精品解析：安徽省天长中学等校2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学（北师大版）试题(A)

2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）试题A 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 72种 C. 13种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可. 【详解】由题意得，若选出的负责人是高一学生，有3种情况； 若选出的负责人是高二学生，有4种情况； 若选出的负责人是高三学生，有6种情况． 由分类加法计数原理可得，共有种不同的选法． 故选：C． 2. 已知椭圆，则其离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率公式计算. 【详解】因为，， 所以离心率. 故选：C. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 4. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 5. 若四点共面，其中，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以存在实数使得，且. 设，则由，得， 故， 又，解得． 故选：A 6. 已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数的取值范围． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 若与有且仅有2条公切线，则两圆相交， 又，，解得. 故选：D. 7. 跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.36 C. 0.35 D. 0.45 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若成等比数列（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由余弦定理得到和向量夹角公式得到，让其相等，化简即可求出. 【详解】设，不妨设点在双曲线的右支上，则， 成等比数列，，即， 设，则，， 在中，由余弦定理得，， 又，则，， ，化简得， 把代入得， 又，，即， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性判断ABC，根据方差的运算性质判断D. 【详解】由随机变量可知服从正态分布，正态密度曲线对称轴为，方差为， 所以，A说法正确； ，B说法正确； ，C说法正确； ，D说法错误； 故选：ABC 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，点，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 的最小值为10 C. 若，则 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设直线的方程为，联立方程，结合抛物线的定义把解出即可；对于B，过点分别作抛物线准线的垂线，通过抛物线的定义把线段进行转换即可；对于C，将代入，求解即可得到；对于D，设，的方程为，联立抛物线得到直线的方程，再将代入即可求出. 【详解】由题得，可设直线的方程为， 联立，得， 设，则， 则，解得，故A正确， 过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，故B正确， 由题意不妨设点分别在第一象限和第二象限，则， 将代入，解得， 则，故C错误， 设，的方程为， 由，得， ， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得， 由，解得， 故直线的方程为，即； 同理可得，直线的方程为； 将代入直线中，， 即， 可看作方程的两个根，， 由，，故直线的方程为，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11. 已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过椭圆标准方程和定义得到，通过，转化为一元二次函数的值域求解. 【详解】由题可知，，， 令，，则， 因为，所以，即， 所以，， 当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为， 即的取值范围是. 故答案为： 13. 已知，且，记随机变量为中的最小值，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，转化为7个1之间的6和空隙中插入两个挡板，得到基本事件的总数为种情况，分析最小的数字为1和2，两种情况讨论，分别求得相应的概率，结合期望和方差的公式，即可求解. 【详解】由，且，相当于7个1之间的6和空隙中插入两个挡板， 所以共有种情况， 因为随机变量为中的最小值，所以随机变量为或， 当最小数字为1时，可分为两种情况： ①三个数字中只有一个1时，设其中一个数为1， 则另两数之和为6，且均不小于2，这两个数可以是或， 当三个数为时，有种排列， 当三个数为时，有种排列.故共有种情况； ②三个数字中有两个1时，有种情况， 所以概率为； 当最小数字为2时，则三个数字为,有种情况， 所以概率为， 则， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知圆，过原点引圆的两条切线，切点分别为，其中直线的倾斜角大于直线的倾斜角． （1）求的方程； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）的方程为；的方程为. （2） 【解析】 【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，再设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径来求解切线的斜率，进而得到切线方程； （2）四边形的面积可以看作两个直角三角形的面积之和，先根据切线的性质可知这两个直角三角形的直角边分别为圆的半径和切线长，再通过勾股定理求出切线长，进而求出四边形的面积. 【小问1详解】 由题可得圆的标准方程为， 所以圆心，半径， 设切线方程为，即， 所以圆心到切线的距离为， 化简得，解得或， 因为直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 所以的斜率，的斜率， 因此，的方程为，即；的方程为. 【小问2详解】 连接 ，，，因为 ， 是圆 的切线， 所以 ，，且 ， 根据两点间距离公式，可得， 所以， 所以， 因此，四边形 的面积为. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式定理可得，利用赋值法计算可解； （2）由赋值法可得，由二项式定理可得，计算可解. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，得， 所以 . 【小问2详解】 由（1）可得， 令得，即， 因为且， 令，即，得， 所以. 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：为直角三角形； （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，有，在直三棱柱有平面，证得即可； （2）建立空间直角坐标系，分别得出相关点坐标和平面法向量，利用向量夹角公式结合已知正弦值求长度. 【小问1详解】 在直三棱柱中， ，则有， 又，， 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 有，所以， 在直三棱柱中，平面， 平面，所以，， 平面，，所以平面， 平面，，所以为直角三角形. 【小问2详解】 建立以为原点，分别以，， 所在直线为，，轴的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， 又面与平面所成角的正弦值为， 所以， 又因此， 即，两边平方可得：， 即，求解可得：， 即或（舍去）. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，连接交直线于点，过点作抛物线的切线． （1）若的斜率为1，求的值； （2）求的值； （3）若点在直线上，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析. 【解析】 【分析】(1)联立过焦点且斜率为的直线与抛物线方程，利用韦达定理和焦点弦长公式求出弦长. (2)设过焦点的直线并联立抛物线，利用韦达定理求出交点坐标关系，进而计算向量点积. (3)求出切线与直线的交点坐标，计算与的距离平方并比较，得出二者相等的结论. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，焦准距，直线斜率为，故方程为； 将方程代入抛物线方程得，设、， 由韦达定理可知，； 抛物线焦点弦长公式为，则； 【小问2详解】 设过点的直线方程为(为避免斜率不存在的情况)，代入，； 依据韦达定理可得：，； 因，，故：； 【小问3详解】 设过的切线斜率为，则切线方程为，将其与抛物线联立， 代入(因在抛物线上)，得， 展开并整理为关于的一元二次方程， 因为是切线，方程有且仅有一个解，则其判别式为，即， 化简后得， 因此切线方程为，代入，整理得； 因在切线上，代入，得，故； 直线过原点，斜率为，方程为，代入得：，故； 利用韦达定理化简点坐标，由第二问可知，故，即， ，， 因且距离非负，故. 18. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 【答案】（1） 0 1 2 3 ； （2） （3）组采用赛制二更有利于胜出，理由： 按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则， 组取得胜利的概率为； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则， ， 已知，所以， 所以，因此组采用赛制二更有利于胜出. 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的取值及相应的概率，可得分布列，再利用数学期望公式求解即可； （2）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解可得答案； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，求出组取得胜利的概率，按照赛制二，不妨设做完题，求出组取得胜利的概率，再做差比较大小可得答案. 【小问1详解】 由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3， ，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望； 【小问2详解】 设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为， 则至少有两人做对该题的事件为： ，所以竞赛小组能进入决赛的概率为 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）试题A 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 72种 C. 13种 D. 24种 2. 已知椭圆，则其离心率（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若四点共面，其中，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 6. 已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.36 C. 0.35 D. 0.45 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若成等比数列（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，点，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 的最小值为10 C. 若，则 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线过点 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11. 已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为____________． 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 13. 已知，且，记随机变量为中的最小值，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知圆，过原点引圆的两条切线，切点分别为，其中直线的倾斜角大于直线的倾斜角． （1）求的方程； （2）求四边形的面积． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：为直角三角形； （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，连接交直线于点，过点作抛物线的切线． （1）若的斜率为1，求的值； （2）求的值； （3）若点在直线上，比较与的大小关系，并说明理由． 18. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $