精品解析：新疆 乌鲁木齐市天山区新疆生产建设兵团第一中学2025-2026学年九年级上学期第三次学情数学试题

2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（每小题4分，共36分） 1. 下列新能源汽车的车标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（） A. 抛一枚硬币，正面朝上 B. 抛一颗骰子，点数不大于 C. 打开广播，正在播报新闻 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下必定发生的事件．根据各选项描述，逐一判断其是否必然发生． 【详解】A．抛硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不是必然事件． B．骰子点数最大为6，因此点数不大于6是必然事件． C．广播内容不确定，可能播放新闻或其他节目，是随机事件． D．书的页码奇偶概率均等，翻到偶数是随机事件． 故选：B． 3. 二次函数的对称轴是( ) A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线， 即对称轴是y轴， 故选：A． 4. 如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦，的中点到弦的距离，则这个圆形工件的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查是垂径定理的应用；在圆中构建直角三角形，利用勾股定理即可求出工件半径． 【详解】解：如图所示， 设圆的半径为， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：． ∴原形工件的半径为． 故选：B． 5. 已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， ∴， 故选：C． 6. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图像在第一、三象限 B. 它的函数值随的增大而减小 C. 点为图像上的任意一点，过点作轴于点．的面积是． D. 若点和点在这个函数图像上，则 【答案】B 【解析】 【分析】对反比例函数化简得，所以k=＞0，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵k=＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确； B、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误； C、∵k=，根据反比例函数中k的几何意义可得的面积为=，故本选项正确； D、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1=﹣1＜0，x2=﹣＜0，且x1＞x2，∴，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键． 7. 如图，点在上，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，从而得到，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，从而得到，最后再由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可算出的度数． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 8. 如图，已知点P是外一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点M．下面是琪琪给出的两种作法： 作法Ⅰ：如图1，作线段的垂直平分线交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧交于点M，作直线．直线即为所求． 作法Ⅱ：如图2，连接，交于点B，作直径，以O为圆心，长为半径作弧；以P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求． 对于琪琪的两种作法，下列说法正确的是（ ） A. 两种作法都正确 B. 两种作法都错误 C. 作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误 D. 作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线的判定定理逐个判断即可． 【详解】作法Ⅰ：连接、 ∵线段的垂直平分线交于点G ∴, ∵以点G为圆心，长为半径画弧交于点M， ∴点在上，且为直径 ∴ ∴直线与相切； 作法Ⅱ：∵以O为圆心，长为半径作弧 ∴， ∵以P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D， ∴ ∴ ∴直线与相切； 综上所述，两种作法都正确； 故选：A． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（ ） A. 铁块的高度为 B. 铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C. 当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象．关键是得到图象中关键点表示的意义．用到的知识点为：浮力重力拉力．图2中点表示铁块未移动时，拉力为，那么铁块的重力为，此时铁块下表面与烧杯上端平齐；因为水平面保持不变．那么段铁块移动的距离即为铁块的高度，为，可判断A正确，不符合题意；表示铁块向下移动时，拉力为，此时铁块下表面与水面平齐；铁块继续向下移动，水向外流出，水平面保持不变．表示铁块上表面刚好浸入水中，拉力为．烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了，所以烧杯内水的高度为，可判断B正确，不符合题意；当铁块下降高度为时，由于出水口的存在，由图2可知，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为，那么所受到的浮力重力拉力为，故C错误，符合题意；设，代入，得，将代入，得，，故D正确，不符合题意；． 【详解】解：∵烧杯有出水口， ∴水平面在铁块下移过程中保持不变． ∴铁块的高度为段铁块移动的距离为，故A正确，不符合题意； ∵烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了， ∴烧杯内水的高度为，故B正确，不符合题意； ∵当铁块下降高度为时，铁块的一半刚好浸入水中， ∴拉力的大小为， ∵铁块的重力为， ∴铁块所受到的浮力为，故C错误，符合题意． 设，代入，得，将代入，得，，故D正确，不符合题意 故选：C． 二．填空题（每小题4分，满分24分） 10. 已知点与点关于原点对称，则的值为___________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴； 故答案为：2024 11. 定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，分和两种情况，列出方程解答即可，看懂新定义运算是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 12. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律是解决问题关键；根据二次函数图像平移规律，“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，得； 再向下平移1个单位，得； 故答案为． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 14. 如图，在中，平分，点在边上，，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平角的定义，对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合角平分线，先证明，得到，，接着证明，推出，得到，从而有，不妨设，推出，最后利用推出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴不妨设， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质、三角形的三边关系以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．设的中点为，连接，，先求出，，再根据三角形的三边关系求出的最大值． 【详解】解：设的中点为，连接，． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，的中点为， ∴， 在中，． ∴， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16. （1）计算：； （2）解方程：； （3）如图，用一段长为23米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在平行于墙的一边处设计有1米宽的通道方便出入，若墙的长为18米，花园面积为72平方米，求这个花园的长和宽是多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）这个花园的长是12米，宽是6米 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的应用，实数的运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）设这个花园的宽（垂直于墙的一边）为x米，则这个花园的长（平行于墙的一边）为米，利用矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， 或， 解得；； （3）设这个花园的宽（垂直于墙的一边）为x米，则这个花园的长（平行于墙的一边）为米， 由题意得，， 整理得， 解得， 当时，，符合题意， 答：这个花园的长是12米，宽是6米． 17. 先在方格空白处任意位置按画出下面图形放大后的图形，再画出原图绕点顺时针旋转所形成的图形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画放大的图形，画旋转图形，把原图的三角形的三边都放大两边后画出对应的三角形即可；根据网格的特点和旋转方式画出对应的旋转图形即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 18. 某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）在这次调查中，该校一共抽样调查了 名学生； （2）扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 °；请补全条形统计图； （3）若随机从“篮球”“足球”“乒乓球”三项中抽取两个项目成立球类体育社团，其中“篮球”被选中的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【答案】（1） （2），补图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查求扇形统计图的圆心角、概率公式、列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）用选择乒乓球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用乘以选择跑步的人数所占的百分比得到扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数，然后计算出选择足球的人数后补全条形统计图； （3）画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取两个项目中至少一项是“篮球”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 调查的总人数为(名)， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数为 ， 选择“足球”的人数为(名)， 补全条形统计图为： 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中抽取两个项目中至少一项是“篮球”的结果数为， 所以抽取两个项目中至少一项是“篮球”的概率 19. 若抛物线的顶点坐标是，并且抛物线经过点，求出该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标是，设抛物线的解析式为，把代入解析式，确定a值即可．本题考查了待定系数法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式可设为， 把点代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 即． 20. 如图已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）根据图象写出使一次函数值不小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）y；； （2）6 （3）或． 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线与x轴交于C点，求出，再根据求解即可； （3）利用函数图象和交点坐标求解即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数得：，即y； 将代入反比例解析式得：，即， 将与代入一次函数解析式得：， 解得：，， 即一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于C点， 令，则，解得：， ， ； 【小问3详解】 解：由图象可知，一次函数的值不小于反比例函数的值时x的取值范围为或． 21. 如图，要测量一垂直于水平面的建筑物的高度，小明从建筑物底端出发，沿水平方向向右走14米到达点，又经过一段坡角为，长为20米的斜坡，然后再沿水平方向向右走了50米到达点（A，，，，均在同一平面内）．在处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】24米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡比问题、矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点作，垂足为，延长交于点，则，，米，在中解直角三角形可得（米）、（米），即米；进而得到，在中解直角三角形可得，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，则， 由题意得：四边形是矩形， ∴，米， 在中，，米， （米），（米）， 米； 米， （米）， 在中，， （米）， （米）， 建筑物的高度约为24米． 22. 如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求半径长． 【答案】（1）见解析 （2）3.4 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形性质得到，最后利用等量代换，即可解题． （2）作于点E，证明四边形是矩形，设半径为x，则，，利用勾股定理求出，即可解题． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵是的切线， ， ， ， ． ， ， ， 平分． 【小问2详解】 解：如图2，过O作于点E， 设的半径为x， ，， ， 由（1），可得， 四边形是矩形， ，，则， ∵ ， 解得， 的半径是． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题． 23. 在中，，点D是边上不与点B重合的一动点，将绕点D旋转得到，点B的对应点E落在直线上，与相交于点G，连接． （1）如图1，当点D与点A重合时， ①求证：； ②判断与的位置关系是 ； （2）如图2，当点D不与点A重合，点E在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程； （3）如图3，当点D是的中点，点E在边上时，延长，相交于点P．若，求的长． 【答案】（1）①证明见解析 ② （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①由旋转的性质可知，于是可得，进而推出，由可得，由三角形的内角和定理可推出，于是结论得证；②由①可得，于是可得结论； （2）由旋转的性质可知，于是可得，进而推出，由可得，由三角形的内角和定理可推出，进而可得，，于是可证得，则，于是可得结论； （3）由（2）可知，进而可推出，于是可得，进而可得，，然后可证得，于是可得，由（2）可知，进而可得，于是可得，进而求得，再利用勾股定理求出，于是即可求出的长． 【小问1详解】 ①证明：由旋转的性质可知：， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②解：与的位置关系是，理由如下： 由①可得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：与的位置关系是，理由如下： 由旋转的性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，点D是的中点， ∴，， ， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 由旋转的性质可得：， ， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，熟记相关定理内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（每小题4分，共36分） 1. 下列新能源汽车的车标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（） A. 抛一枚硬币，正面朝上 B. 抛一颗骰子，点数不大于 C. 打开广播，正在播报新闻 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 3. 二次函数对称轴是( ) A 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线 4. 如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦，的中点到弦的距离，则这个圆形工件的半径是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图像在第一、三象限 B. 它的函数值随的增大而减小 C. 点为图像上的任意一点，过点作轴于点．的面积是． D. 若点和点在这个函数图像上，则 7. 如图，点在上，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知点P是外一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点M．下面是琪琪给出的两种作法： 作法Ⅰ：如图1，作线段的垂直平分线交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧交于点M，作直线．直线即为所求． 作法Ⅱ：如图2，连接，交于点B，作直径，以O为圆心，长为半径作弧；以P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求． 对于琪琪的两种作法，下列说法正确的是（ ） A. 两种作法都正确 B. 两种作法都错误 C. 作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误 D. 作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误 9. 为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（ ） A. 铁块的高度为 B. 铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C. 当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 二．填空题（每小题4分，满分24分） 10. 已知点与点关于原点对称，则的值为___________． 11. 定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 12. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是_______． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是____． 14. 如图，在中，平分，点在边上，，若，则________． 15. 如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16. （1）计算：； （2）解方程：； （3）如图，用一段长为23米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在平行于墙的一边处设计有1米宽的通道方便出入，若墙的长为18米，花园面积为72平方米，求这个花园的长和宽是多少米？ 17. 先在方格空白处任意位置按画出下面图形放大后的图形，再画出原图绕点顺时针旋转所形成的图形． 18. 某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）在这次调查中，该校一共抽样调查了 名学生； （2）扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 °；请补全条形统计图； （3）若随机从“篮球”“足球”“乒乓球”三项中抽取两个项目成立球类体育社团，其中“篮球”被选中的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 19. 若抛物线的顶点坐标是，并且抛物线经过点，求出该抛物线的解析式． 20. 如图已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）求的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值不小于反比例函数的值的x的取值范围． 21. 如图，要测量一垂直于水平面建筑物的高度，小明从建筑物底端出发，沿水平方向向右走14米到达点，又经过一段坡角为，长为20米的斜坡，然后再沿水平方向向右走了50米到达点（A，，，，均在同一平面内）．在处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度． （参考数据：，，，，，） 22. 如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径长． 23. 在中，，点D是边上不与点B重合一动点，将绕点D旋转得到，点B的对应点E落在直线上，与相交于点G，连接． （1）如图1，当点D与点A重合时， ①求证：； ②判断与的位置关系是 ； （2）如图2，当点D不与点A重合，点E在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程； （3）如图3，当点D是的中点，点E在边上时，延长，相交于点P．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $