7.2.4 第2课时 诱导公式(二)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

第2课时　诱导公式(二) 知识 目标 1.掌握诱导公式五～八，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．　2.能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明． 素养 目标 1.通过诱导公式五～八的推导，培养学生的逻辑推理核心素养.2.通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养. 观察单位圆，回答下列问题： 问题1.角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？ 提示：角α与－α的终边关于直线y＝x对称；α与 ＋α的终边垂直． 问题2.角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？ 提示：点P1的横坐标、纵坐标分别与点P的纵坐标、横坐标相等；点P2的横坐标与点P的纵坐标互为相反数，P2的纵坐标与P的横坐标相等． 问题3.根据问题1，你能得出α与＋α，－α的三角函数之间的关系吗？ 提示：sin＝cos α，cos＝sin α sin＝cos α；cos＝－sin α. 知识点　诱导公式五～八 [微提醒]　诱导公式五～八的记忆方法 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 说明：将视为一个基本单位，则诱导公式的统一形式为k·±α(k∈Z)． (1)“奇变偶不变”：其中“奇”“偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦.；当k为偶数时，函数名不变(如sin(π＋α)＝－sin α)． (2)“符号看象限”：诱导公式中的α为任意角，即可为任意大小的正角，负角和零角，但在记忆诱导公式时，把α看成锐角对公式的记忆有帮助，如公式sin(π＋α)＝－sin α，当把α看成锐角时，π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦的符号为负，故等式右边sin α前面的符号为负号；再如cos＝－sin α，＋α(把α看成锐角)为第二象限角，其余弦的符号为负，所以sin α前面的符号为负号． 学生用书↓第23页 1．如果sin α＝，那么sin(π＋α)－cos等于(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：根据诱导公式得，sin(π＋α)－cos＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－.故选B． 2．下列式子与sin相等的是(　　) A．sin B．cos C．cos D．sin 答案：D 解析：因为sin＝－sin＝－cos θ.对于A，sin＝cos θ；对于B，cos＝－sin θ；对于C，cos＝cos＝－cos＝－sin θ；对于D，sin＝sin＝－sin＝－cos θ.故选D． 3．已知tan θ＝3，则等于(　　) A．－ B． C．0 D． 答案：B 解析：因为tan θ＝3，则＝ ＝＝＝.故选B． 4．若α∈，且sin(π＋α)＝，则sin等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为α∈，且sin(π＋α)＝，所以sin α＝－，cos α＝，则sin＝sin＝－cos α＝－.故选B． 5．求值：sin 25°·cos 115°＋cos 155°sin 65°＝__________． 答案：－1 解析：sin 25°cos 115°＋cos 155°sin 65°＝sin 25°cos(90°＋25°)＋cos(180°－25°)cos 25°＝－sin 25°sin 25°－cos 25°cos 25°＝－sin2 25°－cos2 25°＝－1. 题型一　利用诱导公式求值 例1　 (1)已知cos＝－0.3，则sin(2π－α)＝_________________________. (2)已知sin＝，则cos＝____________________________________. (3)已知cos＝，则cos－sin2＝________． 点拨：,确定已知角和待 求角之间的关系→,选定诱导公式→,代入求值 答案：(1)－0.3　(2)　(3)－ 解析：(1)因为cos＝－sin α＝－0.3， 所以sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3. (2)因为＋＝，所以cos＝cos＝sin＝. (3)cos－sin2＝cos－sin2＝－cos－sin2＝－cos－1＋cos2＝－－1＋＝－. 利用诱导公式五、六求值的三个关注点 1．角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一． 2．切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少． 3．函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名． [注意]　当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系．或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．　　 对点练1.已知tan θ＝2，则＝__________． 答案：－2 解析：因为tan θ＝2，所以＝＝＝＝－2. 题型二　利用诱导公式证明恒等式 例2　 求证：＝. 点拨：证明题在证明时应由繁入简，求题右边复杂，应从右边入手利用诱导公式化简证明． 证明：　右边＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝左边． 所以原等式成立． 学生用书↓第24页 证明三角恒等式的常用方法 1．由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则． 2．证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用． 3．通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.　　 对点练2.求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α. 证明：　左边＝·[－sin(2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边， 故原等式成立． 题型三　诱导公式的综合应用 例3　 已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 点拨：首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题． 解：(1)f(α)＝＝＝－cos α. (2)因为cos＝，又cos＝cos＝－sin α，即sin α＝－，而α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－ ＝－，所以f(α)＝－cos α＝. (3)当α＝－π时，f(α)＝－cos α＝－cos＝－cos＝－cos ＝－. 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．　　 对点练3.已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第二象限角，且cos＝，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝ ＝ ＝＝cos α. (2)由cos＝得，sin α＝， 因为α是第二象限角， 所以f(α)＝cos α＝－ ＝－＝－. 1．已知sin＝，则cos等于(　　) A．－ B．－ C． D．± 答案：D 解析：sin＝cos α＝，而cos＝sin α＝±.故选D． 2．已知sin＝，则cos的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 解析：cos＝cos＝－sin＝－.故选A． 3．化简：＝_____________________. 答案：－tan θ 解析：原式＝＝ ＝＝－tan θ. 4．已知sin φ＝，则cos＋sin(3π－φ)＝________． 答案： 解析：因为sin φ＝，所以cos＝cos＝cos＝cos＝sin φ＝，所以cos＋sin(3π－φ)＝＋sin(π－φ)＝＋sin φ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $