4.3.1 第2课时 异面直线-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“异面直线”核心知识点，系统梳理异面直线的定义、平面衬托画法及位置关系判断方法，进而阐述异面直线所成角的定义、范围、垂直概念，构建从基础认知到综合应用的学习支架。 该资料通过正方体等直观模型培养直观想象，结合中位线平移法等提升逻辑推理与数学运算能力，如探究点中利用中点构造平行线求异面直线所成角。课中辅助教师分层教学，课后通过判断正误、选择及解答题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　异面直线 学习目标 1.借助直观图形理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线，会判断两条直线的位置关系，培养直观想象和数学抽象核心素养. 2.理解异面直线所成的角的概念，理解两条异面直线互相垂直的概念，会求两条异面直线所成的角，提升逻辑推理与数学运算核心素养. 知识点一　异面直线判断方法 　与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线. [点拨]　三棱锥(四面体)有三对异面直线，也称作三对对棱. 知识点二　异面直线所成的角 1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a'和b'，把a'与b'所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角. 2.范围：. 3.垂直：如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b. [点拨]　研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.(　　) (2)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O位置不同时，这一角的大小也不同.(　　) (3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°.(　　) (4)与一条直线都垂直的两条直线平行.(　　) (5)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.若a和b异面，b和c异面，则(　　) A.a∥c B.a和c异面 C.a和c异面或平行或相交 D.a和c相交 答案：C 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， ①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c， 则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线， 而a和c相交； ②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行； ③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面.故选C. 3.在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1各个面的对角线中与AD1所成的角为60°的有(　　) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 答案：C 解析：由图可知△AB1D1和△AD1C均是等边三角形，所以B1D1，AB1，CD1，AC与AD1成60°角.根据平行关系，可知 BD，C1D，A1B，A1C1也与AD1成60°角，故满足题意的面对角线共有8条，故选C. 4.已知正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，E，F分别是边AA1，AB的中点，则异面直线EF与CC1所成的角为　　　　. 答案：45° 解析：连接A1B(图略)，因为EF∥A1B，CC1∥BB1，所以∠A1BB1即为异面直线EF与CC1所成的角，所成的角为45°. 探究点一　异面直线的判断 (1)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.以上皆有可能 (2)直线c，d与异面直线a，b都相交，则c，d的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.相交于一点或异面 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)若α∩β＝l，a，c⊂α，b，d⊂β，位置关系如右图所示： 若a∥l，b∥l，则a∥b，可知两条直线可以平行；由图可知，c与d相交，可知两条直线可以相交；由图可知，b与c异面，可知两条直线可以异面. (2)已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D， 当点B与点C重合时，两条直线c与d相交， 当点B与点C不重合时，两条直线c与d异面. 学生用书⬇第100页 判定两条直线是异面直线的方法 1.定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内. 2.重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，与这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 对点练1.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是　　　　. 答案：③ 解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交. 探究点二　异面直线所成的角 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD与BC所成的角. 解：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG. 因为E，F分别是AB，CD的中点， 所以EG∥BC且EG＝BC＝1， FG∥AD，且FG＝AD＝1. 所以∠EGF为异面直线AD与BC所成的角(或其补角). 又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°， 即异面直线AD与BC所成的角为90°. 1.求异面直线所成的角的步骤 (1)通过作平行线(或利用已知的平行关系)得到相交直线； (2)将这个角放入某一个三角形中； (3)在这个三角形中，计算这个角的大小. 2.作异面直线所成的角的方法 作异面直线所成的角，可通过多种平移方法产生，主要有三种方法： (1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)； (2)中位线平移法； (3)补形平移法(在已知图形中，补作一个适当的几何体，以便找到平行线). 对点练2.如图所示，在直三棱柱ABC􀆼A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：C 解析：延长CA到D，使得AD＝AC，连接BD，A1D(图略)，则四边形ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角或其补角.易知△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°. 探究点三　直线与直线垂直的证明 如图，在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心.求证：AO1⊥BD. 证明：如图所示，连接B1D1，AD1，AB1， 因为ABCD􀆼A1B1C1D1是正方体， 所以BB1∥DD1. 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以B1D1∥BD. 所以直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角. 易证AB1＝AD1.又O1为上底面A1B1C1D1的中心， 所以O1为B1D1的中点，所以AO1⊥B1D1， 所以AO1⊥BD. 证明空间中两条直线垂直的方法 1.定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. 2.平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等. 对点练3.如图，在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点. 求证：CD1⊥EF. 证明：取CD1的中点G，连接EG，DG. 因为E是BD1的中点， 所以EG∥BC，EG＝BC. 因为F是AD的中点， 且AD∥BC，AD＝BC， 所以DF∥BC，DF＝BC. 所以EG∥DF，EG＝DF. 所以四边形EFDG是平行四边形. 所以EF∥DG. 又A1A＝AB，所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点， 所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF. 学生用书⬇第101页 1.在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：C 解析：如图，连接A1C1，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角.因为tan ∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为　　　　　(注：把你认为正确的结论的序号都填上). 答案：③④ 解析：因为A，M，C，C1四点不共面， 所以直线AM与CC1是异面直线，故①错误； 同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误. 同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确； 同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确. 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点. (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，哪些棱所在的直线与直线A1B是异面直线？ (2)分别求异面直线EF与GH，EF与CC1所成的角. 解：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，所在的直线与A1B是异面直线的棱有：AD，B1C1，CD，C1D1，DD1，CC1. (2)连接BC1，A1C1(图略)， 因为E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点， 所以EF∥A1B，GH∥BC1， 所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角. 由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°， 即EF与GH所成的角为60°. 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1∥AA1， 所以∠AEF即为EF与CC1所成的角. 因为△AEF为等腰直角三角形， 所以∠AEF＝45°，即EF与CC1所成的角为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $