5.3.2函数的极值与最大（小）值（函数的最值）同步训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值----函数的最值同步训练 一、单选题 1．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于的说法正确的是（    ） A．在区间上是减函数 B．2是极小值点 C．在上一定没有最大值 D．最多有四个根 6．已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则可取（    ） A． B． C．1 D． 8．函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．若函数，则（　　） A．在上单调递减 B．当时，的值域为 C．只有一个零点 D．曲线关于点对称 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线与直线相切 B．存在不同时为0的实数a，b，使得恒成立 C．存在实数a，b且，使得既有极大值又有极小值 D．若且恒成立，则 三、填空题 12．设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 13．若时，，则实数的最大值为 . 14．已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围 ． 四、解答题 15．已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 16．已知函数，. (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 17．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若关于x的不等式恒成立，求a的值； (3)证明：对一切的，都有． 18．已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 19．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】当时，分离参数可得，构造函数，，利用导数求出函数的最小值，从而可得出当时，恒成立，实数的最大值，再验证对任意的恒成立即可. 【详解】当时，， 令，，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 所以当时，恒成立，则实数的最大值为， 下面证明当时，对任意的恒成立， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，对任意的恒成立， 所以的最大值为． 故选：D． 2．B 【分析】易得，对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可得出答案. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以， 则已知可化为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 因为函数在都是增函数， 所以函数在是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 即，所以，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 因为对任意的恒成立， 所以恒成立， 因为函数在都是减函数， 所以函数在是减函数， 又当时，， 所以由，得， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 3．D 【分析】根据题意利用导数先求，再验证在处取得最大值，进而求解. 【详解】由题得，故，， 则，故，即， 因此，且， 当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，满足题设，所以． 故选：D. 4．B 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】存在实数，使得，即不等式在上有解. 由 设函数（），则不等式可化为（*）. 易得函数在上单调递增， 故（*）式等价于. 又，所以有解，只需即可. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以，又，所以. 故选：B 5．D 【分析】根据导数正负判断原函数的单调性，从而可对各个选项进行判断. 【详解】由图可知：当或时，，当或时，， 因此函数在和上单调递减，在和上单调递增， 函数在上不单调，错误；－2不是极值点，B错误； 函数在处取得极大值， 当不小于函数在上的所有函数值时，函数有最大值，C错误； 当，且函数在上的图象都与轴相交时， 函数在上各有1个零点，共有4个零点， 因此最多能有四个零点，D正确． 故选：D． 6．A 【分析】把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数求解函数最值，进而得到参数的范围 【详解】由题意，即， 令， 求导得， 令， 故在单调递增，且， 令，解得（舍）或， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 在处取得极小值（也是最小值）：， 所以． 故选：A． 7．A 【分析】探讨函数在上单调性，由已知可得，再构造函数并求出其最小值即可判断作答. 【详解】依题意，由得， 令，函数在上单调递增， 由得， 则， 由得：，又， 于是得，， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在，上单调递减，在上单调递增， 当时，，且，， ，且，，故 即，显然选项A符合要求，选项B，C，D都不符合要求. 故选：A 8．C 【分析】由分离参数得，，引入函数，用导数研究函数的单调性极值后可得结论． 【详解】由题意方程（）有两个实根， 即在上有两个实根， 设，则， 当时，，单调递减，时，，单调递增， ，又，而时，， ∴当时，的图象与直线在上有两个交点， 即原函数有两个零点． 故选：C 9．BC 【分析】借助导数可先得到函数的单调性，结合题意与函数单调性计算即可得解. 【详解】， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由函数在上有最小值， 则在上有最小值， 又，故有， 即，解得，故选项中BC符合、AD不符. 故选：BC. 10．ACD 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】由条件得： 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故B错误； 选项C：由于在上单调递减，在和上单调递增， 即， 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：因为， 所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：ACD. 11．ABD 【分析】求出时的解，从而可求解A项；由，当方程无正根如时，恒成立，则在上单调递增，可对B判断求解；若既有极大值又有极小值，则方程有两个不同的实根，再利用根与系数关系即可对C判断求解；由若，则恒成立，则得，分别讨论，时的情况，从而求出，即可求解D. 【详解】A：若，则，， 令，解得，又，所以曲线与直线相切，故A正确； B：，当方程无正根， 如时，恒成立，则在上单调递增， 而恒成立，所以恒成立，故B正确； C：若既有极大值又有极小值，则方程有两个不同的实根， 即方程有两个不同的正根，设为， 则，且，，所以，故C错误； D：若，则，， 当时，，不符合条件， 当时，有一个正根， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到极小值也是最小值， 要使恒成立，只需，解得，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】分类讨论，当时，，再讨论的范围得出；当时，讨论的范围，由导数求得，即可求解． 【详解】①当时，，对称轴为， 当时，，则； 当时，，则； 所以当时，若在上恒成立，则； ②当时，，则， 当时，，则在上单调递增，当时，，不合题意； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，解得， 所以当时，若在上恒成立，则； 综上所述，， 故答案为：． 13． 【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，， 故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. 14． 【分析】利用导数求出函数的最小值，由零点情况求出最小值点的范围，进而求出的范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 又当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，则存在正数，使得， 即，，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大， 则当且仅当时，函数有两个零点， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，而，由，得， 又函数在上单调递增，因此， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 15．(1) (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）利用极值定义得，可解出解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，列表分析可得结论. 【详解】（1）依题意可得，又当时，取得极值， 所以，即，解得，经验证符合题意， 所以. （2）可知，. 令，则得或 0 2 + 0 - 0 + 极大值1 极小值 ，，所以在区间上的最大值为1，最小值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）方法一：先应用参数分离得出，再构造函数应用导数单调性得出最值求解；方法二：先求导函数，再分和讨论单调性进而得出最值求解； （2）方法一：先应用参数分离得出，再构造函数应用导数单调性得出最值求解；方法二：先求导函数，再分和讨论单调性进而得出最值求解； 【详解】（1）方法一：存在使得成立， 即存在使得成立 设，， 令，， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， ， 方法二：，， ①当时，，函数在上单调递增，因为， 所以总存在使得成立 ②当时，令解得；令解得， 故此时函数在上单调递增，在上单调递减， 因为存在使得成立， ， 综上所述，； （2）由（1）可知，当时，在恒成立， 所以函数在恒成立， 方法一：问题转化为在恒成立， 设，，， 设，当，， 在单调递增， 当，， 故，在单调递增， 根据洛必达法则，， ， ； 方法二：设，， ①当时， 在恒成立，在单调递增， ，即在恒成立， ②当时， 由，解得，在单调递增， 由，解得，在单调递减， ， 即在不能恒成立，舍去； 综上所述，. 17．(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】(1)求导，得，对分类讨论求解； (2) 对分类讨论求解； (3) 由（2）可知当时，，即，所以．则，故要证，即证．设，求导进行求解． 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，由（1）知在上单调递增，又，所以当时，，则不符合题意． 当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 则． 又，且，所以，解得， 经检验，当时，恒成立． 综上，a的值为1． （3）证明：由（2）可知当时，，即， 则，所以，所以． 当时，， 则， 故要证，只需证， 即证． 设，则． 由（2）可知，则，即， 所以，所以在上单调递增，所以， 故对一切的，都有． 18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值； (2)答案见解析. 【分析】（1）研究导函数正负情况即可求解； （2）利用导数工具分当、、、四种情况研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，即，解得，可得，，的变化如下表所示， 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，无极大值 （2）为增函数， ①当时，在上，函数单调递增， 此时； ②当时，令解得 若，即，在上，函数单调递增， 此时； 若，即，在上，，的变化如下表所示， － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 此时； 若，即，在上，函数单调递减， 此时； 综上所述，当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 19．(1)和 (2) 【分析】（1）令并求出x的范围，即可求函数的单调递增区间； （2）根据函数有两个零点，利用函数极大值等于零或极小值等于零列方程即可求实数的值． 【详解】（1）因为， 所以， 令，则或， 所以的单调递增区间为和. （2）由（1）得的单调递增区间为和. 令可得，的单调递减区间为， 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. 所以若有两个零点，则或， 解得. 所以. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $