19.1二次根式及其性质第2课时二次根式的性质同步练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版新教材数学八年级下册第19章二次根式 19.1二次根式及其性质 第2课时二次根式的性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1 1． ； ； 【答案】 20 / 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故答案为20；． 2．把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： （1） ．   （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 利用非负数的平方根性质，将每个数写为其算术平方根的平方． 【详解】解：根据算术平方根的性质，对于任意非负数，都有， ∴每个非负数都可以写成它的算术平方根的平方的形式 ∴49=，11=，0.81=，=． 故答案为：；；；． 3． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件求出，进而代入计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2) (3) (4)8 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （2）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （3）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （4）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解： 知识点2 5． ． 【答案】 5 【分析】本题考查了乘方运算及二次根式的性质，先计算平方运算，再求算术平方根． 【详解】解：， 故答案为：5． 6．化简： ． 【答案】 / 【分析】利用算术平方根的性质 ，判断 的符号后去绝对值即可． 本题考查二次根式的基本性质，掌握二次根式的概念进行化简是解题关键． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 7．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式性质． 根据二次根式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】解： A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、 ，计算错误，不符合题意； D 、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 8．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）运用二次根式的性质化简； （2）运用二次根式的性质化简； （3）运用二次根式的性质化简； （4）运用二次根式的性质化简； （5）先逆用积的乘方法则和幂的乘方法则，再运用二次根式的性质化简． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 9．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是解题关键． 先由数轴判断出，再结合及绝对值的化简规则进行求解． 【详解】解：， 由数轴可知，，则， ∴． 故选：． 10．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，说明一个命题是假命题只需举一个反例．根据“对于任何实数a，”成立的条件是即可得答案． 【详解】解：∵时，， ∴当时，原命题不成立，故A符合题意； 当时，原命题成立，故B不符合题意， 当时，原命题成立，故C不符合题意， 当时，原命题成立，故D不符合题意， 故选：A． 11．若成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的性质， 根据二次根式的性质， = ，由此将原式化为绝对值方程，再根据绝对值的非负性求解． 【详解】解：因为 = ， 所以原式即 ， 根据绝对值的意义，当且仅当时，该等式成立， 解得， 即 ． 故答案为：． 12．若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的化简计算． 利用将原式转化，再根据时列不等式求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 解这个不等式得：． 故选：C． 中档题 13．比较大小：（1） ；实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则 = ． 【答案】 / 【分析】此题考查了实数的大小比较，二次根式的性质与化简，以及实数与数轴， （1）比较两数的平方，即可求解； （2）根据数轴上点的位置判断出，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：（1），， ∴， 故答案为：． （2）根据数轴可得， ∴， 故答案为：． 14．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 15．如果 ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．由已知方程 可得 ，根据算术平方根的非负性，有 ，再化简所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故， ∵ ∴，， ∴， 故答案为：． 16．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 综合题 17．探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 【答案】(1)，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． ()根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； ()结合()中计算可知不一定等于，并发现其中规律； ()运用()得出的规律进行运算即可； ()结合数轴可知，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：； （2）解：由()可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； ∴； 故答案为：； （3）解：若，则， ∴， 故答案为：； （4）解：由在数轴上的位置可知，，且，， ∴， ， ， ． 课堂检测 1．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的运算，负指数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：，∴ A错误． B：，∴ B正确． C：，∴ C错误． D：，∴ D错误． 故选：B． 2．若把代数式中的和都扩大到原来的4倍，则该二次根式的值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 将原二次根式中的和都扩大到原来的倍，得到新表达式，通过计算新表达式与原表达式的关系，判断变化倍数. 【详解】解：∵ 原二次根式为 ， 将和都扩大到原来的倍，得新表达式为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 新值缩小到原来的 . 故选：D． 3．计算： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 4 0.6 【分析】本题考查了二次根式的平方运算性质，掌握平方运算的性质以及二次根式的性质 是解题的关键． （1）（2）（3）：根据二次根式的平方运算以及二次根式的性质逐一计算． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3）． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值表达式，再根据内部表达式的符号进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 5．当时，化简的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及绝对值的意义，熟练掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键；根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值表达式，再结合给定范围确定绝对值符号内的正负性，从而化简即可． 【详解】解：由二次根式的性质，，， 故原式； ∵， ∴原式， 故答案为． 6．计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1)6 (2) (3)0.3 (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用二次根式的性质化简，即可作答． （2）直接运用二次根式的性质化简，即可作答． （3）直接运用二次根式的性质化简，即可作答． （4）直接运用二次根式的性质化简，即可作答． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解： （4）解：； 7．先化简，再求值：，其中． 下面是小亮和小悦的解答过程： 小亮： 解：原式， 当时，原式． 小悦： 解：原式， 当时，， 原式． (1)上述解答过程中，_____的解法是错误的． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮； (2)，． 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． 化简要根据的取值范围进行化简，小亮没有考虑的取值范围，所以小亮的计算错误； 首先把代数式整理可得：原式，再根据的取值范围去掉绝对值即可． 【详解】（1）解：， 化简时要分情况， 当时，， 当时，， 当时，原式， 小亮的解答错误； （2）解： ， ， 原式． 8．已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得到，即，化简，整理后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴， 可化为， 整理得， ， 解得． 试卷第2页，共15页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版新教材数学八年级下册第19章二次根式 19.1二次根式及其性质 第2课时二次根式的性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1 1． ； ； 2．把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： （1） ．   （2） ． （3） ． （4） ． 3． ． 4．化简： (1) (2) (3) (4) 知识点2 5． ． 6．化简： ． 7．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 9．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 10．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 11．若成立，则a的取值范围是 ． 12．若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 中档题 13．比较大小：（1） ；实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则 = ． 14．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 15．如果 ，那么 ． 16．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 综合题 17．探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 课堂检测 1．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若把代数式中的和都扩大到原来的4倍，则该二次根式的值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 3．计算： （1） ． （2） ． （3） ． 4．计算： ． 5．当时，化简的正确结果是 ． 6．计算： (1)； (2)； (3) (4) 7．先化简，再求值：，其中． 下面是小亮和小悦的解答过程： 小亮： 解：原式， 当时，原式． 小悦： 解：原式， 当时，， 原式． (1)上述解答过程中，_____的解法是错误的． (2)先化简，再求值：，其中． 8．已知实数满足，求的值． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $