专题19.1 二次根式及其性质（4大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，系统梳理从概念（含二次根号、被开方数非负）到有意义条件（单个及复合形式），再到双重非负性、基本性质（(√a)²=a与√a²=|a|）的递进脉络，搭建从定义理解到性质应用的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固概念识别与简单计算，培优题型结合数轴、三角形三边关系深化性质应用，压轴题型通过规律探究、复合根式化简培养创新意识与推理能力。通过“两步判定法”“三步化简法”等方法，助力学生用数学思维解决问题，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题19.1 二次根式及其性质 知识点1：二次根式的概念 1.定义：一般地，形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，根号下的叫做被开方数。 2.二次根式的判定条件：①形式上含二次根号（根指数2省略不写）； ②被开方数为非负数（可以是数、含字母的式子），二者缺一不可。 知识点2：二次根式有意义的条件 1.单个二次根式：有意义；无意义。 2.复合形式二次根式： 分式型（如）：需满足且； 零次幂结合型（如）：需满足且； 多个根式结合型（如）：需满足且。 知识点3：二次根式的双重非负性 1.二次根式的双重非负性：①被开方数非负：；②二次根式本身非负：。 2.非负数的性质：若几个非负数（、、）的和为0，则每个非负数均为0，即且且。 知识点4：二次根式的基本性质 性质表达式 适用范围 运算顺序 结果 先开方，后平方 唯一值 为任意实数 先平方，后开方 非负数，需根据的符号化简 补充：当时，，两个性质可互通。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式的识别 1.核心知识点 二次根式的定义与判定条件； 区分二次根式与三次根式、分式等其他式子。 2.解题方法技巧 两步判定法：第一步看形式，是否含二次根号；第二步看被开方数，是否为非负数； 常见非负被开方数：、、等，对应的式子一定是二次根式。 【例题1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2】单一/简单复合二次根式有意义的条件 1.核心知识点 二次根式有意义的核心条件（被开方数非负）； 分式、零次幂的附加限制条件。 2.解题方法技巧 列不等式（组）求解：根据“每一部分都有意义”列条件，多个条件取公共解； 数轴表示法：求出取值范围后，用数轴标注，空心圈表示“不含该点”，实心点表示“含该点”。 【例题2】.（25-26八年级上·四川成都·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·吉林·月考）有意义的条件是 ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】二次根式性质的直接计算 1.核心知识点 的正用； 的基础化简（为具体数）。 2.解题方法技巧 计算：直接去掉根号和平方，结果为，注意验证； 计算：先转化为绝对值，再去绝对值符号（具体数直接判断正负）。 【例题3】.（25-26八年级上·全国·期末）化简 ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海奉贤·期末）若，则化简 ． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列等式成立的是(   ) A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【培优高频题型】 【题型4】利用二次根式双重非负性求简单代数式的值 1.核心知识点 二次根式的双重非负性； 非负数的和为0的性质。 2.解题方法技巧 定零法：若式子中出现被开方数互为相反数的两个根式（如），则被开方数必为0，求出字母值； 联立求解：多个非负数和为0时，分别令每个非负数为0，联立方程（组）求字母值，再代入代数式计算。 【例题4】.（25-26八年级上·广东佛山·月考）若为实数，且，则的值为 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江西吉安·期末）若、都是实数，且，求的立方根． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·月考）已知实数，，满足，求的值． 【题型5】含字母的二次根式性质化简 1.核心知识点 的进阶应用（为含字母的式子）； 绝对值的化简方法。 2.解题方法技巧 三步化简法：第一步将被开方数化为完全平方式，如；第二步转化为绝对值，即；第三步根据字母的取值范围去绝对值； 关键：根据题干条件（如）或数轴确定含字母式子的正负。 【例题5】.（25-26八年级上·山东济南·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·山西晋城·期末）已知实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： ． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·期中）结合数轴先化简，再求值：． 【变式题5-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【题型6】挖掘隐含条件的二次根式求值 1.核心知识点 二次根式双重非负性； 互为相反数的被开方数隐含条件。 2.解题方法技巧 找隐含：若有意义，则； 定参数：联立隐含条件与已知等式，求字母值后代入计算。 【例题6】.（23-24八年级上·上海金山·月考）如果 ，那么 ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： ． 【变式题6-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知实数满足，求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【题型7】结合三角形三边关系的二次根式化简 1.核心知识点 ； 三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）。 2.解题方法技巧 先根据三角形三边关系，判断绝对值内（根号下完全平方式）式子的正负； 再去绝对值/化简根式，最后合并同类项； 注意：化简结果需为整式，无绝对值和根式。 【例题7】.（2026八年级下·全国·专题练习）若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由． 【变式题7-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）在中，，为斜边，，为直角边，化简 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东威海·期末）若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果 ． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是 ． 【压轴素养题型】 【题型8】二次根式的规律探究题 1.核心知识点 二次根式的化简； 数字、式子的规律探究方法。 2.解题方法技巧 先化简题干给出的已知式子，观察分子、分母、被开方数的变化规律； 用含（正整数）的代数式表示规律，再代入验证； 规律应用：根据总结的规律计算连乘、连加等复杂式子。 【例题8】.（25-26七年级下·全国·周测）实践与探究： (1)用计算器计算：_________， _________，_________，_________，_________； (2)根据计算结果，回答： ①一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； ②利用你总结的规律化简和，其中． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·全国·周测）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西吉安·期末）阅读下列解题过程： ， ， ， ．．．．．． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出______； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，请计算的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【题型9】二次根式有意义的条件求整数解/最值 1.核心知识点 二次根式有意义的条件； 不等式的整数解求解、最值分析。 2.解题方法技巧 先根据条件列不等式（组），求出字母的取值范围； 结合“整数解”“最值”要求筛选结果，注意含字母式子的非负性限制。 【例题9】.（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若二次根式是整数，则整数的最小值为 ． 【变式题9-1】.（24-25八年级下·广西玉林·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 【变式题9-2】.（23-24七年级下·辽宁大连·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·湖南长沙·月考）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________； (2)解方程：已知为非负整数，满足以下方程： ①若方程，则的值有________； ②若方程，则的取值是________． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．对254连续求根整数，至少________次之后结果为1； (4)至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中，最小的是________． 【题型10】复合根式的化简（含双重根号） 1.核心知识点 二次根式的性质； 完全平方公式的逆用。 2.解题方法技巧 配方法：将双重根号内的式子配成完全平方式，如（满足，）； 化简关键：保证配成的完全平方式开方后结果为非负数，即。 【例题10】.（25-26八年级上·全国·假期作业）设，求的值． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【变式题10-3】.（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 易错点 1.识别二次根式时，忽略被开方数非负，误将、等不确定被开方数符号的式子判定为二次根式； 2.求二次根式有意义的条件时，遗漏分母不为0、零次幂的底数不为0等附加条件，如化简时，只考虑，忽略； 3.化简时，直接去掉根号得，忽略，未根据的符号判断结果，如误将化简为； 4.利用二次根式双重非负性时，未发现被开方数互为相反数的隐含条件，无法确定字母的具体值； 5.列代数式时，混淆运算顺序，或在代数式中加入等号、不等号等关系符号。 重点 1.二次根式的概念与判定，能准确区分二次根式与其他式子； 2.二次根式有意义的条件，能根据不同形式列不等式（组）求字母的取值范围，并能用数轴表示； 3.二次根式的两个核心性质和的灵活计算与化简； 4.二次根式的双重非负性，能利用非负数的性质求字母的值和代数式的值； 5.结合数轴、三角形三边关系的二次根式化简，掌握“根式化绝对值，再去绝对值”的核心步骤。 难点 1.含字母的二次根式的化简，尤其是字母无明确取值范围时的零点分段讨论； 2.双重根号的复合根式化简，掌握配方法将内层式子化为完全平方式； 3.二次根式的规律探究题，能从化简结果中提炼出通用的数字、式子规律，并应用规律解决复杂计算； 4.多个知识点的综合应用，如将二次根式与数轴、三角形三边关系、非负数性质、实际情境结合的综合题； 5.利用二次根式的性质解决跨学科情境问题，能从非数学情境中提取数学信息，建立二次根式的数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 7．（2025九年级·山东·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 8．（25-26八年级上·上海金山·期中）若，则 ． 9．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）若是整数，且是自然数，则的值是 ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，则 ． 三、解答题 11．（2026八年级下·全国·专题练习）实数、在数轴上的对应点如图所示，请你化简：． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：． 13．（2026八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 14．