7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质与图象(二)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

第2课时　正弦型函数的性质与图象(二) 题型一　参数A，φ，ω的实际意义 例1　 弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求： (1)振动的振幅、周期和频率； (2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移． 点拨：由简谐运动可知A、ω、φ的值进而可求频率及路程，位移． 解：(1)设振幅为A，则2A＝20 cm， 所以A＝10 cm. 设周期为T，则＝0.5 s，所以T＝1 s，所以f＝1 Hz. (2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)． 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm. 参数A，φ，ω的应用 首先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A＞0，ω＞0.　　 对点练1.函数y＝2sin的周期，振幅，初相分别是(　　) A．，2， B．4π，－2，－ C．4π，2， D．2π，2， 答案：C 解析：因为函数y＝2sin，所以振幅是2，初相是，又x的系数是，故函数的周期是T＝＝4π.故选C． 题型二　三角函数解析式 例2　 如图所示，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的图象，则该函数的解析式为________． 学生用书↓第34页 点拨：观察图象，由函数最值确定A，由周期T＝确定ω，代点求φ.(代点最好代最值点) 答案：y＝2sin 解析：方法一　(单调性法)由图象可知： A＝2，T＝－＝3π＝，则ω＝. 因为点(π，0)在递减的那段图象上， 所以＋φ∈(k∈Z)， 则由sin＝0，得＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)． 因为－π<φ<π，所以φ＝. 所以该函数的解析式为y＝2sin. 方法二　(最值点法)由图象可得T＝3π，A＝2，则ω＝，将最高点坐标代入y＝2sin，得 2sin＝2，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．又－π<φ <π.所以φ＝. 所以该函数的解析式为y＝2sin. 方法三　(起始点法)由题图得T＝3π，A＝2，故ω＝，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x0正是由ωx0＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角φ.由图象求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝.又由图象得A＝2，所以该函数的解析式为y＝2sin. 根据三角函数的图象求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，一般先结合图形求得振幅和周期，从而求得A，ω；再利用特殊点、零点或最值点列出关于φ的方程求出φ值．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的零点有上升零点和下降零点．一般取最靠近原点的上升零点x0，使ωx0＋φ＝2kπ；下降零点x0，使ωx0＋φ＝π＋2kπ，再根据φ的范围确定φ的值．　　 对点练2.如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________． 答案：y＝2sin 解析：由函数图象可知A＝2，T＝＝π，即＝π，故ω＝2.又是五点法作图的第五个点，即2×＋φ＝2π，则φ＝，故所求函数的解析式为y＝2sin. 题型三　已知函数模型解决实际问题 例3　 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h＝3sin. (1)求小球开始振动的位置； (2)求小球第一次上升到最高点和第一次下降到最低点的时间； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？ 点拨：,令t＝0解(1)→,令h＝±3解(2)→,问题(3)即 求周期T→,问题(4)即求频 率f(T的倒数) 解：(1)令t＝0，得h＝3sin ＝，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 cm处． (2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即小球第一次上升到最高点的时间为 s； 当h＝－3时，t的最小值为，即小球第一次下降到最低点的时间为 s. (3)T＝＝π≈3.14，即经过约3.14 s小球往返振动一次． (4)f＝≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次． 1．处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 2．解三角函数应用问题的基本步骤 对点练3.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220 sin (100πt＋)来表示，求： (1)开始时的电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间． 解：(1)当t＝0时，E＝110(V)， 即开始时的电压为110V. (2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220V， 当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值． 学生用书↓第35页 1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 答案：C 解析：由题图可知，＝2，所以T＝8.又因为T＝，所以ω＝.因为在x＝1处取得最大值，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0≤φ<2π，所以φ＝.故选C． 2.函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，可将f(x)的图象(　　) A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 答案：A 解析：因为f(x) ＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)，函数图象过点，所以－1＝sin⇒φ＝，因此函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin 2x的图象．故选A． 3．一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(t)(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　) A．h(t)＝－6sin t＋6 B．h(t)＝－6cos t＋6 C．h(t)＝－6sin t＋8 D．h(t)＝－6cos t＋8 答案：D 解析：设h(t)＝Acos ωt＋B(A<0，ω>0)，因为每12 min旋转一周，所以＝12，所以ω＝.由题意得，h(t)的最大值与最小值分别为14，2，所以解得所以h(t)＝－6cos t＋8.故选D． 4.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则函数的解析式为______________________． 答案：y＝2sin 解析：由图象可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝＝.又x＝6时，×6＋φ＝2kπ，k∈Z，且|φ|<π，所以φ＝－.所以所求函数的解析式为y＝2sin. 学科网（北京）股份有限公司 $