7.3.2 第1课时 正弦型函数的性质与图象(一)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7.3.2　正弦型函数的性质与图象 知识 目标 1.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并熟悉其变换过程．　2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率与振幅．　3.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图象变化的影响以及它们的物理意义． 素养 目标 通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图象和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养. 第1课时　正弦型函数的性质与图象(一) 在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象． 学生用书↓第29页 将测得的图象放大，如图②所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？ 问题．(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？ (2)如何作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象？ 提示：(1)在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，最值受A的影响，最大值为|A|，周期受ω的影响，T＝. (2)方法一：五点法作图．方法二：图象的变换． 知识点一　正弦型函数的性质 1．正弦型函数 (1)定义：形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数； (2)条件：A，φ，ω都是常数，且A≠0，ω≠0. 2．函数y＝Asin (ωx＋φ)的性质 函数 y＝Asin (ωx＋φ) 定义域 R 值域 [－|A|，|A|] 单调性 当A＞0，ω＞0时，将ωx＋φ视为整体，代入y＝sin x相应的单调区间求解；当A＜0或ω＜0时，注意单调性的变化 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数， 当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数 周期性 T＝ 图象的 对称性 将ωx＋φ视为整体，代入y＝sin x图象相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解 [微提醒]　(1)若无特别说明，则本书中所说的周期一般都是最小正周期． (2)一般地，函数y＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝. (3)正弦函数是奇函数，反映在图象上正弦曲线关于原点O对称． (4)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 知识点二　参数A，φ，ω对函数图象的影响 1．A(A＞0)对函数图象的影响． y＝sin xy＝Asin__x 2．φ对函数图象的影响． y＝sin xy＝sin__(x＋φ) 3．ω(ω＞0)对函数图象的影响 y＝sin xy＝sin__ωx． [微提醒]　在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sin ωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即y＝sin ωx的图象y＝sin＝sin(ωx＋φ)的图象． 知识点三　x＝Asin(ωt＋φ)中，常数A，φ，ω的实际意义 1．振幅|A|：小球能偏离平衡位置的最大距离． 2．初相φ：决定t＝0时小球的位置，即在Asin φ中起关键作用． 3．周期T＝：小球完成一次运动所需要的时间． 4．频率f＝：单位时间内能够完成的运动次数． 1．利用“五点法”作函数y＝sin x，x∈[0，4π]的图象时，所取的五点的横坐标为(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案：C 解析：令x＝0，，π，，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π.故选C． 学生用书↓第30页 2．函数f(x)＝sin的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案：B 解析：f(x)＝sin＝sin＝cos x，定义域为R，f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝f(x)，所以该函数为偶函数．故选B． 3．将函数f(x)＝sin 2x 的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，则函数g(x)的解析式是(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin 答案：C 解析：由题意，将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得g(x)＝sin＝sin 的图象．故选C． 4．下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线x＝对称的是(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 答案：B 解析：由题意知，ω＝＝2，当x＝时，y可取得最值．对于A，将x＝代入y＝2sin，可得y＝0≠±2，故排除A；对于B，将x＝代入y＝2sin，可得y＝2，故B正确；对于C，y＝2sin的周期为4π，故排除C；对于D，将x＝代入y＝2sin，可得y＝≠±2，故排除D．故选B． 5．将函数y＝sin图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 答案：A 解析：将函数y＝sin图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y＝sin＝sin，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，函数的一条对称轴的方程是x＝，故A正确；经验证，其他选项均不符合题意．故选A． 题型一　正弦型函数的图象变换 例1　 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin＋1的图象． 点拨：本题考查三角函数的图象变换问题 方法一：伸缩变换再平移变换，最后上下平移； 方法二：先平移变换，再伸缩变换，最后上下平移． 解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．　　 对点练1.先将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin x C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin 答案：D 解析：先将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位，可得y＝sin的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝sin的图象．故选D． 题型二　作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例2　 画出函数y＝2sin (3x－)的简图． 点拨：方法一：可由图象变换把y＝sin x 变换为y＝2sin； 方法二：利用“五点法”作图． 解：方法一　先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sin的图象，如图所示． 方法二　用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的图象． 令X＝3x－，则x＝，列表，描点画图． X 0 π 2π x y 0 2 0 －2 0 学生用书↓第31页 1．作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，一般有两种方法： 方法一：由y＝sin x经过图象变换求得； 方法二：五点法作图． 2．五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤． (1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值； (2)描点； (3)连线得函数在一个周期内的图象； (4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．　　 对点练2.作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的简图． 解：函数y＝sin的周期T＝＝6π，我们用五点法作函数在一个周期上的图象．按五个关键点列表如下： x π 4π 7π x－ 0 π 2π y＝sin 0 0 － 0 描点作图，图象如图所示． 题型三　正弦型函数的性质 角度1　已知函数求值域(最值) 例3　 函数y＝2sin，x∈的值域为____________． 点拨：先由x的范围，求出2x－的范围最后求值域． 答案： 解析：因为x∈，所以2x∈，所以2x－∈，由正弦函数的图象与性质可得sin∈，所以2sin∈，即y＝2sin，x∈的值域为. 角度2　求正弦型函数的单调区间 例4　 函数y＝2sin＋1的单调递增区间为________________． 点拨：求解与正弦型函数有关的单调区间问题，主 要利用整体换元法，转化为求正弦函数的单调区间问题，然后构造不等式组，通过解不等式组即可得到所求函数的单调区间． 答案：，k∈Z 解析：方法一　函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数y＝2sin＋1的单调递增区间为，k∈Z. 方法二　令2x－＝，解得x＝， 所以函数y＝2sin(2x－)＋1，在x＝处取得最大值．又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝2sin＋1的一个单调递增区间为，即， 所以函数y＝2sin＋1的单调递增区间为，k∈Z. 角度3　求函数的周期 例5　 求下列函数的周期： (1)y＝sin(3x＋)；(2)y＝. 点拨：(1)可以用定义法求解，也可以利用公式直接求解；(2)可以利用图象求解． 解：(1)方法一　令v＝3x＋，函数y＝sin v的最小正周期是2π，v至少要增加到v＋2π，函数y＝sin v的值才能重复取得，sin＝sin＝sin，从而函数y＝sin的周期T＝. 方法二　函数y＝sin(3x＋)的周期T＝＝. (2)作出函数y＝的图象，如图所示． 由图象可得，函数y＝的周期为2π. 角度4　函数的奇偶性 例6　 已知函数f(x)＝·sin是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C． D．π 点拨：结合正弦函数图象利用诱导公式可求． 答案：B 解析：方法一　f(x)＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z. 显然当k＝0时，φ＝－满足题意．故选B． 方法二　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即sin＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，则φ＝－.故选B． 角度5　函数图象的对称性 例7　 函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴的方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 点拨：方法一：利用整体换元法求对称轴； 方法二：可逐项代入函数值最大(小)的是对称轴． 答案：C 解析：方法一　因为函数y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，令x－＝kπ＋，得x＝kπ＋(k∈Z)，此即函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程．令k＝－1，得x＝－.故选C． 方法二　正弦型函数的图象的对称轴与图象的交点是函数图象的最高点或最低点，因此可以将各选项代入验证．不难发现当x＝－时，函数f(x)取得最小值，因此直线x＝－是函数图象的一条对称轴．故选C． 学生用书↓第32页 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 1．奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． 2．单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调减区间． 3．对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x. 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴． 　　 对点练3.(1)已知函数f(x)＝2sin＋1，则f(x)的最小正周期是________，f(x)的最大值是________． (2)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________，单调递增区间是________________． 答案：(1)π　3　(2)2　(k∈Z) 解析：(1)f(x)＝2sin＋1，则T＝＝π，最大值为2＋1＝3. (2)由周期的求解方法可知；π＝，可得ω＝2；可得函数f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，(k∈Z)解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的递增区间为(k∈Z)． 易错点一　忽略三角函数的有界性 例1　 函数y＝cos2x＋2asin x－3，a∈R的最大值为________________． 正解：y＝1－sin2x＋2asin x－3＝－sin2x＋2asin x－2＝－(sin x－a)2＋a2－2. ①若a∈[－1，1]，则当sin x＝a时，y取得最大值， ymax＝a2－2； ②若a<－1，则当sin x＝－1时，y取得最大值， ymax＝－2a－3； ③若a>1，则当sin x＝1时，y取得最大值， ymax＝2a－3. 答案：a2－2或－2a－3或2a－3 易错探因：本题若忽视正弦函数的有界性，就会得到下面的错解： y＝1－sin2x＋2asin x－3＝－sin2x＋2asin x－2， 令t＝sin x，则y＝－t2＋2at－2. 由二次函数的性质知，当t＝a时，y取得最大值，ymax＝a2－2. 误区警示：在解决含有正弦函数及正弦型函数的最值问题时，一定要注意sin(ωx＋φ)∈[－1，1]这一隐含条件． 易错点二　忽略定义域 例2　 函数y＝log2的单调递增区间为____________． 正解：由题意，得sin>0，所以2kπ<x＋<π＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 又y＝sin的单调递增区间为 ，k∈Z. 所以函数y＝log2的单调递增区间为，k∈Z. 答案：，k∈Z 易错探因：本题若忽略对数函数的定义域，即sin>0，就会得到错误答案：函数y＝log2的单调递增区间为 ，k∈Z. 误区警示：解决与三角函数有关的复合函数问题时，定义域是先要考虑的问题，要在定义域内思考问题． 学生用书↓第33页 1．函数f(x)＝7sin是(　　) A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数 C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数 答案：A 解析：因为f(x)＝7sin＝－7cos，所以f(x)是偶函数，周期T＝＝3π.故选A． 2．将函数f(x)＝sin x的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin 答案：D 解析：将f(x)＝sin x图象上各点横坐标变为原来的，得y＝sin 2x的图象，再向左平移个单位长度后得g(x)＝sin 2＝sin的图象．故选D． 3．函数f(x)＝2sin在区间上的最大值为(　　) A．－2 B．1 C． D．2 答案：C 解析：当x∈时，x－∈，≤sin≤，所以1≤2sin≤，所以函数f(x)＝2sin在区间上的最大值为.故选C． 4．函数y＝sin，x∈[0，2π]的单调递减区间为________． 答案：， 解析：y＝sin＝－sin，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，又x∈[0，2π]，所以0≤x≤或≤x≤2π，所以原函数的单调递减区间为，. 学科网（北京）股份有限公司 $