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知三条边的长度分别是，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是__________（请直接写出答案）； (2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； (3)若x为整数，求的最大值． 15．（25-26七年级上·山东泰安·期末）探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 16．（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.1 二次根式及其性质 知识点1：二次根式的概念 1.定义：一般地，形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，根号下的叫做被开方数。 2.二次根式的判定条件：①形式上含二次根号（根指数2省略不写）； ②被开方数为非负数（可以是数、含字母的式子），二者缺一不可。 知识点2：二次根式有意义的条件 1.单个二次根式：有意义；无意义。 2.复合形式二次根式： 分式型（如）：需满足且； 零次幂结合型（如）：需满足且； 多个根式结合型（如）：需满足且。 知识点3：二次根式的双重非负性 1.二次根式的双重非负性：①被开方数非负：；②二次根式本身非负：。 2.非负数的性质：若几个非负数（、、）的和为0，则每个非负数均为0，即且且。 知识点4：二次根式的基本性质 性质表达式 适用范围 运算顺序 结果 先开方，后平方 唯一值 为任意实数 先平方，后开方 非负数，需根据的符号化简 补充：当时，，两个性质可互通。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式的识别 1.核心知识点 二次根式的定义与判定条件； 区分二次根式与三次根式、分式等其他式子。 2.解题方法技巧 两步判定法：第一步看形式，是否含二次根号；第二步看被开方数，是否为非负数； 常见非负被开方数：、、等，对应的式子一定是二次根式。 【例题1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，逐一分析各选项是否符合定义即可． 【详解】解：∵， ∴， 由二次根式的定义可知，四个式子中只有是二次根式（当时，没有意义）， 故选：C． 【变式题1-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式形如（）的特征，判断各选项被开方数的正负性即可求解． 【详解】解：A、被开方数，属于二次根式； B、被开方数，不满足二次根式的定义，不属于二次根式； C、被开方数，属于二次根式； D、∵，∴，被开方数非负，属于二次根式． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、不一定是二次根式，如，故此选项错误； B、不一定是二次根式，如，故此选项错误； C、一定是二次根式，故此选项正确； D、，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，判断每个式子是否符合形如（）的形式，需同时满足根指数为、被开方数为非负数两个条件，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ②的被开方数，根指数为，是二次根式； ③当时，，被开方数为负数，不是二次根式； ④∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑤的根指数为，不是，不是二次根式； ⑥∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑦的被开方数，不是二次根式； 综上，是二次根式的有①②④⑥，共个． 故选：C． 【题型2】单一/简单复合二次根式有意义的条件 1.核心知识点 二次根式有意义的核心条件（被开方数非负）； 分式、零次幂的附加限制条件。 2.解题方法技巧 列不等式（组）求解：根据“每一部分都有意义”列条件，多个条件取公共解； 数轴表示法：求出取值范围后，用数轴标注，空心圈表示“不含该点”，实心点表示“含该点”。 【例题2】.（25-26八年级上·四川成都·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·吉林·月考）有意义的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，根据零指数幂和二次根式有意义的条件，分别列出不等式，再求交集即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵若有意义， ∴，且， 解得：，， ∴有意义的条件是且， 故答案为：且． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，逐一分析各选项是否存在使式子无意义的实数，进而确定正确选项． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0 对于选项A：当即时，分母，分式无意义，故A不符合题意． 对于选项B：当时，分母，分式无意义，故B不符合题意． 对于选项C：当时，被开方数，二次根式无意义；且当时，分母，分式无意义，故C不符合题意． 对于选项D：∵不论为何实数，， ∴，二次根式有意义； 又∵， ∴，分母不为，分式有意义，故D符合题意． 故选：D． 【题型3】二次根式性质的直接计算 1.核心知识点 的正用； 的基础化简（为具体数）。 2.解题方法技巧 计算：直接去掉根号和平方，结果为，注意验证； 计算：先转化为绝对值，再去绝对值符号（具体数直接判断正负）。 【例题3】.（25-26八年级上·全国·期末）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海奉贤·期末）若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，核心知识点是二次根式的性质，以及绝对值的化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列等式成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根与算术平方根的定义及性质，关键在于明确：算术平方根的结果为非负数；任意实数的立方根唯一，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，根据立方根的定义，，成立； 对于选项D：∵，∴，即不成立； 故选：C． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查根式的化简，掌握根式的性质是解题的关键． 对各小问根据根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 【培优高频题型】 【题型4】利用二次根式双重非负性求简单代数式的值 1.核心知识点 二次根式的双重非负性； 非负数的和为0的性质。 2.解题方法技巧 定零法：若式子中出现被开方数互为相反数的两个根式（如），则被开方数必为0，求出字母值； 联立求解：多个非负数和为0时，分别令每个非负数为0，联立方程（组）求字母值，再代入代数式计算。 【例题4】.（25-26八年级上·广东佛山·月考）若为实数，且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解、的值． 根据绝对值的性质，；根据算术平方根的性质，；由于两者的和为0，结合非负数的性质可得且；分别求解这两个等式得到、的值，进而计算． 【详解】解：∵，，且， ∴由非负数的性质，得，． 即，解得； ，解得． ∴． 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式和绝对值， 根据，，，可得， ． 【详解】解：根据，，，可得 ， ． 即 ，． 解得 ，． 所以． 故答案为： 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江西吉安·期末）若、都是实数，且，求的立方根． 【答案】 3 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ，即的立方根为． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·月考）已知实数，，满足，求的值． 【答案】 10 【分析】本题考查非负数的性质，包括算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，以及代数式的求值。通过分析方程中各项的非负性，得出每个部分均为零，从而求出未知数的值，再代入所求表达式计算. 【详解】解：由题意可得： 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质. 【题型5】含字母的二次根式性质化简 1.核心知识点 的进阶应用（为含字母的式子）； 绝对值的化简方法。 2.解题方法技巧 三步化简法：第一步将被开方数化为完全平方式，如；第二步转化为绝对值，即；第三步根据字母的取值范围去绝对值； 关键：根据题干条件（如）或数轴确定含字母式子的正负。 【例题5】.（25-26八年级上·山东济南·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ． 【答案】b 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，二次根式的性质，绝对值的意义，根据实数a、b在数轴上对应点的位置判断出a，的正负是解答本题的关键．先根据实数a、b在数轴上对应点的位置判断出a，的正负，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴知，，， ， ∴． 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·山西晋城·期末）已知实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．观察数轴得：，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴． 故答案为： 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·期中）结合数轴先化简，再求值：． 【答案】化简见解析    【分析】本题考查二次根式的性质与化简、立方根、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先根据数轴分析出，，，再根据题意进行解题即可． 【详解】解：由数轴可知，，，， 原式= ． 【变式题5-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，实数与数轴，二次根式的性质． 根据数轴得到，进而根据非负数的性质计算即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ． 【题型6】挖掘隐含条件的二次根式求值 1.核心知识点 二次根式双重非负性； 互为相反数的被开方数隐含条件。 2.解题方法技巧 找隐含：若有意义，则； 定参数：联立隐含条件与已知等式，求字母值后代入计算。 【例题6】.（23-24八年级上·上海金山·月考）如果 ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．由已知方程 可得 ，根据算术平方根的非负性，有 ，再化简所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故， ∵ ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 先根据有意义求出x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式题6-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得到，即，化简，整理后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴， 可化为， 整理得， ， 解得． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 【题型7】结合三角形三边关系的二次根式化简 1.核心知识点 ； 三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）。 2.解题方法技巧 先根据三角形三边关系，判断绝对值内（根号下完全平方式）式子的正负； 再去绝对值/化简根式，最后合并同类项； 注意：化简结果需为整式，无绝对值和根式。 【例题7】.（2026八年级下·全国·专题练习）若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形．理由见解析 【分析】此题考查了二次根式和绝对值的非负性的应用，等边三角形的判定，首先由得到，推出，，得到，进而求解即可． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ， ， ． ，， ，， ，， ． 是等边三角形． 【变式题7-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）在中，，为斜边，，为直角边，化简 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的几何意义，以及三角形三边的关系，解决本题的关键是判断出与的正负． 根据三角形的三边关系，即：两边之和大于第三边，即可判断与的正负，再根据绝对值的几何意义化简求解即可． 【详解】解：是的三边， ， ， ． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东威海·期末）若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∴ ， ． 故答案为． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值，结合的范围化简绝对值，最后计算式子结果． 根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】解：由三角形三边关系，得． ，． ∴原式． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型8】二次根式的规律探究题 1.核心知识点 二次根式的化简； 数字、式子的规律探究方法。 2.解题方法技巧 先化简题干给出的已知式子，观察分子、分母、被开方数的变化规律； 用含（正整数）的代数式表示规律，再代入验证； 规律应用：根据总结的规律计算连乘、连加等复杂式子。 【例题8】.（25-26七年级下·全国·周测）实践与探究： (1)用计算器计算：_________， _________，_________，_________，_________； (2)根据计算结果，回答： ①一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； ②利用你总结的规律化简和，其中． 【答案】(1)3  0.5  6    0 (2)①不一定等于．规律：正数和0的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数．②， 【分析】（1）利用计算器或二次根式性质直接计算，观察结果与底数的关系； （2）①通过计算结果归纳出的化简规律；②利用该规律对给定式子进行化简． 【详解】（1）解：； ； ； ； ． （2）解：①不一定等于． 当时，； 当时，． 规律：正数和的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数． ②，，． ，， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，特别是这一重要结论，解题关键是理解算术平方根的非负性，避免直接将等同于． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·全国·周测）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 【答案】 【分析】模仿题目给出的示例，先将化为，然后将分子利用已知条件，进行代换，化简即可． 【详解】解： = =． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题关键是将目标根式拆成已知根式与的乘积，再整理成用、表示的形式． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西吉安·期末）阅读下列解题过程： ， ， ， ．．．．．． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出______； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，请计算的值． 【答案】(1)29 (2) (3)2025 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，乘法公式的应用，读懂题意，熟练应用二次根式的运算法则，找到规律是解题的关键． （1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可； （2）根据运算规律结合乘法公式即可求解； （3）利用（2）的结论，再运用乘法公式即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：29． （2）解：由题意得 ． ∴上述各式子的变形规律为． （3）解：原式 ． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)（为自然数，且） 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）仿照题干计算即可； （2）根据已知等式找出规律即可． 【详解】（1）解：，验证如下： ； （2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）． 证明：． 【题型9】二次根式有意义的条件求整数解/最值 1.核心知识点 二次根式有意义的条件； 不等式的整数解求解、最值分析。 2.解题方法技巧 先根据条件列不等式（组），求出字母的取值范围； 结合“整数解”“最值”要求筛选结果，注意含字母式子的非负性限制。 【例题9】.（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若二次根式是整数，则整数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质将化为，再根据二次根式的定义求出的范围，即可求解． 【详解】解： ， ，即， 整数的最小值为， 故答案为：． 【变式题9-1】.（24-25八年级下·广西玉林·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 【答案】75 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质结合题意计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且n为正整数，是大于1的整数， ∴n的最大值为， 故答案为：． 【变式题9-2】.（23-24七年级下·辽宁大连·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，二元一次方程的解： （1）夹逼法求出无理数的范围即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，再利用夹逼法求解即可； （3）根据题意，得到，且m，都是正整数，结合，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“整数区间”为； ∵， ∴， ∴的“整数区间”为； （2）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“整数区间”为； （3）∵一个无理数的“整数区间”为， ∴， 又∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴m，都是正整数， 则， 当时，，，，符合， 将，代入中，得， ∴； 当时，不满足． ∴a的值为17． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·湖南长沙·月考）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________； (2)解方程：已知为非负整数，满足以下方程： ①若方程，则的值有________； ②若方程，则的取值是________． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．对254连续求根整数，至少________次之后结果为1； (4)至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中，最小的是________． 【答案】(1)6 (2)4，5，6，7，8；7，8，9 (3)3 (4)256 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． （1）根据题意得，则，即可得出答案； （2）①根据知，求得，故可得整数x的值； ②先确定x的取值，再由可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得结论； （4）根据运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：6； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴x的整数值为4，5，6，7，8， 故答案为：4，5，6，7，8； ②根据题意得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故答案为：7，8，9； （3）解：第一次：； 第二次：； 第三次：， 故答案为：3； （4）解：设第4次运算的整数为，则有：， ∴第4次运算的最小整数为； 第3次运算的整数为，则有：， ∴第3次运算的最小整数为； 第2次运算的整数为，则有：， ∴第2次运算的最小整数为16； 第1次运算的整数为，则有：， ∴第1次运算的最小整数为256； 故答案为：256． 【题型10】复合根式的化简（含双重根号） 1.核心知识点 二次根式的性质； 完全平方公式的逆用。 2.解题方法技巧 配方法：将双重根号内的式子配成完全平方式，如（满足，）； 化简关键：保证配成的完全平方式开方后结果为非负数，即。 【例题10】.（25-26八年级上·全国·假期作业）设，求的值． 【答案】1999 【分析】本题考查了二次根式的性质、代数式求值，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先求出，再利用二次根式的性质化简可得，则可得，然后设，则，计算，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 设， ∴， ∴， ∴ ， 即． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ． （3）在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 易错点 1.识别二次根式时，忽略被开方数非负，误将、等不确定被开方数符号的式子判定为二次根式； 2.求二次根式有意义的条件时，遗漏分母不为0、零次幂的底数不为0等附加条件，如化简时，只考虑，忽略； 3.化简时，直接去掉根号得，忽略，未根据的符号判断结果，如误将化简为； 4.利用二次根式双重非负性时，未发现被开方数互为相反数的隐含条件，无法确定字母的具体值； 5.列代数式时，混淆运算顺序，或在代数式中加入等号、不等号等关系符号。 重点 1.二次根式的概念与判定，能准确区分二次根式与其他式子； 2.二次根式有意义的条件，能根据不同形式列不等式（组）求字母的取值范围，并能用数轴表示； 3.二次根式的两个核心性质和的灵活计算与化简； 4.二次根式的双重非负性，能利用非负数的性质求字母的值和代数式的值； 5.结合数轴、三角形三边关系的二次根式化简，掌握“根式化绝对值，再去绝对值”的核心步骤。 难点 1.含字母的二次根式的化简，尤其是字母无明确取值范围时的零点分段讨论； 2.双重根号的复合根式化简，掌握配方法将内层式子化为完全平方式； 3.二次根式的规律探究题，能从化简结果中提炼出通用的数字、式子规律，并应用规律解决复杂计算； 4.多个知识点的综合应用，如将二次根式与数轴、三角形三边关系、非负数性质、实际情境结合的综合题； 5.利用二次根式的性质解决跨学科情境问题，能从非数学情境中提取数学信息，建立二次根式的数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据“被开方数为非负数”列不等式求解的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的化简计算． 利用将原式转化，再根据时列不等式求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 解这个不等式得：． 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质，点坐标的特点，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入表达式求出y的值，最后依据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点P所在象限． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数， ∴， 解得， 当时，， ∴点的坐标为， ∵第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 7．（2025九年级·山东·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海金山·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质、取绝对值、整式的加减等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式简化两个根式，再根据二次根式化简，然后根据x的取值范围去绝对值，最后相加并合并同类项即可． 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 9．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）若是整数，且是自然数，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及一元二次方程根的判别式．设（为自然数），则，整理得关于的二次方程，其判别式，需为完全平方数．令，得，因式分解后根据整数解条件求解和，再代入求根公式得的值即可解答． 【详解】解：设自然数满足（为自然数）， 则，整理得， 将方程看作关于的二次方程， 其判别式需为完全平方数：， 设（为整数）， 则， 因式分解得， 由于为质数，其整数因式分解为或， 故有：①， ，解得，， ②，，解得，， ③， ，解得（舍去，因为为自然数）， ④，，解得（舍去，因为为自然数）， 将代入原方程，解得，即或， 验证这两个解均满足原方程， 故答案为：或． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为是解题的关键． 根据相反数的定义，两个非负的表达式互为相反数，只能同时为零，从而求出和的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数，且，， ∴且， ∴， 解得：； ， 解得：； ∴ 故答案为 ：． 三、解答题 11．（2026八年级下·全国·专题练习）实数、在数轴上的对应点如图所示，请你化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，先根据数轴判断出、、的符号，再利用二次根式的性质化简即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴原式 ． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：． 【答案】当时，结果为；当时，结果为． 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的化简以及分类讨论的数学思想，掌握二次根式的化简规则和绝对值的分类讨论方法是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再将根号内的二次三项式因式分解为完全平方式，转化为绝对值形式；然后结合的隐含条件，分区间讨论绝对值内表达式的正负，完成化简． 【详解】解：． 由题意知． ①当，即时，原式； ②当，即时，原式． 综上所述，当时，结果为；当时，结果为． 13．（2026八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式中被开方数有意义的条件,绝对值的化简计算,解决本题的关键是求出的取值范围． 利用二次根式中被开方数的非负性确定的范围,再根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． ∴， ， ． 两边平方，得， ． 14．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知三条边的长度分别是，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是__________（请直接写出答案）； (2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； (3)若x为整数，求的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3)7 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，以及解不等式组，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键． （1）把代入三角形的三边中，化简后计算比较即可； （2）利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围，再把三角形的三边求和； （3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，求出三角形的周长． 【详解】（1）解：当，， ∵， ∴的最长边的长度是3； 故答案为：3； （2）解：由二次根式有意义的条件得， 解得：， 所以，． 所以 ＝ ＝； （3）解：由（2）可得，且． ∴x越大越大， ∴当时，三边为，1，4， ∵， ∴不合题意舍去． 当时，三边为2，2，3，符合三角形三条边的关系， ∴． 即的最大值为7． 15．（25-26七年级上·山东泰安·期末）探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 【答案】(1)，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． ()根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； ()结合()中计算可知不一定等于，并发现其中规律； ()运用()得出的规律进行运算即可； ()结合数轴可知，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：； （2）解：由()可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； ∴； 故答案为：； （3）解：若，则， ∴， 故答案为：； （4）解：由在数轴上的位置可知，，且，， ∴， ， ， ． 16．（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：隐含条件， 解得：， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $