0；②0·＝0；③a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0；⑥若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：因为＝－，所以＋＝－＋＝0，故①正确；两个向量的数量积是一个具体的数，故②错误；当a与b共线，且方向相反时，a·b＝－|a||b|，故③错误；当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)c≠a(b·c)，故④错误；当a⊥b时a·b＝0，故命题⑤错误；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，有a＝0或a⊥(b－c)，故命题⑥不正确．故正确命题的个数是1.故选A． 4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：由题意(2a＋b)·b＝0，所以2a·b＋b2＝0，即2|a||b|cos〈a，b〉＋b2＝0, 又|a|＝|b| ，所以cos〈a，b〉＝－，所以则a与b的夹角为120°.故选C． 5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________． 答案：7 解析：|5a－b|＝＝＝＝＝7. 题型一　平面向量数量积的计算 角度1　向量数量积的简单计算 例1　 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)； (4)|a＋b|. 点拨：依据数量积、模、夹角的定义逐一进行计算即可． 解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (4)|a＋b|＝＝＝＝. 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．　　 角度2　几何图形中的向量数量积的计算 例2　 在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________． 点拨：根据向量线性运算的几何意义将，用，表示出来 →将·转化为，间的运算，化简求解即可 答案：－ 解析：由已知作图形，由＝2知D为BC的中点．所以＝(＋)，＝，＝＋＝－，所以·＝(＋)·＝×＝×＝－ 学生用书↓第58页 解决几何图形中的向量数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．　　 对点练1.(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则(2a－b)·(a＋3b)＝________． (2)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，点D是AB的中点，点E满足＝，则·的值是______． 答案：(1)0　(2) 解析：(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0. (2)因为＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以·＝·＝·＋2＝×3×4×＋×42＝. 题型二　向量模的有关计算 例3　 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A． B．2 C．4 D．12 (2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝(　　) A． B． C． D． 点拨：在求向量的模时，直接运用公式|a|＝，在计算两向量的和与差的长度时用|a±b|＝＝. 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)|a＋2b|＝＝＝ ＝ ＝2.故选B． (2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.故选B． 求向量的模的常见思路及方法 1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． 2．a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　　 对点练2.(1)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　) A．6 B．4 C． D． (2)若向量a，b, 满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________． 答案：(1)C　(2)3 解析：(1)因为a·(a－2b)＝0，所以a2－2a·b＝0.因为|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝，所以|a＋b|＝＝＝.故选C． (2)由题意，可得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝25，因为|a|＝3，a·b＝1，所以9－2×1＋b2＝25，所以b2＝18，|b|＝＝3. 题型三　数量积的应用 角度1　两向量垂直 例4　 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为(　　) A．－ B． C．± D．1 点拨：由向量垂直可得相应向量的数量积为0→结合已知条件即可解得λ的值 答案：B 解析：因为3a＋2b与λa－b垂直，所以(3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λ|a|2＋(2λ－3)a·b－2|b|2＝0.因为a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝0，|a|2＝4，|b|2＝9，所以12λ－18＝0，即λ＝.故选B． 角度2　两向量的夹角 例5　 若向量a＋3b垂直于向量7a－5b，并且向量a－4b垂直于向量7a－2b，则非零向量a与b的夹角为(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° 点拨：先由条件求出|a|，|b|，再利用夹角公式求cos θ＝，最后求夹角． 答案：A 解析：因为a＋3b垂直于7a－5b，a－4b垂直于7a－2b，所以 即②－①，得23b2－46a·b＝0，所以2a·b＝b2　③，将③式代入①式，整理得a2＝b2，所以|a|＝|b|.设非零向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.故选A． 1．求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤： (2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．　　 2．向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题． 学生用书↓第59页 对点练3.(1)已知|a|＝2|b|＝2，a·b＝1，则a与a－b的夹角为________． (2)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求： ①向量a与b夹角的大小； ②|a－2b|的值． 答案：(1) 解析：(1)因为|a|＝2|b|＝2，a·b＝1，所以|a－b|＝＝＝设a与|a－b|的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)①设a与b的夹角为θ， 由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10 cos θ－8＝0， 所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°， 所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°. ②因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13， 所以|a－2b|＝. 微专题(三)　规律方法 1．向量数量积在平面几何中的应用 例1　 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，但不平行，M，N分别是AD，BC的中点，NM的延长线与BA，CD的延长线分别交于点P，Q，求证：∠APM＝∠DQM. 点拨：证明两角相等，可以转化为证明两角的某一三角函数值相等，但要注意两角要在三角函数的同一单调区间上． 证明：　设＝a，＝b，则|a|＝|b|. 因为＝＋＋，＝＋＋． 所以2＝(＋)＋＋＋(＋)． 因为M，N分别是AD，BC的中点， 所以＋＝0，＋＝0， 所以2＝0＋＋＋0＝＋，即＝(a＋b)． 设|a|＝|b|＝k，∠APM＝θ1，∠DQM＝θ2，a与b的夹角为θ，a与的夹角为θ1，b与的夹角为θ2. 因为·＝(a＋b)·a，即|a＋b|·|a|·cos θ1＝a2＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|cos θ， 所以|a＋b|·kcos θ1＝k2＋k2cos θ，所以cos θ1＝. 同理可得cos θ2＝，所以cos θ1＝cos θ2. 又θ1，θ2∈(0，π)，所以θ1＝θ2，即∠APM＝∠DQM. [名师点评]　利用向量数量积解决几何问题的步骤 利用向量数量积解决几何问题一般分为三步：一是用向量表示几何关系；二是进行向量运算；三是还原为几何结论． 2．利用数量积解决最值问题 例2　 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值． 解：因为＝－，＝－＝－－， 所以·＝(－)·(－－) ＝(－·)＋·－·＋· ＝·－r2＋(－) ＝·－r2＋· ＝||·||cos∠BAC－r2＋· ＝bccos∠BAC－r2＋·． 当与同向时，·取得最大值为||·||＝ra， 即当与共线且同向时， ·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2. 学生用书↓第60页 [名师点评]　解决与数量积最值有关问题的基本方法 解决与数量积最值有关问题的基本方法是：先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，再利用求函数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形的形状直观求出相关的最值. 1．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝(　　) A．1 B．－4 C．－ D． 答案：C 解析：由已知，得e1·e2＝|e1||e2|cos＝，所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－，故选C． 2．若两个单位向量a，b的夹角为，则|4a＋5b|＝(　　) A．1 B． C． D．7 答案：C 解析：因为(4a＋5b)2＝16a2＋40a·b＋25b2＝16×12＋40×1×1×cos＋25×12＝21，所以|4a＋5b|＝.故选C． 3．已知▱ABCD中，||＝4，||＝3，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　) A．2 B．5 C．6 D．8 答案：C 解析：·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×42－×32＝6.故选C． 4．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角为________，a·(a＋b)＝________． 答案：　6 解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝3＋2×＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $