7.2.4 第1课时 诱导公式(一)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7.2.4　诱导公式 知识 目标 1.掌握诱导公式一～四，并会用公式求任意角的三角函数值．　2.会用诱导公式一～四进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明． 素养 目标 通过诱导公式一～四的推导，培养学生的逻辑推理核心素养；借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 第1课时　诱导公式(一) 问题1.如图，设角α，π＋α，－α，π－α的终边与单位圆O的交点分别为P，P1，P2，P3，则P与P1，P与P2，P与P3的坐标有怎样的关系？ 提示：P与P1的纵坐标、横坐标都互为相反数，P与P2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，P与P3的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 问题2.根据问题1，你能得出α，π＋α，－α，π－α的三角函数之间的关系吗？ 提示：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. 知识点一　角的旋转、对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC． 则射线OB是角α＋θ的终边，射线OC是角α－θ的终边，所以角α＋θ的终边与角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线对称． 学生用书↓第19页 知识点二　诱导公式一～四 [微提醒]　诱导公式一～四的理解 (1)公式一～四中角α是任意角． (2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等． (3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下： 2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”． 1．对于α∈R，下列等式恒成立的是(　　) A．sin(2π－α)＝sin α B．cos(－α)＝－cos α C．cos(π－α)＝cos α D．tan(π－α)＝tan(2π－α) 答案：D 解析：对于A，sin(2π－α)＝－sin α.故A错误；对于B，cos(－α)＝cos α.故B错误；对于C，cos(π－α)＝－cos α.故C错误；对于D，tan(π－α)＝－tan α，tan(2π－α)＝－tan α，则tan(π－α)＝tan(2π－α)．故D正确．故选D． 2．已知α＝，β＝2kπ＋，k∈Z，则角α与β的终边(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝－x对称 答案：C 解析：因为α＝，β＝2kπ＋，k∈Z，所以α＋β＝2kπ＋＋＝2kπ＋，则＝kπ＋，k∈Z，所 以角α与β的终边关于角的终边所在直线对称，即角α与β的终边关于直线y＝x对称．故选C． 3．sin 330°等于(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：sin 330°＝sin(360°－30°)＝－sin 30°＝－.故选B． 4．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 解析：因为sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，sin(4π－α)＝－sin α＝－.故选A． 5．代数式的化简结果是___________________． 答案：－1 解析： ＝ ＝＝＝－1. 题型一　给角求值问题 例1　 (1)sin π·cos π·tan的值是(　　) A．－ B． C．－ D． (2)求下列三角函数式的值： ①sin(－330°)·cos 210°. ②sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)． 点拨：利用诱导公式负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值． 答案：(1)A 解析：(1)sin π·cos π·tan＝sincostan＝－sin ·tan＝－··(－)＝－. (2)①sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°) ＝sin 30°·(－cos 30°)＝×＝－. ②sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°) ＝－sin 1 200°·－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝－×(－1)＝. 学生用书↓第20页 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 第一步：“负化正”； 第二步：“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角； 第三步：“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； 第四步：“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．　　 对点练1.(1)sin 300°＋cos 390°＋tan(－135°)＝(　　) A．－1 B．1 C． D．＋1 (2)sin 315°－cos 225°－sin(－480°)＋cos(－330°)＝__________． 答案：(1)B　(2) 解析：(1)sin 300°＋cos 390°＋tan(－135°)＝sin(－60°)＋cos 30°＋tan(180°－135°) ＝－sin 60°＋cos 30°＋tan 45°＝－＋＋1＝1.故选B． (2)原式＝sin(360°－45°)－cos(180°＋45°)－sin(－360°－120°)＋cos(－360°＋30°)＝－sin 45°＋cos 45°＋sin 120°＋cos 30°＝－＋＋＋＝. 题型二　给值求值问题 例2　 已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 点拨：先由sin α求cos α，注意角的范围，再利用诱导公式求tan α. 答案：D 解析：因为sin α＝且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.所以tan(π＋α)＝tan α＝－.故选D． 解决条件求值问题的方法 1．解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． 2．可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　　 对点练2.若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin (2π＋α)等于(　　) A． B．± C． D．－ 答案：D 解析：由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，故sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－(α为第四象限角)．故选D． 题型三　三角函数式的化简与证明 例3　 化简. 点拨：利用诱导公式(一～四)化简． 解：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)] ＝－tan(180°＋α) ＝－tan α， cos(－180°＋α)＝cos[－(180°－α)] ＝cos(180°－α) ＝－cos α， 所以原式＝＝－cos α. 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 1．利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． 2．化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变． 3．同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．　　 对点练3.求值： . 解： ＝ ＝＝tan α. 学生用书↓第21页 微专题(一)　思想方法 分类讨论思想在三角函数中的应用 证明：＝(－1)ncos α，n∈Z. 证明：当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z， 左边＝ ＝＝＝cos α. 右边＝(－1)2kcos α＝cos α，所以左边＝右边． 当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z， 左边＝ ＝＝ ＝＝－cos α. 右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，所以左边＝右边． 综上所述，＝(－1)ncos α，n∈Z成立． [名师点评]　解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式，往往对参数k进行讨论．常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)；cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)；sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sin α(k∈Z)；cos(kπ－α)＝(－1)kcos α(k∈Z)等. 1．计算sin(－330°)cos 390°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝×＝.故选B． 2．cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：由诱导公式可知cos＝cos＝cos＝cos＝－cos ＝－.故选A． 3．tan(5π＋α)＝m，则＝(　　) A． B． C．－1 D．1 答案：A 解析：因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，所以原式＝＝＝＝＝.故选A． 4．化简：·tan(2π－α)＝________． 答案：－1 解析：原式＝·tan(－α)＝·＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $