7.2.1-7.2.2 三角函数的定义 单位圆与三角函数线-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7.2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 7．2.2　单位圆与三角函数线 知识 目标 1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．　2.会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号． 3．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．　4.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 素养 目标 通过任意角的三角函数、三角函数线的概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养；借助角在各象限符号的判断和三角函数线的应用，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养. 问题1.初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？ 提示：在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边． 问题2.如图，锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 提示：根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，得sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，这一结论能推广到α是任意角时的情形． 问题3.根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号． 提示：三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义可知(sin α＝y，cos α＝x，tan α＝)，正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负． 知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 1.锐角三角函数的坐标解释 当α是锐角时，它的终边在第一象限内．如图所示，在α终边上任取一个不同于坐标原点的点P(x，y)，作PM垂直Ox于点M，记r＝，则△OMP是一个直角三角形，且OM＝x，PM＝y，OP＝r，由此可知sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝. 2．任意角的三角函数的定义 如图所示，设P(x，y)是任意角α终边上异于原点的任意一点，r＝. 名称 定义 定义域 说明 正弦 sin α＝ R ①α为任意角， ②P(x，y)， ③OP＝r 余弦 cos α＝ R 正切 tan α＝ 学生用书↓第11页 [微提醒]　对任意角的三角函数的理解 (1)三角函数是以角α为自变量，比值为函数值的一类函数，是正弦函数、余弦函数、正切函数等的统称，比值中的x不是自变量，y也不是函数值． (2)要明确sinα是一个整体，而不是sin与α的积，如同f(x)表示自变量为x的函数一样，离开α的“sin”“cos”“tan”等是无意义的． (3)确定三角函数的定义域时，应抓住“分母等于0时无意义”这一关键特性，因此正弦、余弦函数的定义域为R，正切函数的定义域为(或，k∈Z)． (4)因为x≤，y≤，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域为[－1，1]． 知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号得出的．由于原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值，所以根据三角函数的定义可知： (1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； (2)余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； (3)正切函数值的符号由纵坐标y与横坐标x的符号共同决定，即x，y同号为正，异号为负． 由上可得各三角函数在每个象限的符号，如图所示． [微提醒]　三角函数在各象限的符号的理解及记忆 三角函数在各象限的符号可简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限内各三角函数值的符号均为正；第二象限内正弦值为正；第三象限内正切值为正；第四象限内余弦值为正． 知识点三　单位圆与三角函数线 1．单位圆 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆． 2．三角函数线 设角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直于x轴于M. 由三角函数的定义知点P(cos α，sin α)，其中cos α＝±||，sin α＝±||，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝±||.我们称、、分别为α的余弦线、正弦线、正切线． 各象限内的三角函数线如下表所示： 图形 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 [微提醒]　三角函数线的理解 (1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示． (2)三角函数线是与以坐标原点为圆心的单位圆有关的有向线段，在作三角函数线时，一定要先作以坐标原点为圆心的单位圆． (3)三角函数线是有向线段(规定了起点和终点的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点． 学生用书↓第12页 (4)三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长，正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值． 1．下列选项中符号为负的是(　　) A．sin 110° B．cos(－60°) C．tan 4 D．cos 答案：D 解析：A．因为110°是第二象限的角，所以sin 110°>0，不符合题意；B．因为－60°是第四象限的角，所以cos(－60°)>0，不符合题意； C．因为4是第三象限的角，所以tan 4>0，不符合题意；D．因为是第二象限的角，所以cos <0，符合题意．故选D． 2．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：因为点P(3，－4)是角α的终边上一点，所以sin α＝＝－，cos α＝，所以sin α－cos α＝－.故选A． 3．已知角α的正弦线的方向与y轴正方向相同，余弦线的方向与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则(　　) A．sin α＋cos α＝0 B．sin α－cos α＝0 C．tan α＝0 D．sin α＝tan α 答案：A 解析：由题意，得sin α＞0，cos α＜0，且|sin α|＝|cos α|，所以sin α＋cos α＝0.故选A． 4．已知角α的终边过点P(sin 1，cos 1)，则α是第________象限角．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 答案：A 解析：因为角α的终边过点P(sin 1，cos 1)，所以cos α＝sin 1＝cos，sin α＝cos 1＝sin，故α和－1终边相同．由于－1为锐角，所以cos α>0，sin α>0，故α为第一象限角．故选A． 5．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sin α＝________，tan α＝________． 答案：　－ 解析：角α的终边与单位圆的交点坐标为，则x＝－，y＝，r＝＝1，所以sin α＝＝，tan α＝＝－. 题型一　任意角的三角函数值 例1　 (1)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)且cos θ＝x，求sin θ，tan θ的值． (2)已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求sin α，cos α的值． 点拨： (1),利用cos θ求x―→,代入定义求值 (2)先确定角α终边上一个点的坐标，然后利用三角函数的定义求得sin α，cos α的值． 解：(1)因为r＝，cos θ＝， 所以x＝ . 又x≠0，所以x＝±1.又3＞0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3； 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3. (2)因为角α的终边落在直线y＝－3x上， 所以角α的终边落在第二象限或第四象限． 若角α的终边落在第二象限，则可取其上一点(－1，3)， 所以r＝＝， 所以sin α＝＝，cos α＝＝－. 若角α的终边落在第四象限，则可取其上一点(1，－3)， 所以r＝＝， 所以sin α＝＝－，cos α＝＝. 已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 1．先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 2．在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． 3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．　　 对点练1.(1)已知角α的终边经过点P(－4，3)，则sin α＝________；tan α＝________． (2)已知角θ的终边在直线4x＋3y＝0上，求3tan θ＋5cos θ的值． 答案：(1)　－ 解析：(1)因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝＝5，所以sin α＝＝，tan α＝＝－. (2)设角θ的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)， 则|OP|＝＝5|a|. 当a>0时，r＝5a，tan θ＝＝＝－，cos θ＝＝＝－， 所以3tan θ＋5cos θ＝3×＋5×＝－7. 当a<0时，r＝－5a，tan θ＝＝＝－， cos θ＝＝＝， 所以3tan θ＋5cos θ＝3×＋5×＝－1. 学生用书↓第13页 题型二　三角函数线及应用 例2　 分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 与sin ，cos 与cos ，tan 与tan 的大小． 点拨：,作单位圆→,作角→,作角的三角函数线→,根据三角函数线判断大小 解：在平面直角坐标系中作单位圆，如图所示． 以x轴非负半轴为始边作的终边，与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于点M. 过单位圆与x轴正半轴的交点A作单位圆的切线，与OP的反向延长线交于点T， 则sin＝||，cos ＝－||，tan ＝－||. 同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线， sin ＝||，cos ＝－||，tan ＝－||. 由图形可知，||>||，则sin >sin ；||<||，－||>－||，则cos >cos ；||>||，则tan <tan . 三角函数线的画法 1．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线．得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． 2．作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线．　　 对点练2.利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α＝－. 解：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝＝π－，∠xOP′＝－， 所以满足条件的所有角α的集合为 . 　 (2)如图②所示，过作与x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP′＝sin∠xOP＝－， 所以∠xOP′＝π，∠xOP＝π， 所以满足条件所有角α的集合为 . 题型三　三角函数值符号的判断与应用 例3　 (1)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos(－210°)； ②sin 3·cos 4·tan 5. (2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定角α终边所在的象限． 点拨：(1),确定角的终边所在的象限→ 分别判断三角函数值符号→,得出式子的符号 (2),确定2α的范围→,确定α的范围→ 判断α的终边的位置 解：(1)①因为145°角是第二象限角， 所以sin 145°>0. 因为－210°＝－360°＋150°， 所以－210°角是第二象限角， 所以cos(－210°)<0， 所以sin 145°cos(－210°)<0. ②因为<3<π<4<<5<2π， 所以sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0， 所以sin 3·cos 4·tan 5>0. (2)因为sin 2α>0，所以2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)． 所以kπ<α<kπ＋(k∈Z)． 当k为偶数时，可知α为第一象限的角； 当k为奇数时，可知α为第三象限的角． 所以α为第一或第三象限的角． 又因为cos α<0，所以α为第二或第三象限的角， 或α终边在x轴的非正半轴上． 综上知，角α的终边在第三象限． 判断三角函数值正负的两个步骤 第一步：定象限：确定角α所在的象限； 第二步：定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．　　 [注意]　若sin α>0，α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． 对点练3.若角θ满足条件sin θcos θ<0，且cos θ－sin θ<0，则θ在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：因为sin θcos θ<0，所以θ在第二、四象限，又因为cos θ－sin θ<0，当θ在第二象限时，sin θ>0，cos θ<0，满足条件，当θ在第四象限时，sin θ<0，cos θ>0，不满足条件，所以θ在第二象限．故选B． 学生用书↓第14页 1．已知P(1，－5)是α终边上一点，则sin α＝(　　) A．1 B．－5 C．－ D． 答案：C 解析：因为x＝1，y＝－5，所以r＝，所以sin α＝＝－.故选C． 2．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的x的取值范围是.故选B． 3．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos；③tan 2，其中符号为负的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：因为－1 000°＝－3×360°＋80°，所以－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；因为－是第四象限角，所以cos>0；因为2 rad≈2×57°18′＝114°36′是第二象限角，所以tan 2<0.故选B． 4．若sin θ≥0，则θ的取值范围是______________． 答案：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 解析：sin θ≥0，如图中阴影所示，利用三角函数线可得2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $