19.2二次根式的乘法与除法第1课时二次根式的乘法同步练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版新教材数学八年级下册第19章二次根式 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1二次根式乘法法则 1． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算求解，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 2． ； ． 【答案】 6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，利用，再运用二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， 故答案为：6，． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式中的被开方数是非负数， ∴ 解得： 当 时，左边 右边 ∴ 等式成立的条件是 ， 故选：A． 5．若无理数与的积是一个有理数，则的值为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算与有理数、无理数的概念，解题关键是利用“根式的平方为有理数”的性质，构造出能与化简后式子相乘消去根号的无理数． 先化简，再根据“无理数与根式相乘后能消去根号得到有理数”的思路，确定无理数的形式． 【详解】解：①化简：． ②要使无理数与的积为有理数，需让可以含有的形式（其中为非零有理数）这样相乘后可消去根号． 例如取，则，是有理数，符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 6．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 7．计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数分别开方后相乘即可． 【详解】解： ， 故选：C． 8．若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握相关运算法则是解决问题的关键．，结合已知条件和，直接可得． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 9．已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 11．计算： （1）；     （2）；     （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求解；      （2）根据二次根式的乘法运算法则即可求解；      （3）根据二次根式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：（1）； （2） ； （3） ． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 12．阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 【答案】（1）①，；②，；（2）①；② 【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； ②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； （2）利用得出的规律化简各式即可． 【详解】解：（1）①，， ②，， 故答案为：①，；②，； （2）①，② 故答案为：①；②． 中档题 13．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键． 将分解为，简化后得到，再代入和表示和． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 14．估计的运算结果最接近下列哪个整数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，计算出式子的结果，再根据无理数的估算方法求出结果的取值范围即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的运算结果最接近4， 故选：B． 15．如果，那么等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握相关性质是解题关键. 根据二次根式的性质，被开方数必须非负，且等式化简后需满足条件 ，结合的范围求解. 【详解】解：由二次根式的性质，被开方数 ，即 原等式右边 ∴ 当 时，左边 ，右边 =，等式成立 当 时，，两边除以 得 解： 若 ，则 ，有 ，解得 若 ，则 ，有 ，恒成立 ∴ 的解为 ， 结合 得 综上，； 故答案为：. 16．小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的乘法，先理解题意，观察计算器，得，整理得，即． 【详解】解：观察计算器，得，， ∴， 则 ∴ 即， 故选：B 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，零指数幂，根据二次根式的乘法，零指数幂，绝对值的意义运算即可． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． 先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算减法即可． 【详解】解： ． 19．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 综合题 20．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算以及化简二次根式． 先根据三角形三边长度计算出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形的面积即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴的面积． 故选： 课堂检测 1．下列各式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算性质，解题关键是明确二次根式乘法性质的适用条件（被开方数为非负数），以及区分“根式下的和”与“和的根式”的不同运算逻辑． 依据二次根式的运算性质逐一判断选项． 【详解】解：A、中，被开方数和均为负数，不满足二次根式乘法性质中“，”的条件，不能拆分为​，不符合题意； B、，而，，不符合题意； C、，而，，不符合题意； D、中，，，满足二次根式乘法性质，可拆分为，符合题意． 故选：D． 2．下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求出对应选项中的数字与的积，再根据有理数的定义判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是有理数，符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：C． 3．设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 4．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 5．计算： ． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算；根据二次根式的性质以及二次根式的乘法法则进行计算即可求解． 【详解】解： ，   ， 故答案为：，． 6．计算：的结果是 ． 【答案】31 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与运算法则． 先化简，再计算，最后进行减法运算； 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （3）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （4）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 9．如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键． 分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可． 【详解】解：． 答：通道的总面积为． 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版新教材数学八年级下册第19章二次根式 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1二次根式乘法法则 1． ． 2． ； ． 3．计算： ． 4．若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 5．若无理数与的积是一个有理数，则的值为 （写出一个即可）． 6．计算： (1)． (2)． 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 7．计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 8．若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 9．已知，化简 ． 10．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 11．计算： （1）；     （2）；     （3）． 12．阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 中档题 13．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 14．估计的运算结果最接近下列哪个整数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．如果，那么等式成立的条件是 ． 16．小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（   ） A． B． C． D． 17．计算：． 18．计算：． 19．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 ． 综合题 20．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D．16 课堂检测 1．下列各式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A．2 B．3 C． D． 3．设，，则可以表示为() A． B． C． D． 4．计算： ． 5．计算： ． ． 6．计算：的结果是 ． 7．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $