精品解析：四川大竹县杨家中学2025-2026学年七年级上学期1月数学学情自测

四川省达州市大竹县杨家中学2025－2026学年七年级上学期1月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列调查方式合适的是（ ） A. 为了解我国七年级学生的视力情况，采用抽样调查的方式 B. 对神舟十九号飞船所有零部件的检查，采用抽样调查的方式 C. 为了解一批笔芯的使用寿命，采用全面调查的方式 D. 为了解一批冷饮的质量是否合格，采用全面调查的方式 3. 如图从三个不同的方向看，不可能的形状图是（ ） A. 从正面看 B. 从上面看 C. 从左面看 D. 从上面看 4. 下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年，我国稀土勘探在四川取得新突破，预期新增稀土资源量吨．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？”题意是：“有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人共同买鸡，则可列方程为（　　） A. B. C. 9x+11＝6x﹣16 D. 9x﹣11＝6x+16 8. 如图，点是线段上一点，，分别是和的中点，，，则线段的长是（ ） A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_____． 10. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则_____． 11. 如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为______． 12. 关于的方程与的解相同，则的值为______． 13. 如图，烷烃中甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，…，按照此规律．若碳原子（C）的数目为（为正整数），那么它的化学式可以表示为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）计算：． （3）解方程：； （4）化简：． 15. 为了落实《义务教育数学课程标准（2022版）》精神，我市某校在七年级学生中开展了关于“运算能力”的调查活动，随机抽取了名学生进行测试，按测试成绩分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”、“很差”五个等级，并将收集整理后的数据绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）______，扇形统计图中表示“优秀”的扇形圆心角度数为______度； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级有720人，请你根据调查结果，估计成绩为“优秀”的学生人数． 16. 如图1是2025年1月的月历表，用图2所示的L形框去框其中的四个数． （1）设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； （2）被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出最大数；如果不能，说明理由． 17. 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？(选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分两，则剩余两；若每人分两，则差两问：有多少个人？ 有多少两银子？ （1）设人数为，请求解此题； （2）设银子总数为两，请求解此题． 18. 已知点在线段上，点在线段上． （1）如图1，若，D为线段的中点，求线段的长度； （2）如图2，若为线段的中点，，求线段的长度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，将小李某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为_____________． 20. 已知，则的值为______． 21. 当钟表时间指示时，时针和分针的夹角（小于）的度数是____． 22. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．则图2的九宫格中的9个数的和是 ____________．（用含a的式子表示） 23. 将五边形区域分割成三角形的过程是：在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图，当五边形内有3个点时，可分得9个三角形；采用上述方法，当五边形分得201个三角形（不计被分割的三角形）时，五边形内有_____个点． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 阅读材料：如果等式成立，那么我们就称为等式成立的“奇妙数对”．例如，时可以使等式成立，我们就称为成立的“奇妙数对”． （1）应用：若是“奇妙数对”，求的值； （2）提升：若是成立的“奇妙数对”，求代数式的值． 25. 点，分别在数轴原点的两侧，，点对应的数是． （1）求点对应的数； （2）若点为数轴上一动点，其对应的数为，是否存在点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若点，分别从点，同时出发，沿数轴向右匀速运动，点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，点到达点后立即沿数轴返回，并保持原来速度匀速运动．若运动秒时，点将线段分成的两部分，求的值． 26. 平面内在直线上方有一定点，点在直线上运动，过点在直线上方作射线，使得． （1）如图1，当点运动到点的左侧时，连接，在射线另一侧作射线，使得．将射线绕点逆时针旋转得到射线． ①若，求的度数； ②当时，求的度数； （2）当点运动到某一时刻，射线与直线构成的角为，在射线左侧作，的边与射线重合，然后从射线出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转一周，射线为的角平分线．设运动时间为秒．当射线三等分时，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市大竹县杨家中学2025－2026学年七年级上学期1月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握 “数的相反数是” 是解题的关键． 根据相反数的定义，求解即可． 【详解】解：的相反数是2025， 故选：A． 2. 下列调查方式合适的是（ ） A. 为了解我国七年级学生的视力情况，采用抽样调查的方式 B. 对神舟十九号飞船所有零部件的检查，采用抽样调查的方式 C. 为了解一批笔芯的使用寿命，采用全面调查的方式 D. 为了解一批冷饮的质量是否合格，采用全面调查的方式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抽样调查与全面调查的选择．根据调查对象的范围、重要性及是否具有破坏性进行判断． 【详解】选项A：全国七年级学生人数众多，全面调查难度大，采用抽样调查合理，正确． 选项B：航天器零部件必须全部合格，需全面检查确保安全，采用抽样调查错误． 选项C：测试笔芯寿命具有破坏性，全面调查会导致所有笔芯报废，应抽样调查，错误． 选项D：检查冷饮质量需拆包装，全面调查不现实，应抽样调查，错误． 综上，仅选项A的调查方式合适． 故选：A． 3. 如图从三个不同的方向看，不可能的形状图是（ ） A. 从正面看 B. 从上面看 C. 从左面看 D. 从上面看 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，考查空间想象力，解题关键熟悉相关知识点及想象力是解题关键. 【详解】解：根据图像可得： A. 从正面看；符合题意； B. 从上面看；符合题意； C. 从左面看；符合题意； D. 从上面看是；不符合题意； 故选：D. 4. 下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等式的性质．利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若，当时，则，则选项A不符合题意； 若，则，则选项B符合题意； 若，则，则选项C不符合题意； 若，则，则选项D不符合题意； 故选：B． 5. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年，我国稀土勘探在四川取得新突破，预期新增稀土资源量吨．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的形式为，，为整数，的值与小数点移动的数位相同，据此即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为； 故选：D 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方和合并同类项，熟练掌握有理数的乘方法则和合并同类项法则是解题的关键．根据有理数的乘方及合并同类项的运算法则，逐项计算并判定即可得出答案． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式正确，故本选项符合题意； D、，不是同类项不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？”题意是：“有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人共同买鸡，则可列方程为（　　） A. B. C. 9x+11＝6x﹣16 D. 9x﹣11＝6x+16 【答案】D 【解析】 【分析】设有x人共同买鸡，根据鸡的价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人共同买鸡， 根据题意得：9x﹣11＝6x+16． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元一次方程应用题中的古算问题，读懂题意，并根据题意列出相对应的方程是本题的关键． 8. 如图，点是线段上一点，，分别是和的中点，，，则线段的长是（ ） A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点，正确识图得出线段对应关系是解题的关键． 由线段的中点定义得，进而由线段的和差关系得，再由线段的中点定义得的长度，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_____． 【答案】＞． 【解析】 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵||．||， ∵，∴． 故答案为＞． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握两个负数的大小比较方法，属于中考常考题型． 10. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同类项的概念，根据同类项的概念求出、的值是解题的关键． 根据同类项的概念求出、的值，然后计算即可． 【详解】解：单项式与单项式的和仍是一个单项式， 故和为同类项， ，， 故； 故答案为： 11. 如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作角，根据作图可知，，求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴； 故答案为：． 12. 关于的方程与的解相同，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，先求出方程的解，再把解代入方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵关于的方程与的解相同， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，烷烃中甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，…，按照此规律．若碳原子（C）的数目为（为正整数），那么它的化学式可以表示为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，烷烃中氢原子数是碳原子的2倍加上2，据此规律求解即可． 【详解】解：碳原子个数为1时，氢原子数为个， 碳原子个数为2时，氢原子数为个， 碳原子个数为3时，氢原子数为个， ……， 以此类推，可知，碳原子个数为n时，氢原子数为个， ∴若碳原子（C）的数目为（为正整数），那么它的化学式可以表示为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）计算：． （3）解方程：； （4）化简：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、一元一次方程的解法以及整式的加减计算，掌握相关计算法则与一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先计算绝对值，再按照有理数加减计算法则进行计算即可； （2）先计算乘方，后按实数的混合运算进行计算即可； （3）按去分母、去括号、移项和合并同类项进行求解即可； （4）按去括号，合并同类项进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解： （4）解：原式 15. 为了落实《义务教育数学课程标准（2022版）》精神，我市某校在七年级学生中开展了关于“运算能力”的调查活动，随机抽取了名学生进行测试，按测试成绩分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”、“很差”五个等级，并将收集整理后的数据绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）______，扇形统计图中表示“优秀”的扇形圆心角度数为______度； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级有720人，请你根据调查结果，估计成绩为“优秀”的学生人数． 【答案】（1）， （2）补全条形统计图如下： （3）135名 【解析】 【分析】（1）用“一般”等级的人数除以它所占的百分比得到的值，再利用360度乘以“优秀”等级的人数所占的百分比得到扇形统计图中表示“优秀”的圆心角的度数； （2）计算出“良好”等级人数后补全条形统计图； （3）用乘以样本中“优秀”等级人数所占的百分比即可． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 【小问1详解】 解：（1）， 扇形统计图中表示“优秀”的圆心角度； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 720人计成绩为“优秀”的学生人数（名）， 所以估计成绩为“优秀”的学生有135名． 16. 如图1是2025年1月的月历表，用图2所示的L形框去框其中的四个数． （1）设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； （2）被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出最大数；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）被框住的四个数的和能等于72，最大数是24． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式、规律型：数字的变化类以及整式的加减． （1）根据各数位置间的关系，可得出另外三个数分别为，，，再将四个数相加，即可得出被框住的这四个数的和； （2）根据被框住的四个数的和等于72，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：若被框住的四个数中从上往下数第二个数为a，则另外三个数分别为，，， ∴被框住的这四个数的和为； 【小问2详解】 解：被框住的四个数的和能等于72， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：被框住的四个数的和能等于72，最大数是24． 17. 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？(选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分两，则剩余两；若每人分两，则差两问：有多少个人？ 有多少两银子？ （1）设人数为，请求解此题； （2）设银子总数为两，请求解此题． 【答案】（1）有人，两银子 （2）有人，两银子 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设人数为，利用银子的两数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即人数，再将其代入中，即可求出银子的两数； （2）设银子总数为两，利用分银子的人数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即银子的总数，再将其代入即可求出人数． 【小问1详解】 解：设人数为， 根据题意得：， 解得：， （两）． 答：有人，两银子； 【小问2详解】 设银子总数为两， 根据题意得： 解得：， （人）． 答：有人，两银子． 18. 已知点在线段上，点在线段上． （1）如图1，若，D为线段的中点，求线段的长度； （2）如图2，若为线段的中点，，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和差，能根据所给图形发现线段之间的和差关系是解题的关键． （1）先根据及的长求出的长，再结合点为线段的中点求出的长，最后用即可解决问题． （2）令的长为，据此可表示出及的长，再根据中点的定义及的长建立关于的方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：，， ． 点为线段的中点， ， ． 【小问2详解】 解：， 令，则，， ， ． 为线段的中点， ， ． ， ， 解得， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，将小李某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为_____________． 【答案】72°##72度 【解析】 【分析】扇形统计图共有100%，用100%减去月基本费、本地话费以及长途话费即可得到短信费的百分比，再用得到的百分比与360°相乘即可得出相应度数． 【详解】短信费百分比为： 短信费的扇形圆心角的度数： 故表示短信费的扇形圆心角的度数为72°． 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了扇形统计图，通过扇形统计图的性质求出短信费的百分比，使用求出的百分比乘以360°是本题的关键． 20. 已知，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，原式． 故答案为：9． 21. 当钟表时间指示时，时针和分针的夹角（小于）的度数是____． 【答案】##160度 【解析】 【分析】本题主要考查了钟面角，分别求出时针与数字12的夹角（大于180度的角）和分针与数字12的夹角，二者相减即可得到答案． 【详解】解：当钟表时间指示时，时针和分针的夹角（小于）的度数是， 故答案为：． 22. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．则图2的九宫格中的9个数的和是 ____________．（用含a的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用．设中间的数字为b，根据题意得：，可用含a的代数式表示出b，再将其代入中，即可得出结论． 【详解】解：设中间的数字为b， 根据题意得：， ∴， ∴图2的九宫格中的9个数的和是． 故答案为：． 23. 将五边形区域分割成三角形的过程是：在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图，当五边形内有3个点时，可分得9个三角形；采用上述方法，当五边形分得201个三角形（不计被分割的三角形）时，五边形内有_____个点． 【答案】99 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律， 根据题意先确定五边形内点的个数与被分割成的三角形的个数之间的关系，即可得出规律解答． 【详解】解：由题意，得 当五边形内有1个点时，可分成的三角形的个数为； 当五边形内有2个点时，可分成的三角形的个数为； 当五边形内有3个点时，可分成的三角形的个数为； 当五边形内有n个点时，可分成的三角形的个数为个， 则， 解得． 所以当五边形内有99个点时，可分成的三角形的个数为201个． 故答案为：99． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 阅读材料：如果等式成立，那么我们就称为等式成立的“奇妙数对”．例如，时可以使等式成立，我们就称为成立的“奇妙数对”． （1）应用：若是“奇妙数对”，求的值； （2）提升：若是成立的“奇妙数对”，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的化简求值，新定义： （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义得到，再把所求式子去括号，合并同类项化简后利用整体代入法代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵是“奇妙数对”， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵是成立的“奇妙数对”， ∴， ∴， ∴ ． 25. 点，分别在数轴原点的两侧，，点对应的数是． （1）求点对应的数； （2）若点为数轴上一动点，其对应的数为，是否存在点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若点，分别从点，同时出发，沿数轴向右匀速运动，点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，点到达点后立即沿数轴返回，并保持原来速度匀速运动．若运动秒时，点将线段分成的两部分，求的值． 【答案】（1）点对应的数为 （2）或 （3）的值为或或或 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意知，根据，得到，即可解答； （2）由题意可知，，根据，列式求解即可； （3）由题意可知：，得到点从点到点所用的时间．Ⅰ：当点由点向点运动，即时，动点对应的数为，动点对应的数为，此时点将线段分成的两部分应分两种情况．Ⅱ：当点由点返回点运动，即时，动点对应的数为，动点对应的数为，此时点将线段分成的两部分应分两种情况，列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点对应的数是， ∴， ∵， ∴， ∴点对应的数为． 【小问2详解】 解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或． 【小问3详解】 解：由题意可知：， ∴点从点到点所用的时间秒， Ⅰ．当点由点向点运动，即时， 动点对应的数为，动点对应的数为， 此时点将线段分成的两部分应分两种情况： ①当时，， 解得； ②当时，， 解得； Ⅱ．当点由点返回点运动，即时， 动点对应的数为，动点对应的数为， 此时点将线段分成的两部分应分两种情况： ③当时，， 解得； ④当时，， 解得； 综上所述，的值为或或或． 26. 平面内在直线上方有一定点，点在直线上运动，过点在直线上方作射线，使得． （1）如图1，当点运动到点的左侧时，连接，在射线另一侧作射线，使得．将射线绕点逆时针旋转得到射线． ①若，求的度数； ②当时，求的度数； （2）当点运动到某一时刻，射线与直线构成的角为，在射线左侧作，的边与射线重合，然后从射线出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转一周，射线为的角平分线．设运动时间为秒．当射线三等分时，求出的值． 【答案】（1）①；②或 （2）的值为或或或 【解析】 【分析】（1）①求出的度数，由平角的定义求出的度数，再由角的和差关系可得答案；②设，则，分两种情况：在左边时；在右边时；根据列方程求解即可； （2）分两种情况：和，当射线三等分时，射线一定要在的内部，据此画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴． ∴． ∵将射线CB绕点C逆时针旋转得到射线， ∴． ∴． ②设，则， ∵， ∴． 当在左边时，即，， ∵， ，解得． ． 当在右边时，即，， ∵， ，解得． ． 综上所述，的度数为或． 【小问2详解】 解：如图2-1所示，当时， ∵， ∴，， ∵旋转前，的边与射线重合，且， ∴旋转前， 当时，射线和射线都在内部， 此时， ∵平分， ∴， ∴此时射线一定在的内部， 此时， ∵射线三等分， ∴或， ∴或， 解得或； 如图2-2-1，图2-2-2，图2-2-3所示，当时，此时射线均在外部，不满足题意； 当时， 如图2-3所示，当时，此时点在直线上方，点在直线下方，此时不能满足射线在内部，即此时不可能满足射线三等分； 如图2-4所示，当时，则， ∵，且平分， ∴， ∴此时射线在的内部，即射线在的外部， ∴此时不可能满足射线三等分， 如图2-5所示，当时，此时， ∵，且平分， ∴， ∴此时射线在的内部， 此时， ， ∵射线三等分， ∴或， ∴或， 解得或； 综上所述，的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $