7.3.3 余弦函数的性质与图象-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7．3.3　余弦函数的性质与图象 知识 目标 1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象．　 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值． 素养 目标 通过余弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养；借助余弦函数图象和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养. 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径． 问题．(1)函数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它的什么性质？ (2)过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝cos x的什么性质？y＝cos x在什么位置取得最值？ 提示：(1)单调性． (2)最值；波峰，波谷． 知识点一　余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos__x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 知识点二　余弦函数的性质 定义域、 值域 定义域R，值域[－1，1] 当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 奇偶性 偶函数 周期 2π 单调性 单调增区间 [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 单调减区间 [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 零点 ＋kπ，k∈Z [微提醒]　(1)由诱导公式cos(－x)＝cos x可知余弦函数为偶函数，反映在图象上就是余弦曲线关于y轴对称． (2)余弦函数y＝cos x的值域为[－1，1]，它表明余弦函数y＝cos x的图象介于直线y＝1和y＝－1之间． (3)由cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)知2kπ(k∈Z)都是余弦函数y＝cos x的周期，2π是最小正周期． 知识点三　余弦函数的图象 1．图象 2．对称性：对称轴为x＝kπ，对称中心为，k∈Z． 3．五点：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 学生用书↓第37页 [微提醒]　余弦函数的图象可以看作正弦函数的图象向左平移个单位长度． 1．函数f(x)＝cos的最小正周期为(　　) A． B．π C．2π D．4π 答案：D 解析：由f(x)＝cos，得最小正周期T＝＝4π.故选D． 2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 答案：D 解析：函数的周期T＝2＝2π，即＝2π，得ω＝1，则f(x)＝cos(x＋φ)，由图可知，当x＝＝π时，函数取得最小值，则π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z即φ＝＋2kπ，k∈Z，即f(x)＝cos，由2kπ＋π<x＋<2kπ＋2π，k∈Z，可得2kπ＋π<x<2kπ＋π，k∈Z，即函数的单调递增区间为，k∈Z.故选D． 3．已知m是函数f(x)＝cos x图象的一个对称中心的横坐标，则f(m)＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 答案：B 解析：函数f(x)＝cos x图象的对称中心的横坐标为x＝＋kπ，k∈Z，则m＝＋kπ，k∈Z，从而f(m)＝f＝cos＝0.故选B． 4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　) A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1 答案：B 解析：因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3.故选B． 5．设a＝cos 4，b＝cos ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是__________． 答案：b<a<c 解析：因为1 rad＝≈57°，所以a＝cos 4≈cos 228°＝cos 132°，b＝cos ＝cos 144°，c＝sin ＝sin＝cos ＝cos 120°，因为y＝cos x在0°<x<180°上单调递减，144°>132°>120°，所以cos 144°<cos 132°<cos 120°，即b<a<c. 题型一　图象问题 角度1　作图 例1　 作出函数y＝3＋2cos x在闭区间[0，2π]上的图象，并求函数y＝3＋2cos x在R上的值域． 点拨： ,采用五点法作图,得到所求函 数的图象,得出 值域,利用图象变换法作图 解：方法一　列表、描点得函数y＝3＋2cos x在闭区间[0，2π]上的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，函数y＝3＋2cos x在[0，2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π， 故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1，5]． x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 方法二　先利用五点法作出函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图中虚线所示，然后将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再把所得图象向上平移3个单位长度就得到函数y＝3＋2cos x，x∈[0，2π]的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，函数y＝3＋2cos x在[0，2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π， 故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1，5]． 角度2　图象变换 例2　 要得到y＝3cos的图象，可以将函数y＝3sin的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移π个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移π个单位长度 点拨：先将正弦函数变换为余弦函数再进行平移变换． 答案：C 解析：方法一　因为y＝3sin＝3cos＝3cos＝3cos＝3cos－，所以将函数y＝3sin的图象向左平移个单位长度，便可得到函数y＝3cos的图象． 方法二　因为y＝3cos＝3sin ＝3sin，所以将函数y＝3sin的图象向左平移个单位长度，便可得到函数y＝3cos的图象．故选C． 学生用书↓第38页 作余弦(型)函数图象的方法 1．(1)五点法作图；(2)图象变换法；(3)平移坐标轴法． 2．图象变换 当函数不是同名函数时，要先化为同名函数，再进行图象变换．在变换时要注意两点：一是平移变换的规则，“左加右减”“上加下减”；二是对于先伸缩后平移变换中，要注意由y1＝cos ωx(ω≠0)的图象得到y2＝cos (ωx＋φ)的图象时，因为y2＝cos ，所以应该将y1＝cos ωx的图象向左或向右平移||个单位长度，而不是平移|φ|个单位长度．　　 对点练1.把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　) 答案：A 解析：将函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的解析式为y＝cos x＋1；再将y＝cos x＋1的图象向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为y＝cos(x＋1)．因为函数y＝cos (x＋1)的图象可由函数y＝cos x的图象向左平移1个单位长度而得，所以函数y＝cos(x＋1)的图像经过点和，且在区间上的函数值小于0，故A符合题意． 题型二　单调性与最值 角度1　求单调区间 例3　 (1)函数y＝cos的单调递减区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) (2)求函数的单调区间：y＝－8cos. 点拨：(1)当x的系数为负时要先转化为正，再利用基本函数y＝cos x的单调性求解． (2)利用余弦函数单调性求解． 答案：(1)A 解析：(1)y＝cos＝cos，由2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，可得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数y＝cos(－x)的单调递减区间是，k∈Z.故选A． (2)由2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z，得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z， 故函数的单调递增区间为，k∈Z. 由2kπ＋π≤＋≤2kπ＋2π，k∈Z， 得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z， 故函数的单调递减区间为，k∈Z. 求形如y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间的方法 求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，先把“ωx＋φ”视为一个整体，再根据余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间列出相应不等式组，最后解出x即可得到该函数的单调递增(减)区间． [注意]　若ω＜0，先用诱导公式化为ω＞0；求复合函数的单调区间，必须在定义域内求解；当A＜0时，利用－f(x)的单调性与f(x)的单调性相反得出．　　 角度2　求值域(最值) 例4　 求下列函数的值域： (1)y＝2cos(2x＋)，x∈； (2)y＝－2cos x＋3； (3)y＝cos2 x－4cos x＋1，x∈； (4)y＝. 点拨：(1)整体代换法．(2)利用－1≤cos x≤1求解．(3)利用二次函数的性质求解．(4)先分离常数或反解出cos x，再利用－1≤cos x≤1得到y的范围． 解：(1)因为－＜x＜，所以0＜2x＋＜. 所以－＜cos(2x＋)＜1. 故y＝2cos(2x＋)，x∈(－，)的值域为(－1，2)． (2)因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝1时，y＝－2cos x＋3取得最小值， 此时ymin＝1， 当cos x＝－1时，y＝－2cos x＋3取得最大值， 此时ymax＝5. 故y＝－2cos x＋3的值域为[1，5]． (3)因为x∈，所以－≤cos x≤. 因为y＝cos2 x－4cos x＋1＝(cos x－2)2－3， 所以当cos x＝－时，ymax＝， 当cos x＝时，ymin＝－. 故y＝cos2 x－4cos x＋1，x∈的值域为. (4)方法一　y＝＝＝－1. 因为－1≤cos x≤1，所以1≤2＋cos x≤3， 所以≤≤4， 所以≤－1≤3. 故y＝的值域为. 方法二　由y＝得(2＋cos x)y＝2－cos x， 即(y＋1)cos x＝2－2y， 所以cos x＝.又－1≤cos x≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3， 即y＝的值域为. 学生用书↓第39页 与余弦型函数相关的值域(最值)问题的求法 1．对于y＝acos x＋b形式的函数，借助余弦函数的有界性|cos x|≤1求解． 2．对于y＝Acos(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)形式的函数，采用整体代换法求解，令ωx＋φ＝t，借助y＝cos t图象及性质求解，注意x的取值范围对t的影响． 3．对于y＝形式的函数，采用分离常数或反解出cos x，再利用余弦函数的有界性求解． 4．对于y＝acos2 x＋bcos x＋c(a≠0)形式的函数，利用二次函数的有关知识求解．　　 对点练2.(1)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是______________． (2)若函数y＝acos x＋b的最大值为1，最小值为－7，则y＝3＋absin x的最大值为________． 答案：(1)cos 97°<cos 23°<sin 68°　(2)15 解析：(1)0<cos 23°＝sin 67°<sin 68°，cos 97°<0， 故有cos 97°<cos 23°<sin 68°. (2)当a＞0时，有解得当a＜0时，有解得 所以y＝3＋absin x＝3±12sin x，其最大值为15. 题型三　奇偶性与周期性 角度1　奇偶性问题 例5　 将函数y＝2cos的图象向右平移φ个单位长度后，会使新函数变为R上的偶函数或奇函数，请分别写出对应的φ值． 点拨：先由图象平移得到新的函数解析式，再利用奇偶性求φ. 解：函数的图象向右平移φ个单位长度，则y＝2cos变为y＝2cos. (1)若y＝2cos为偶函数，则2cos＝±2cos 2x，即－2φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝－，k∈Z.由0＜φ＜，得φ的值为. (2)若y＝2cos为奇函数，则2cos＝±2sin 2x，即－2φ＝＋kπ，k∈Z，从而φ＝－－，k∈Z.由0＜φ＜，得φ的值为. 解决奇偶性问题的两个关键点：一是定义域关于原点对称；二是若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．在这里需要注意以下两点． (1)y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，即它可以化为y＝±Acos ωx，从而φ＝kπ，k∈Z； (2)y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，即它可以化为y＝±Asin ωx，从而φ＝＋kπ，k∈Z.　　 角度2　周期性问题 例6　 (1)已知函数y＝5cos(πx－)(k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4且不多于8，则k的值为________． (2)若函数y＝cos ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________． 点拨：(1)在任意长度为3的区间上，函数值出现的次数大于等于4且小于等于8，该区间需包含若干个周期T，先求T的范围，进而求k的范围．(2)至少出现50次最大值，故至少含有49个周期，从而可求ω的范围，进而得到ω的最小值． 答案：(1)2或3　(2)98π 解析：(1)由5cos＝， 得cos＝.在任意区间长度为3的区间上，函数值出现的次数大于等于4且小于等于8，则有2T≤3，同时4T≥3，即≤T≤，故≤≤，从而≤≤，解得≤k≤，又k∈N，故k＝2或3. (2)ω的值与最小正周期T成反比，当x＝0时，函数取得第一个最大值1，要使在(0，1]内至少有49个最大值，则在[0，1]内至少有49个周期才能满足条件，即49T≤1，故T＝≤，得ω≥98π.故ω的最小值为98π. 余弦型函数的周期性问题的解法 函数周期性问题的题型主要有以下几种情况及相应求解方法：①若求y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期，可以套用公式T＝求解；②若函数解析式中含有绝对值，则可用图象法求解；③其他周期性问题，比如利用条件判断在某个区间内至少或至多含有多少个周期，此类问题可以利用数形结合的方法． 对点练3.(1)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x (2)下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝cos x D．y＝cos 2x 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)根据偶函数的定义f(x)＝f(－x)可得，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B． (2)因为A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．故选D． 学生用书↓第40页 1．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案：B 解析：令2x＝0，，π，，2π，得x＝0，，，，π，故选B． 2．函数f(x)＝5cos的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：f(x)＝5cos，由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，得－≤x≤＋(k∈Z)，所以是f(x) 的一个单调递减区间．故选B． 3．设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b ．b＞c＞a 答案：A 解析：sin＝sin＝－sin ＝sin＝cos，cos＝cos＝cos＝cos，因为y＝cos x在上是减函数，所以cos＞cos＞cos，即a＞c＞b.故选A． 4．若0<x<π，则使sin x>和cos x<同时成立的x的取值范围是________． 答案： 解析：当0<x<π时，正弦函数与余弦函数的图象如图所示：因为cos＝，sin＝，所以由图象可知，使得sin x>和cos x<同时成立的x的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $