精品解析：江苏省锡山高级中学2025-2026学年第一学期12月阶段性检测高二数学试题

江苏省锡山高级中学2025-2026学年第一学期12月阶段性检测 高二数学 一、单选题 1. 已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值思想，结合等差数列的定义及通项公式来表达并加以判断即可. 【详解】令，则，因为， 所以，即为等差数列，故充分性成立. 反之，若为等差数列，设公差为， 则， 当时，，故必要性不成立. 故选：A. 2. 已知，，点在平面内，则的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，存在使得，从而得到，再将各个选项代入，判断是否存在即可求出结果． 【详解】根据题意，存在使得，即． 对于选项A，由，得无解，故选项A错误； 对于选项B，由，得，故选项B正确； 对于选项C，由，得无解，故选项C错误； 对于选项D，由得无解，故选项D错误， 故选：B． 3. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，得到，再利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，则，显然，当时，无意义， 即在处斜率不存在，所以倾斜角为. 故选：D. 4. 为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，,结合几何性质可得，,,利用椭圆的定义即可求解. 【详解】连接，,因为，关于点对称， 所以, 由于，关于直线对称，则为的中垂线， 则,, 所以四边形的周长为, 由椭圆的定义可得：, 所以， 即四边形的周长为 故选：D 5. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据列出方程求得的值，得到向量，，且是平面的一个法向量，设与平面ABD所成角为，再利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】 由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， ， ， 可得，，，， 因为点在平面上的射影是的重心，所以平面， 所以，即，解得， 可得，，所以，， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设与平面ABD所成角为， ， 所以. 故选：B. 6. 已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设，数形结合判断最大时的位置，再应用余弦定理求得，结合离心率范围确定答案. 【详解】由题设，当且仅当为椭圆上下顶点时最大，只需此时即可， 显然，此时为等腰三角形，且， 所以，则， 故，又，则椭圆的离心率范围是. 故选：C 7. 对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可得出，参变分离得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的最大值. 【详解】对任意的，不等式恒成立，则，可得， ， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，则， 故对任意的，， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故，解得， 即正实数的最大值为. 故选：A. 8. 已知数列满足，则（ ） A. 当时，存在使得 B. 当时，存在使得 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，存在正整数，当时， 【答案】D 【解析】 【分析】需要根据给定的值，分析数列的性质.通过对递推式的分析和一些特殊情况的探讨,结合二次函数的性质来判断每个选项的正确性. 【详解】对于A选项,当时，. 令，. 对于二次函数，其对称轴为，最大值为. 因为，由递推关系可知，所以不存在使得，A选项错误. 对于B选项，当时，. 令，. 因为的值域为，且，所以由递推关系可知，不存在使得，B选项错误. 对于C选项，当时，. 令，. 设. 令，，对称轴为，在上递增，在上递减. 当时，的值不是恒大于的，所以不存在正整数，当时，，C选项错误. 对于D选项，当时，. 设. 因为，在上递增，在上递减. 当足够大时，会趋近于某个值（），此时会趋近于. 所以存在正整数，当时，，D选项正确. 故选：D. 二、多选题 9. 如图，是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到，再连接的各边中点得到，…，如此继续下去，设的边长为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由中位线性质得是等比数列，公比为，从而由正三角形面积公式得也是等比数列，公比是，再由等比数列的前项和公式计算后可判断各选项． 【详解】显然是正三角形，因此，A正确； 由中位线性质易得，即是等比数列，公比为，因此，B正确； ，，C错； ，是等比数列，公比为，则也是等比数列，公比是， ，D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 最小正周期为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】用函数的奇偶性可判断A；根据诱导公式及函数的周期性定义可判断B、C；利用三角恒等变形得到，令，得，通过导数求得的最大值即可判断D. 【详解】对于A，因为，故A正确 又，故B正确，C错误； 对于D， ， 令，，，令，， 当时，，单调递减；时，，单调递增； 时，，单调递减. 又，， 所以，故D错误. 故选：AB. 11. 已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的有（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】当有，，共线，结合抛物线通径的性质判断A；令，设直线的方程为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义确定弦长，进而计算可判断B；当有，，三点共线，，，三点共线，令，直线的方程为，直线的方程为，结合焦半径公式计算可判断C，利用焦半径公式与基本不等式计算可判断D. 【详解】当时，有，故，，三点共线， 所以是一条焦点弦，其最小值为通径长度为，故A正确； 令，而，可设直线的方程为， 联立，消去得，所以， 则， ， 所以，故B错误； 当时，有， 所以，，三点共线，，，三点共线，如下图所示， 令， 直线的方程为，直线的方程为， 可得， 同B分析得，，，， 所以 ，故C正确； ， 当，即时取等号， 所以的最小值为16，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知数列满足且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】对递推公式变形，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 故答案为： 13. 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 14. 若时，，则实数的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，， 故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知等差数列满足，数列满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，去实数的取值范围． 【答案】（1），；，；（2）． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知列出关于首项与公差的方程组求解，即可得，从而利用叠加法即可求； （2）将裂项后，利用裂项相消求和法求出，然后将不等式对任意恒成立，等价转化为 ，最后构造函数，，即，利用二次函数知识即可求解. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即解得，， 所以． 因为，， 所以当时， ． 又适合上式，所以，． （2）由（1）可得， 则 ， 因为，不等式对任意恒成立， 所以， 令，，则，， 所以当，即时，取到最小值，故， 所以实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将不等式对任意恒成立， 等价转化为 ，然后构造函数，，即，利用二次函数知识求解. 16. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）设，当面积为时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用离心率得出，进而得出，，再利用时，得出点的坐标，代入椭圆的方程即可求解； （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解. 【小问1详解】 离心率，， 又，即，则， 椭圆：可化为， 当轴时，，，， 点在椭圆上，，将代入，得，， ，，椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，设，， 当直线的斜率不存在时，，， 此时三点共线，不能构成三角形，故不满足题意； 当直线的斜率存在时，设， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 则，， ， 又点到直线的距离， ， 化简得，解得或（舍），则， 经检验符合题意. 直线的方程为或. 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面．． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在上，且． （i）当时，求到平面的距离： （ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题可证得平面，且，所以可以点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法，求得平面与平面夹角的余弦值； （2）（i）由点面距的向量求法，求得到平面的距离；（ii）假设存在满足题意，根据线面角的向量求法，求得的值. 【小问1详解】 由平面平面，平面平面，平面， 得平面. 因为，平面，所以． 又四边形为直角梯形且， 则，故两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则， 取，从而， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，从而. （i）当时，， 从而到平面的距离为. （ii）假设存在满足题意，与平面所成角为， 则. 化简得，解得或． 故存在或，使得与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）若，证明：； （2）令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； （3）若，证明：. 【答案】（1）当时，，函数定义域为 ，则， 易得，下证当时. 要证，需证，即证， 设，则， 当时， ，则在上单调递增，故，即，故有； 当 时， ，则在 上单调递减，故，即，故有. 综上可得，当时，恒成立； （2）或 （3）由（1）知，当时，，即在 上单调递减， 因，则 ，即，也即， 由可得，在（1）中已证 ，当且仅当时取等， 故有，所以得证. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，可得，将定义域分成和 两段，利用导数判断函数单调性证明成立，经等价变形即可证得； （2）根据题意，将问题转化为函数与在上恰有一个交点，通过求导判断的单调性，求出极值和端点函数值，利用函数与方程的思想即可求得答案； （3）利用（1）可得时，在 上单调递减，推理可得，再利用（1）的结论 ，当且仅当时取等，即可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，由可得，即，， 设，则问题转化为函数与在上恰有一个交点. 则，由 可得，因，则， 当时，，则函数在上单调递增； 当时， ，则函数在上单调递减. 又， 则当时，两函数无交点；当或时，两函数有1个交点；当两函数有2个交点. 故当函数在区间上恰有一个零点时，k的取值范围为或； 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线：的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设的面积为，若，，，证明：． 【答案】（1）； （2）（i）数列为等比数列，故，， 过作直线，， 由消去并化简得， 其中，所以. ， 所以，. 过作直线， 同理可求得，. 所以直线的方程为， 直线的方程令，得， ， ，， . 因，故，即是等比数列. （ii） 由，，得. 的面积. 设， 由于， 由对勾函数单调性，当或时，， 当时，， 设，则单调递增，， 故. 求和得. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的离心率和过定点的条件，联立方程求得双曲线方程； （2）(i)通过直线与双曲线的中点坐标，推导直线与轴交点的坐标，结合等比数列的定义证明为等比数列； （ii）先用写出的表达式，对于含的部分，单独求出其最大值，最后由等比数列求和即可证明. 【小问1详解】 双曲线的离心率为2，故，结合得. 双曲线过点，代入得，结合， 得，故，. 双曲线的方程为. 【小问2详解】 (i) 略 (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学2025-2026学年第一学期12月阶段性检测 高二数学 一、单选题 1. 已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，，点在平面内，则的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（ ） A. B. C. D. 6. 已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则（ ） A. 当时，存在使得 B. 当时，存在使得 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，存在正整数，当时， 二、多选题 9. 如图，是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到，再连接的各边中点得到，…，如此继续下去，设的边长为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 最小正周期为 D. 的最大值为 11. 已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的有（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为16 三、填空题 12. 已知数列满足且，则_____． 13. 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是_______． 14. 若时，，则实数的最大值为_____. 四、解答题 15. 已知等差数列满足，数列满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，去实数的取值范围． 16. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）设，当面积为时，求直线的方程. 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面．． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在上，且． （i）当时，求到平面的距离： （ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数. （1）若，证明：； （2）令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； （3）若，证明：. 19. 已知双曲线：的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设的面积为，若，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $