8.1.1 向量数量积的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学向量的数量积概念，从物理“功”的实例切入，通过向量夹角定义数量积，结合投影的几何意义，构建从概念理解到应用（求数量积、夹角、模及判断垂直）的完整学习支架。 该资料以水上飞机做功情境培养数学抽象，借助投影图形分析提升直观想象，例题与练习题分层设计，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，体现数学与现实的联系及思维培养。

8．1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 知识 目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．　3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直. 素养 目标 通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象核心素养；利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生直观想象核心素养. 水上飞机是用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用． 问题．(1)功与向量的数量积有什么联系？ (2)数量积的几何意义是什么？ 提示：(1)物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积． (2)两个非零向量a与b的数量积，等于向量a的长度|a|与b在a方向上的投影的数量|b|·cos θ的乘积． 知识点一　两个向量的夹角 定义 前提　给定两个非零向量a和b 作法　在平面内任选一点O，作＝a，＝b 夹角：称[0，π]内的∠AOB为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉 结论 〈a，b〉＝〈b，a〉，0≤〈a，b〉≤π 当〈a，b〉＝时，称向量a与b垂直，记作a⊥b，规定零向量与任意向量垂直 知识点二　向量的数量积 定义 当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 规定：当a与b至少有一个是零向量时，称它们的数量积为0 性质 |a·b|≤|a||b| a·a＝|a|2，即|a|＝ a和b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔a·b＝0 [微提醒]　(1)学习向量的数量积定义要借助物理中力所做的功来加深理解． (2)向量a，b的数量积只能表示为a·b，不能表示为a×b或ab. (3)由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数，a·b的符号由cos〈a，b〉决定，即由〈a，b〉的大小决定．也就是说，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数．这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同． (4)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°. 知识点三　向量的投影与向量数量积的几何意义 1．作法：设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′. 学生用书↓第54页 2．结论：称向量为向量a直线l上的投影向量或投影． 3．投影的数量：如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量． 4．向量数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积． [微提醒]　(1)设非零向量a与b的夹角是θ，则a在b方向上的投影的数量也可以写成，它的符号取决于角θ的余弦值． (2)按照投影的定义，非零向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，其具体情况，我们可以借助下面的图形进行分析： θ的 范围 θ＝0° 0°＜θ ＜90° θ＝90° 90°＜θ ＜180° θ＝180° 图形 b在a 方向上 的投影 的数量 正数 正数 0 负数 负数 1．若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是(　　) A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1 答案：C 解析：因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos 0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos 180°＝－1.综上所述，得e1·e2＝±1.故选C． 2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于(　　) A．12 B．12 C．－12 D．－12 答案：B 解析：由已知有m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×＝12.故选B． 3．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则cos〈a，b〉的值为(　　) A．－ B．－4 C．－ D． 答案：C 解析：由题意可知cos〈a，b〉＝＝－＝－. 4．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，则向量b在a上的投影数量为(　　) A．1 B． C．－ D．－1 答案：C 解析：因为a·(a＋b)＝3，所以a·a＋a·b＝3，已知|a|＝2，a·a＝4，所以a·b＝－1.|b|cos〈a，b〉＝＝－.故选C． 5．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与b的夹角为______． 答案：120° 解析：如图所示，向量－a与a互为相反向量，所以向量－a与b的夹角为120°. 题型一　求两向量的数量积 例1　 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 点拨：a·b分同向和反向两种情况再利用数量积公式求解． 解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a，b〉＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则〈a，b〉＝180°， 所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，〈a，b〉＝90°， 所以a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×5×＝10. 求平面向量数量积的步骤 第一步：求a与b的夹角〈a，b〉，〈a，b〉∈[0，π]； 第二步：分别求|a|和|b|； 第三步：求数量积，即a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉． 对点练1.如图所示，每个小方格的边长为1，求出以下向量的数量积． (1)b·a； (2)c·a； (3)d·a. 解：(1)方法一　由原图可知， |a|＝1，|b|＝，〈b，a〉＝， 因此b·a＝×1×cos ＝1. 方法二　由原图可以看出，向量b在向量a上的投影的数量为1，且a为单位向量， 因此根据向量数量积的几何意义可知b·a＝1. (2)由原图可知，〈c，a〉＝，因此c·a＝0. (3)由原图可知，向量d在向量a上的投影的数量为－1，且a为单位向量， 因此根据向量数量积的几何意义可知d·a＝－1. 学生用书↓第55页 题型二　数量积的几何意义 例2　 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求： (1)在方向上的投影的数量； (2)在方向上的投影的数量． 点拨：先结合图形求出与的夹角，然后利用定义求解投影的数量. 解：如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．又D是边BC的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2. 延长AB到E，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°. (1)在方向上的投影的数量为||cos 135°＝4×＝－2. (2)在方向上的投影的数量为||cos 135°＝2×＝－2. 求向量的投影(或其数量)的关注点和计算方法 1．关注点：注意a在b上的投影与b在a上的投影不同，审题时要看清．　　 2．计算方法： (1)a在b方向上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝. (2)b在a方向上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝. 对点练2.已知|a|＝3，|b|＝5，且〈a，b〉＝45°，求a在b上的投影的数量． 解：因为|a|＝3，|b|＝5，且 〈a，b〉＝45° 所以a在b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝3×＝. 题型三　向量数量积的应用 角度1　求两向量的夹角 例3　 已知a，b是两个非零向量． (1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角； (2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 解：(1)因为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉， 所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a，b〉|＝|a||b||cos 〈a，b〉|＝6. 又|a|＝3，|b|＝4，所以|cos 〈a，b〉|＝＝＝， 所以cos〈a，b〉＝±. 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以a与b的夹角为或. (2)如图，在平面内取一点O，作＝a， ＝b，以，为邻边作▱OACB，因为|a|＝|b|，即||＝||， 所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时＝a＋b，＝a－b， 因为|a|＝|b|＝|a－b|， 即||＝||＝||， 所以∠AOB＝，所以∠AOC＝， 即a与a＋b的夹角为. 角度2　与向量的模有关的问题 例4　 已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，a2＝4，a与b的夹角为120°.求向量b的模． 解：因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2， 将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b ＝0，所以a·b＝－3， 所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ＝2|b|cos 120°＝－3，所以|b|＝3. 1．求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤： (2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos〈a，b〉的值． 2．求解向量模的问题要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．　　 对点练3.(1)设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° (2)已知非零向量a，b的夹角为45°，且|a|＝2，a2－2a·b＋b2＝4，则|b|＝________． 答案：(1)B　(2)2 解析：(1)如图所示．因为|a|＝|b|＝|c|，所以△OAB是等边三角形．所以〈a，b〉＝120°.故选B． (2)因为|a|＝2，〈a，b〉＝45°，所以由a2－2a·b＋b2＝4得|a|2－2|a||b|cos 45°＋|b|2＝4，即4－2|b|＋|b|2＝4，解得|b|＝2或|b|＝0，因为b是非零向量，所以|b|＝2. 学生用书↓第56页 1．若|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b＝(　　) A． B． C．1 D．2 答案：C 解析：a·b＝|a||b|cos 60°＝2×1×＝1.故选C． 2．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45° B．135° C．120° D．150° 答案：B 解析：cos θ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所以θ＝，即θ＝135°.故选B． 3．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝，则|b|＝(　　) A． B． C．1 D．2 答案：C 解析：设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cos θ，又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝，所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－(舍去)或|b|＝1.故选C． 4．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b 上投影的数量为________． 答案：3 解析：因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $