19.1二次根式及其性质第1课时二次根式的概念同步练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

· 人教版新教材数学八年级下册第十九章二次根式 · 19.1二次根式及其性质 · 第1课时 二次根式的概念 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1 二次根式的概念 1．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 知识点2 二次根式有意义的条件及求值 3．如果有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．请写出一个的值 ，使在实数范围内有意义． 5．若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 7．当时，求二次根式的值． 8．要使下列各式有意义，应是怎样的实数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点3 二次根式的参数问题 9．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 知识点4 二次根式的实际应用 10．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 中档题 11．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 12．求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 综合题 13．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 课堂检测 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若实数x，y满足，则的值为 ． 5．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 6．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 7．（1）已知点是平面直角坐标系中第四象限内的点，化简； （2）如图，小明想用一张长为、宽为的长方形纸片，沿边的方向剪出一张面积为的正方形纸片，小明能剪出符合要求的纸片吗？请通过比较纸片边长的长短进行说明． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 人教版新教材数学八年级下册第十九章二次根式 · 19.1二次根式及其性质 · 第1课时 二次根式的概念 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1 二次根式的概念 1．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，判断每个式子是否符合形如（）的形式，需同时满足根指数为、被开方数为非负数两个条件，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ②的被开方数，根指数为，是二次根式； ③当时，，被开方数为负数，不是二次根式； ④∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑤的根指数为，不是，不是二次根式； ⑥∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑦的被开方数，不是二次根式； 综上，是二次根式的有①②④⑥，共个． 故选：C． 知识点2 二次根式有意义的条件及求值 3．如果有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据“被开方数为非负数”列不等式求解的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴， ∴， 故选：B． 4．请写出一个的值 ，使在实数范围内有意义． 【答案】5（大于或等于5的实数均可） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须非负，由此列出不等式求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴符合题意的x的值可以为5； 故答案为：5（大于或等于5的实数均可）． 5．若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质，点坐标的特点，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入表达式求出y的值，最后依据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点P所在象限． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数， ∴， 解得， 当时，， ∴点的坐标为， ∵第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 6．使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围． 【详解】解：∵分母， ∴， ∵被开方数， ∴， ∴且． 故选D． 7．当时，求二次根式的值． 【答案】3 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 8．要使下列各式有意义，应是怎样的实数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)任意实数 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键． （1）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （2）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （3）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （4）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，解得：； （2）解：根据题意可得：，解得：； （3）解：根据题意可得：，解得：； （4）解：根据题意可得：，故应是任意实数． 知识点3 二次根式的参数问题 9．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 知识点4 二次根式的实际应用 10．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 中档题 11．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【答案】10或11 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的定义与周长．先根据二次根式有意义的条件求出，，再分情况求出三角形的周长即可． 【详解】解：∵，根据二次根式有意义的条件得到， ， 若腰长为3，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 若腰长为4，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 三角形的周长为10或11． 12．求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． （1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴． 综合题 13．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 课堂检测 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 2．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 3．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 4．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 5．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 6．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 7．（1）已知点是平面直角坐标系中第四象限内的点，化简； （2）如图，小明想用一张长为、宽为的长方形纸片，沿边的方向剪出一张面积为的正方形纸片，小明能剪出符合要求的纸片吗？请通过比较纸片边长的长短进行说明． 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，二次根式的运算等知识的运用，掌握以上知识是关键． （1）根据平面直角坐标系中点的特点得到，，结合二次根式的性质，绝对值的性质化简，再根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据正方形的面积得到边长，结合长方形纸片的边长判定即可． 【详解】解：（1）因为点是平面直角坐标系中第四象限内的点， 所以，， 所以， 所以； （2）不能，理由： 因为正方形纸片的面积为250， 所以它的边长为， 因为这个长方形纸片能剪出的最大正方形的边长为15，， 又因为， 所以， 所以小明不能剪出符合要求的纸片． 试卷第8页，共12页 试卷第7页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $