学易金卷：高二数学下学期第一次月考（人教B版，范围：选择性必修第四章+第五章）

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 7 B D C C A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 AC BC BC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.19 7 13.1.5 14.50 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1)由2an-0+1=0,得an1=2an,neN,…1分 0=24，解得/4=2 当n=1时0，=24，则8+0，=6， (a2=4 2分 所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 则a,=2×28-小=2”.4分 (2）由（1)知a,=2”，所以b=0,+l0g20,=2”+n,…5分 所以3=2-2，a+-2-2+”+n 1-2 2 2 8分 (3)由(1)知an=2”,所以cn=anl0g2an=n·2”, (4)所以Tn=G+C+…+Cn, 1/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即Tn=1×2+2×22+3×2+…+n…2”, 2T。=1×22+2×23+3×24++n…2m+, …10分 两式相减得7-27=2+2+2+…+2°-n-2 21-2"） -n2m*1=(1-n-2-2,…12分 1-2 所以T,=(n-1·21+2 13分 16.【详解】(1)令u=x2,则y=ax2+b可化为y=au+b, .1分 (4-(y-列 230 230 ≈0.9910， V374×V14419.34×12 3分 令v=lny,则y=emr+"可化为lny=mx+n,即v=mx+n, …4分 因为-1+2+3+4+5-3,2-x2=-3到2+2-3驴+3-3到+4-32+5-3引=10,6分 5 立馬-0g-可 6.3 6.3 所以？= ≈0.9968， …8分 ∑- V10×V43.16×2 则<2，因此从相关系数的角度来看，模型y=e+"的拟合程度更好. 9分 (2)由(1)知，用模型y=emr+"比较合适， 令v=ny,则y=emr+m可化为lny=x+n,即v=mx+n, 11分 2(x-y-可列 所以m= 6.3 =0.63, 13分 (- 10 i=1 因为元=3，=1.6，所以i=7-mx=1.6-0.63×3=-0.29, 则y关于X的回归直线方程为i=0.63x-0.29,所以广=e6-29..15分 17.【详解】(1)在3Sn=4an-9n+8中， 令n=1,得3S1=4a1-9+8,即a=1. 由3Sn=4an-9n+8,得3S+1=4am+1-9(n+1)+8, 以上两式相减，得3an+1=4an+1-4an-9,即a+1=4an+9, 所以an1+3=4an+3),… 2分 2/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又4+3=4，所以+3=4， a,+3 所以数列{an+3}是首项为4，公比为4的等比数列. 所以0，+3=4X4-小=4，即n=4-3.4分 (2)由(1)得b.=210g2an+3)-3=210g24"-3=4n-3, 因为a,=4"-3=4×4"--3,n-1eN, 所以4∈八N,4×4-1-3都是{b}中的项。6分 因为a6=4-3=4093=b1o24,a,=47-3=16381=b4096, 所以数列cn}的前1024项是由数列bn}的前1030项去掉数列{an}的前6项后构成的， 即C1024=b030=4117.9分 (3)由(1)(2)得，S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6 =(4+4+4+4+4+4）-3x6 41-4-18=542 11分 1-4 设数列{bn}的前n项和为B, 则B1030 1030(6+bo0_1030×1+4117）=2120770, … 13分 所以T1024=B1030-S6=2120770-5442=2115328. …15分 18.【详解】(1)己知A,B,C三类题各一题，答对得5分，答错-2分， 设答对A,8,C题分别为事件4,8，C,则：P川41，P风)4PB)号，P回写 P(G)-2()- … …2分 三题全错：X=-2×3=-6, 对1题错2题：X=5-2×2=1, 对2题错1题：X=5×2-2=8, 三题全对：X=5×3=15, 即X的可能取值为：6,1,8,15，…3分 PX=-6=43224' 1111 316 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 31112111161 P(X=1)=x×+×x。+××5= 432432432244 32131112111 P(X=8)=x2x5 -- 43243243224' P(X=15)= 3x2x16-1 4322441 6分 所以X的分布列： 1 8 15 1 11 1 P 24 4 24 4 .7分 E(X)-6X1448x415x9 24 24 412 8分 2)因为4.B.C类题量之出为433，即任选一思，是A类的概等为行日类为 10,C 类品 设“任选一题作答正确”为事件D,由全概率公式： P(DFP(A)P(D A)+P(B)P(B)+P(C)P(D CX=4x3+3x23x113 10410310220 .11分 (i)由题意，Y~B100, .即Py-刻-cC导3=012m 设PYK≥D.则： ->1 13分 P(Y=k-1) C2020 ,13 o1-k 即100-k+×13>1,即13101-k>7k, k×7 解得：k<65.65,… 15分 因此：当k≤65时，P(Y=k)>P(Y=k-),概率单调递增； 当k≥66时，P(Y=k)<P(Y=k-1),概率单调递减， 故使P(Y=k)最大的k值为65，… 17分 回【详解】若82，则■=2，且4，=2，所以，数列Q是以首项和公比都为2的等比数列 an 则 21-2=2-2,所以S.+2=2, 1-2 …2分 4/6 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 1111111 且当A=1,8=2时，A8,+B3+22,0,a,222, f数到a药足2女 -,所以{an}是P(1,2)数列..4分 （2)若数列6，是P(2,0)数列，设数列6，的前项和S,则有2S.6b 111 babati bn-b。 当n≥2时.52b,5.26- bbn41bn-b。 两式相减得b.=2b.,-b.2b.-b b41 又.0，所以1=2b-b,2b,-b 2(b-b)(b-6-1)=b(b-B-1)-b-1(b1-6); 整理得(bn1-bn)b.=bn（b,-bn-1), 又bn≠0，所以2bn=bn-1+bn1,所以{bn}是等差数列，.7分 1-111 因为b,25=66,所以，6262b’解得6=26=2，■ 所以，数列{bn}的公差为d=b2-b=1,所以b,=b,+(n-1d=1+n-1=n.…9分 3)若数列c是P2数列，所以+2。 一，所以neN,cn≠0 1-11 当m=1时，9+2G 上-1，解得6=4， ,G=2,则426 当n之2时，S+2=CC1,S+2=C-， 11分 Cn+1-Cn Cn-cn-l （i)-(i)可得，=6， Cn+l-Cn Cn-Cn-1 因为c,≠0，所以1=1-， Cn+l-cn Cn-Cn-1 所以c41-cn)(cn-C-i)=Cn+1(Cn-Cn-i)-C1(C+-Cn),整理可得c员=Cn+C-, 又cn≠0，所以{Cn}首项为2、公比为2的等比数列，可知Cn=2×2"-=2”,…13分 b2=n+2_2(n+1)-n_1 由(2》如6=，则d-bhi.an+2-a+2n2a+2,15分 无=4d*d-(你2)[72 1 5/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 n+12<1,所以工，<1得证 =1- 1 17分 6/6 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第四章+第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知等差数列中，，则（　　） A． B． C． D． 2．抛掷两枚质地均匀硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确是（ ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与对立 D． 3．已知数列前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知在一定范围内，水稻对氮元素吸收量与它根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ） A． B．变量和变量样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天氮元素吸收量一定增加mg 5．若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 6．数列满足，，则“”是“数列成等比数列”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班2人中随机选1人值班，则第天甲值班概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知正项数列前项和为，且.在数列每相邻两项之间依次插入，得到数列，则前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．记数列前项和为，若，则（    ） A．若为等比数列，则 B．若为等差数列，则 C．若，则 D．若，则数列周期为3 10．随机事件A，B满足其中和分别指事件A和B概率，则下列说法中正确是（    ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 11．已知数列满足: ，则下面结论正确是（    ） A． B． C．当且仅当时，数列前n项和最小 D．数列 前n项和为则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同条件下，乙袋中取出黄球概率为 ． 13．已知方程四个根组成以为首项等比数列，则值为 . 14．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样结果如下：批次甲共50个零件，抽样后一级品与二级品各2个；批次乙抽样后一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取甲、乙两个批次样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品概率为0.75，则批次乙总零件个数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足：，. (1)求数列通项公式； (2)若，求数列前项和； (3)若，求数列前项和. 16．（15分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y相关系数为，x和v相关系数为，请从相关系数角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）结论及表中数据，建立y关于x回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 17．（15分）设数列前项和为，且，，设数列中不在数列中项按从小到大顺序构成数列. (1)求数列通项公式； (2)求； (3)设数列前项和为，求. 18．（17分）某知识竞赛题库中题目按照难度不同分为，，三类，学生甲回答这三类题目中每个题正确率分别为，，. (1)若现有，，这三类中题目各一题，学生甲每回答正确一题得5分，回答错误得-2分.设学生甲回答三题后总得分为，求分布列及数学期望； (2)若题库中，，三类题目题量之比为4∶3∶3. （ⅰ）学生甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确概率； （ⅱ）现随机抽取题库中100道题，记学生甲答对题目数为，求使事件“”概率最大时取值. 19．（17分）若数列前项和，满足，其中、，则称数列是数列. (1)若，判断是否为数列； (2)若数列是数列，且，求数列通项公式； (3)在（2）成立条件下，若数列是数列，，数列前项和，且，求证：. / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第四章+第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知等差数列中，，则（　　） A． B． C． D． 2．抛掷两枚质地均匀硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确是（ ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与对立 D． 3．已知数列前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知在一定范围内，水稻对氮元素吸收量与它根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ） A． B．变量和变量样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天氮元素吸收量一定增加mg 5．若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 6．数列满足，，则“”是“数列成等比数列”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班2人中随机选1人值班，则第天甲值班概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知正项数列前项和为，且.在数列每相邻两项之间依次插入，得到数列，则前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．记数列前项和为，若，则（    ） A．若为等比数列，则 B．若为等差数列，则 C．若，则 D．若，则数列周期为3 10．随机事件A，B满足其中和分别指事件A和B概率，则下列说法中正确是（    ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 11．已知数列满足: ，则下面结论正确是（    ） A． B． C．当且仅当时，数列前n项和最小 D．数列 前n项和为则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同条件下，乙袋中取出黄球概率为 ． 13．已知方程四个根组成以为首项等比数列，则值为 . 14．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样结果如下：批次甲共50个零件，抽样后一级品与二级品各2个；批次乙抽样后一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取甲、乙两个批次样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品概率为0.75，则批次乙总零件个数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足：，. (1)求数列通项公式； (2)若，求数列前项和； (3)若，求数列前项和. 16．（15分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y相关系数为，x和v相关系数为，请从相关系数角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）结论及表中数据，建立y关于x回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 17．（15分）设数列前项和为，且，，设数列中不在数列中项按从小到大顺序构成数列. (1)求数列通项公式； (2)求； (3)设数列前项和为，求. 18．（17分）某知识竞赛题库中题目按照难度不同分为，，三类，学生甲回答这三类题目中每个题正确率分别为，，. (1)若现有，，这三类中题目各一题，学生甲每回答正确一题得5分，回答错误得-2分.设学生甲回答三题后总得分为，求分布列及数学期望； (2)若题库中，，三类题目题量之比为4∶3∶3. （ⅰ）学生甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确概率； （ⅱ）现随机抽取题库中100道题，记学生甲答对题目数为，求使事件“”概率最大时取值. 19．（17分）若数列前项和，满足，其中、，则称数列是数列. (1)若，判断是否为数列； (2)若数列是数列，且，求数列通项公式； (3)在（2）成立条件下，若数列是数列，，数列前项和，且，求证：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第四章+第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知数列为等差数列，且， 则，解得：， . 故选：A 2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与对立 D． 【答案】B 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 对于A、C：事件可以同时发生，因此事件与不互斥，不对立，故A、C错误； 对于B：，故与相互独立，故B正确. 对于D：，故D错误； 故选：B. 3．已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以. 故选：D 4．已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ） A． B．变量和变量的样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg 【答案】C 【详解】由题设，所以，可得，故A错误； 所以，又，即与正相关，则样本相关系数，故B错误； 由时，，残差为，故C正确； 由回归方程说明随变化值的变化趋势，不能说变量每增加一个单位，的值一定增加个单位，故D错误. 故选：C 5．若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正态分布的性质可知，，则，故A错误； ，则，故B错误； 随机变量所服从的正态分布密度曲线关于轴对称，所以，故C正确； ， ，，故D错误. 故选：C 6．数列满足，，则“”是“数列成等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，充分性成立； 若成等比数列，则， 因为， 解得或， 当时，，此时， 即，是以2为周期的数列， 所以，， 即，此时成等比数列，必要性不成立. 故选：A 7．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件：甲第天值班，，则， 设，则，， 又， 是首项为，公比为的等比数列， ， 故选：C． 8．已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 【答案】A 【详解】因为，当，， 因为，所以，故.当时，适合上式， 所以； 当时，.. 又因为在数列的每相邻两项，之间依次插入， 得到数列，所以根据数列的定义可知： 数列， 故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记数列的前项和为，若，则（    ） A．若为等比数列，则 B．若为等差数列，则 C．若，则 D．若，则数列的周期为3 【答案】AC 【详解】因为， 对于选项A：若为等比数列，则公比，所以，故A正确； 对于选项B：若为等差数列，则公差，所以，故B错误； 对于选项C：若，可知数列的一个周期为6， 且，所以，故C正确； 对于选项D：若，则数列的一个周期为6， 但不能得出，不能确定3是否为数列的周期，故D错误； 故选：AC. 10．随机事件A，B满足其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 【答案】BC 【详解】对于选项A： ， ， ， ， ， 联立 ， 解得 ， 选项A错误； 对于选项B： ， ， 选项B正确； 对于选项C： ， ， ， ， 事件A与B不独立， 选项C正确； 对于选项D： ， 而 ， 选项D错误. 故选：BC. 11．已知数列满足: ，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．当且仅当时，数列的前n项和最小 D．数列 的前n项和为则 【答案】BC 【详解】已知数列满足: ， 令，则，A错误； 当时，， 两式相减得. 所以，当时，，所以，B正确； 因为，当时，；当时，， 且为单调递增数列， 所以当且仅当时，数列的前n项和最小，C正确； 因为，的周期为4， 时，；时，；时，；时，， 而，所以，，， ， 所以数列的所有偶数项为0， ， 所以从数列的前四项算作一组算起，以后每相邻四项为一组，每组之和为， 所以，D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ． 【答案】 【详解】从甲袋中取1个红球，从乙袋中取1个黄球的取法有， 从甲袋中取1个黄球，从乙袋中取1个红球的取法有， 则两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为. 故答案为：. 13．已知方程的四个根组成以为首项的等比数列，则的值为 . 【答案】/ 【详解】由题意得方程或，且， 且两方程没有公共根，利用韦达定理可知两方程的两根之积都为2， 设等比数列的前4项分别为,易知； 由等比数列性质可知，因此可得，解得； 因此该等比数列的公比满足, 则方程的四个根分别为，又, 可得, 所以, 故答案为： 14．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取的甲、乙两个批次的样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为 . 【答案】50 【详解】设为从抽样后的甲批次样本中抽到i个一级品， 为从抽样后的乙批次样本中抽到i个一级品（i=0，1，2）， X为抽到的4个零件中一级品的总数量，且，则， 故易有， 又，，则. ，， 故，解得或（舍），即. 此时甲批次总体，样本； 乙批次总体未知，样本， 根据题意，抽样方法为按比例分层抽样，则，代入解得. 故答案为：50. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 【详解】（1）由，得，， 1分 当时，，则，解得， 2分 所以是首项为，公比为2的等比数列， 则. 4分 （2）由（1）知，所以， 5分 所以. 8分 （3） 由（1）知，所以， （4） 所以， 即， ， 10分 两式相减得， 12分 所以. 13分 16．（15分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【详解】（1）令，则可化为， 1分 ， 3分 令，则可化为，即， 4分 因为， 6分 所以， 8分 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. 9分 （2）由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 11分 所以， 13分 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以. 15分 17．（15分）设数列的前项和为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列. (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)设数列的前项和为，求. 【详解】（1）在中， 令，得，即. 由，得， 以上两式相减，得，即， 所以， 2分 又，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，即. 4分 （2）由（1）得， 因为，， 所以，都是中的项. 6分 因为，， 所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的， 即. 9分 （3）由（1）（2）得， ， 11分 设数列的前项和为， 则， 13分 所以. 15分 18．（17分）某知识竞赛题库中的题目按照难度不同分为，，三类，学生甲回答这三类题目中每个题的正确率分别为，，. (1)若现有，，这三类中的题目各一题，学生甲每回答正确一题得5分，回答错误得-2分.设学生甲回答三题后的总得分为，求的分布列及数学期望； (2)若题库中，，三类题目题量之比为4∶3∶3. （ⅰ）学生甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （ⅱ）现随机抽取题库中的100道题，记学生甲答对的题目数为，求使事件“”的概率最大时的取值. 【详解】（1）已知,,三类题各一题，答对得分，答错分， 设答对,,题分别为事件，则：，,；​,​； ​,​， 2分 三题全错：， 对1题错2题：， 对2题错1题：， 三题全对：， 即的可能取值为：， 3分 ， ， ， ， 6分 所以的分布列： 7分 ； 8分 （2）（ⅰ）因为,,三类题目量之比为，即任选一题，是 类的概率为， 类为，C 类为， 设 “任选一题作答正确” 为事件，由全概率公式： ； 11分 （ⅱ）由题意，，即,. 设，则：， 13分 即，即， ​解得：， 15分 因此：当时，，概率单调递增； 当时，，概率单调递减， 故使最大的值为. 17分 19．（17分）若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列. (1)若，判断是否为数列； (2)若数列是数列，且，求数列的通项公式； (3)在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：. 【详解】（1）若，则，且，所以，数列是以首项和公比都为的等比数列， 则，所以， 2分 且当，时，，， 即数列满足，所以是数列. 4分 （2）若数列是数列，设数列的前项和，则有， 当时，，， 两式相减得， 又，所以， 即， 整理得， 又，所以，所以是等差数列， 7分 因为，，所以，，解得， 所以，数列的公差为，所以. 9分 （3）若数列是数列，所以，所以，. 当时，，，则，解得， 当时，（ⅰ），（ⅱ）， 11分 （ⅰ）－（ⅱ）可得， 因为，所以， 所以，整理可得， 又，所以首项为、公比为的等比数列，可知， 13分 由（2）知，则， 15分 ，所以得证. 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $