7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 知识 目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．　2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 素养 目标 通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养；借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养. 问题1.观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2.如图所示，如果对于任意角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)，那么角α的三个三角函数值sin α，cos α与tan α之间的关系是什么呢？ 提示：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝. 知识点　同角三角函数的基本关系式 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 ＝tan α(cos α≠0) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 学生用书↓第15页 [微提醒]　(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． (3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 1．化简的结果是(　　) A．cos 160° B．±|cos 160°| C．±cos 160° D．－cos 160° 答案：D 解析：由于cos 160°<0，故＝＝|cos 160°|＝－cos 160°.故选D． 2．若cos x＝，且x为第四象限的角，则tan x的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：因为x为第四象限的角，cos x＝，所以sin x＝－＝－，于是tan x＝＝＝－.故选D． 3．若α为锐角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝＝＝.故选D． 4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1. 5．若tan α＝2，则的值为________． 答案： 解析：因为tan α＝2，所以＝＝. 题型一　利用同角基本关系式求值 例1　 (1)已知sin α＝，求cos α，tan α； (2)已知tan α＝3，求. 点拨：(1)由sin α的符号分象限讨论cos α，tan α的符号． (2)在这里，注意到所求式子都是关于sin α，cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos α的整数次幂，就把所求值的式子用tan α表示，将tan α＝3整体代入，就能快速求其值． 解：(1)因为sin α＝>0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝＝ ＝，tan α＝＝； ②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－，tan α＝－. (2)分子、分母同除以cos2α， 得＝. 又tan α＝3，所以＝＝. 求同角三角函数值的一般步骤 第一步：根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限； 第二步：根据第一步中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论； 第三步：利用两个基本公式求出其余三角函数值．　　 对点练1.(1)本例(2)条件变为＝2，求的值． (2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sin α·cos α－5cos2α的值． 解：(1)方法一　由＝2，化简得sin α＝3cos α， 原式＝＝＝. 方法二　由＝2得tan α＝3， 原式＝＝＝. (2)原式＝ ＝＝＝. 学生用书↓第16页 题型二　化简三角函数式 例2　 化简： (1)－；(2). 点拨：利用同角三角函数的基本关系化简， (1)sin2α＋cos2α＝1；(2)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α. 解：(1)－ ＝＝＝－＝－2tan2α. (2)＝ ＝＝1. 三角函数式的化简技巧 1．化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．　　 2．对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式．然后去根号达到化简的目的． 3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1.以降低次数，达到化简的目的． 对点练2.(1)化简：； (2)已知α是第三象限角，化简：－. 解：(1)因为sin 40°－cos 40°<0， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝－1. (2) － ＝－ ＝－ ＝－， 因为α是第三象限角， 所以cos α<0，1＋sin α>0，1－sin α>0， 所以 －＝－＋＝－2tan α. 题型三　利用同角三角函数关系证明 例3　 已知tan2 α＝2tan2 β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 点拨：,切化弦→,利用sin2θ＋cos2θ＝1 将余弦转化为正弦→,整理得证 证明：由tan2α＝2tan2β＋1， 可得tan2β＝(tan2 α－1)， 即＝， 故有＝＝×， 即＝， 即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2 β)， 展开得sin2 β＝sin2 α－，即sin2 β＝2sin2 α－1. 证明简单三角恒等式的思路 1．从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． 2．证明左右两边等于同一个式子． 3．证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. 4．证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．　　 对点练3.在各式均有意义的情况下，求证： ＝. 证明：左边＝ ＝ ＝＝＝＝右边． 故等式成立． 学生用书↓第17页 易错点1　忽略分类讨论致错 例1　 若sin A＝，则的值为________． 正解：因为sin A＝＞0，所以角A是第一或第二象限角．当A是第一象限角时，cos A＝＝，所以＝＝6； 当A是第二象限角时，cos A＝－＝－， 所以＝＝－. 答案：6或－ 易错探因：由sin A＝，我们只能得到|cos A|＝，cos A的符号不能确定，故应对角的终边所在的象限进行讨论．切勿直接认为cos A＝. 易错点2　忽略隐含条件致错 例2　 已知θ∈(π，2π)，sin θ＋cos θ＝，则tan θ的值为________． 正解一：将sin θ＋cos θ＝两边平方，得1＋2sin θcos θ＝1－，即sin θcos θ＝－，易知θ≠.故sin θcos θ＝＝＝－， 解得tan θ＝－或tan θ＝－. 因为θ∈(π，2π)，sin θcos θ＝－＜0，所以θ∈(，2π)，由sin θ＋cos θ＝＞0可知0＞sin θ>－cos θ，即|sin θ|＜|cos θ|，故|tan θ|＜1，所以tan θ＝－. 正解二：本题若利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系，就会得到更为简捷的解法： 由sin θ＋cos θ＝　①，得sin θcos θ＝－＜0，又θ∈(π，2π)，所以sin θ＜0，cos θ＞0，所以sin θ－cos θ＜0.又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，所以sin θ－cos θ＝－　②.①②联立解得sin θ＝－，cos θ＝，所以tan θ＝－. 答案：－ 易错探因：　本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin θ|＜|cos θ|”的挖掘，或默认为sin θ－cos θ>0，从而得到错误答案：tan θ＝－. 误区警示：有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错． 学生用书↓第18页 1．已知锐角α满足sin α＝，则tan α等于(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：因为锐角α满足sin α＝，所以cos α＝＝＝，所以tan α＝＝.故选D． 2．化简 的结果是(　　) A．cos B．sin C．－cos D．－sin 答案：C 解析： ＝，因为为第二象限角，所以cos <0，所以原式＝－cos .故选C． 3．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：C 解析：由题意得(sin α－cos α)2＝，即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－.故选C． 4．若2sin α＋cos α＝0，则sin2α－2sin αcos α＝____________________________. 答案：1 解析：因为2sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－， 原式＝＝＝＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $