7.3.1 正弦函数的性质与图象-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7．3　三角函数的性质与图象 7．3.1　正弦函数的性质与图象 知识 目标 1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．　2.能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图象 素养 目标 1.借助正弦函数图象和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．　2.通过正弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养. 问题1.绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)? 提示：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)． 问题2.我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？ 提示： 如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象． 知识点一　正弦函数的性质 　 函数 性质 　 y＝sin x 定义域 R 值域 因为正弦线的长度最大是1，最小是0，所以值域是[－1，1] 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数，图象关于原点中心对称 周期性 周期函数，周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π 单调性 在区间(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减 零点 kπ(k∈Z) [微提醒]　(1)如果y＝sin x的定义域不是全体实数，那么它的值域就可能不是[－1，1]．如y＝sin x，x∈，此时y∈[0，1]． (2)正弦函数在其定义域上不是单调的． (3)若函数y＝sin x的定义域不是R，则一定要在给定定义域内结合函数的单调性求其值域． 知识点二　正弦函数的图象 1．正弦函数的图象 正弦函数y＝sin x的图象如图所示． 一般地，y＝sin x的函数图象称为正弦曲线． [微提醒]　(1)作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数． (2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为(kπ，0)(k∈Z)． (3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为π，相邻 学生用书↓第26页 两个对称中心的距离也为π，对称中心到其相邻对称轴的距离为. 2．五点法作图 从图中可以看出，以下五个点在确定y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状时起着关键作用： (0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 这五个点描出后，y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高的情况下，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后再描点作图，这种作图方法称为五点法． [微提醒]　对y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状起关键作用的五个点分为两类： (1)图象与x轴的交点：(0，0)，(π，0)，(2π，0)； (2)图象上的最高点和最低点. 1．(多选)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是(　　) A．x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 答案：ABD 解析：由正弦函数y＝sin x在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象可知，A、B、D正确；C项不正确． 2．用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A． B． C．(π，0) D．(2π，0) 答案：A 解析：用“五点法”画y＝sin x，x∈[0，2π]的简图时，横坐标分别为0，，π，，2π，纵坐标分别为0，1，0，－1，0.故选A． 3．函数y＝1－sin x(x∈[0，2π])的大致图象是图中的(　　) 答案：C 解析：按五个关键点列表： x 0 π 2π y 1 0 1 2 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示： 故选C． 4．函数y＝a|sin x|＋2(a>0)的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：在坐标系中大致画出函数y＝a|sin x|＋2(a>0)的图象： 根据图象得到函数的一个增区间是.故选B． 5．函数y＝2－sin x，当x＝________时，y的最小值为______；当x＝______时，y的最大值为________． 答案：2kπ＋，k∈Z　1　2kπ－，k∈Z　3 解析：由正弦函数的性质可知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝sin x取最大值1，此时y＝2－sin x的最小值为1，当x＝2kπ－，k∈Z时，y＝sin x取最小值－1，此时y＝2－sin x的最大值为3. 题型一　正弦函数的性质及应用 角度1　比较大小 例1　 比较下列各组数的大小： (1)sin与sin； (2)sin与sin； (3)sin与cos. 点拨：　,构造 函数→,利用诱导公式将异名 函数转化为同名函 数，且把角转化到同 一个单调区间→,利用单调 性求解 解：(1)因为－＜－＜－＜0，且正弦函数y＝sin x在区间上是增函数， 所以sin＞sin. (2)sin＝sin＝sin＝sin， 因为正弦函数y＝sin x在上是增函数，且0＜＜＜，所以sin ＜sin ，即sin ＜sin. (3)因为cos ＝sin，且＜＜＋＜，而y＝sin x在上是减函数， 所以sin＞sin，即sin ＞cos . 学生用书↓第27页 角度2　已知函数求值域(最值) 例2　 求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值： (1)y＝2sin x－1； (2)y＝－sin2 x＋sin x＋. 点拨：(1),确定sin x的最值→,求y的最值 (2),换元转化为二 次函数的最值→,确定新元 的范围→,求y的最值 解：(1)由－1≤sin x≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sin x－1取得最大值，ymax＝1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sin x－1取得最小值，ymin＝－3. (2)令sin x＝t(－1≤t≤1)，则y＝－sin 2 x＋sin x＋＝－(t－)2＋， 因为－1≤t≤1，所以当t＝sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝； 当t＝sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－. 1．关于正弦值大小比较 利用诱导公式将角化到正弦函数的单调区间内，通过单调性比较大小，如果不在一个单调区间，一是借助中间值，如0比较，二是利用正弦函数的对称轴转化比较． 2．关于与正弦函数有关的最值 (1)一次式：如果是关于正弦函数的一次式，要根据一次项的系数正负确定最值． (2)二次式：如果是关于正弦函数的二次式，则通过换元转化为一元二次函数配方求最值．　　 对点练1.(1)不求值，比较sin 和sin 的大小． (2)求y＝1－2sin2x＋sin x的值域． 解：(1)sin ＝sin＝sin ， sin ＝sin＝sin . 因为函数y＝sin x在上单调递增，且<， 所以sin <sin ，即sin <sin . (2)y＝1－2sin2 x＋sin x，令sin x＝t， 则－1≤t≤1，y＝－2t2＋t＋1＝－2(t－)2＋. 因为－1≤t≤1， 所以当t＝－1时函数取得最小值ymin＝－2， 当t＝时函数取得最大值ymax＝. 即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为. 题型二　用“五点法”作正弦函数图象 例3　 (1)画出函数y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象； (2)画出函数y＝|sin x|，x∈R的简图． 点拨：用“五点法”作图的关键是找到5个特殊点． 解：(1)按“五点法”取值列表如下： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝－sin x 0 －1 0 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图，得到y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象． (2)按“五点法”取值．列表如下： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝|sin x| 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到y＝|sin x|，x∈R的图象，如图所示． “五点法”作函数y＝rsin x＋l的图象的步骤 第一步：列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数y＝rsin x＋l的五点； 第二步：描点：将函数y＝rsin x＋l的五点在坐标系中描出来； 第三步：连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接．　　 对点练2.利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解：先取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 再描点，并用光滑的曲线连起来，如图得到y＝1－sin x(0≤x≤2π)的图象． 题型三　正、余弦函数曲线的简单应用 例4　 方程sin x＝lg x的实根有(　　) A．1个　　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．无穷多个 学生用书↓第28页 点拨：画出y＝sin x的图象后要充分利用y＝lg x的图象过点(1，0)和点(10，1)来确定两图象交点的个数，准确画图是解答此类题的关键． 答案：C 解析：在同一平面直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象，如下图，由图可以看出两函数图象有3个交点，所以方程sin x＝lg x的实根有3个． 这是正弦函数与方程的根的综合问题，利用转化与化归思想化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合求解．　　 对点练3.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________． 答案：(1，3) 解析：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝ 如图，则实数k的取值范围是1＜k＜3. 1．下列图象是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　) 答案：D 解析：由y＝sin x在[0，2π]上的图象，作其关于x轴的对称图形，得y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象为选项D中的图象． 2．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点． 3．不等式sin x<－，x∈[0，2π]的解集为________． 答案： 解析：如图所示，不等式sin x<－的解集为. 4．在[0，2π]上，函数y＝的定义域是________． 答案： 解析：依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图所示．由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $