4.3.1 空间中直线与直线的位置关系（ 异面直线）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 二　异面直线 一、必备知识基础练 1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(　　) A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC成异面直线的棱有(　　) A.3条 B.4条 C.6条 D.8条 3.(2025甘肃天水高一期末)某正方体的平面展开图如图所示,则在原正方体中(　　) A.直线AB与CD相交,且直线AB与CD的夹角为 B.直线AB与CD相交,且直线AB与CD的夹角为 C.直线AB与CD异面,且直线AB与CD的夹角为 D.直线AB与CD异面,且直线AB与CD的夹角为 4.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,P是线段A1C1上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　) A.DD1 B.B1C C.D1C D.AC 5.如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点.若AC=2,SA=SB=SC=AB=BC=2,则异面直线AC与BE所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成角的大小是　　　.  7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系. (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　　　;  (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　　　.  8.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角. 二、关键能力提升练 9.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在的棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(　　) A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2BB1=2,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 12.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是(　　) A.AB与EF是异面直线 B.AB与CM所成的角为60° C.EF与MN是异面直线 D.MN∥CD 13.(2025甘肃民乐高一月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=a,BC=b,AA1=c(a>b),用含a,b,c的代数式表示异面直线D1B和AC所成角的余弦值为　　　　　.  14.如图,已知圆柱的上底面圆圆心为O,高和底面圆的半径相等,AB是底面圆的一条直径,点C为底面圆周上一点,且∠ABC=45°,则异面直线AC与OB所成角的余弦值为　　　　　.  15.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长. 三、学科素养创新练 16.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线(　　) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 17.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为　　　　　.  参考答案 1.D　异面直线不具有传递性,如图所示的长方体中a,b异面, a和c的位置关系可以是相交、平行或异面. 2.C　由图知与直线AC为异面直线的棱分别是BB1,DD1,A1D1,B1A1,B1C1,C1D1,共6条. 故选C. 3.D　还原的正方体如图所示,连接DE,CE,显然直线AB与CD异面. 在正方体中,AB∥EC,则∠ECD为直线AB与CD所成角. 又DE=DC=EC,则△DCE为等边三角形,即∠ECD=.故选D. 4.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥DD1,当P是A1C1与B1D1的交点时,BP⊂平面BDD1B1,BP与DD1相交,故A错误; 当点P与C1重合时,BP⊂平面BCC1B1,BP与B1C相交,故B错误; 当点P与A1重合时,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1BCD1是矩形,此时BP∥D1C,故C错误; 因为AC⊂平面ABCD,B∉AC,B∈平面ABCD,而P∉平面ABCD,因此BP与AC是异面直线,故D正确.故选D. 5.C　如图,取SA的中点F,连接EF,BF,则EF∥AC,∴∠BEF(或其补角)为异面直线AC与BE所成的角.∵AC=2,SA=SB=AB=BC=SC=2,∴BE=EF=BF=, ∴∠BEF=60°.故选C. 6.45°　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵C1D1∥CD, ∴∠B1D1C1即异面直线B1D1与CD所成的角. ∵△B1D1C1为等腰直角三角形, ∴∠B1D1C1=45°. 7.(1)平行　(2)异面　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内,故直线A1B与直线B1C为异面直线. 8.解如图,取AC的中点G,连接EG,FG,则FG∥CD,EG∥AB, 所以∠FEG即为EF与AB所成的角,且FG=CD,EG=AB, 又AB=CD,AB⊥CD, 所以FG=EG,且FG⊥EG,所以∠FEG=45°, 故EF和AB所成的角为45°. 9.C　在①中,∵M,G分别是所在棱的中点,∴GH∥MN,故①错误; 在②中,直线GH,MN既不平行又不相交,是异面直线,故②正确; 在③中,∵GH与MN平行且不相等,∴GH与MN相交,故③错误; 在④中,直线GH,MN既不平行又不相交,是异面直线,故④正确.故选C. 10.C　如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1,A1C1∥DE. 所以∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角或其补角. 由已知可得BD=DE=BE=,△BDE为正三角形, 所以∠BDE=60°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°. 11.C　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB, 所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB(或其补角). 设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,所以BE=a.AE2=AC2+CE2=9a2,则有AE2=AB2+BE2, 则tan∠EAB=.故选C. 12.AC　把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB与EF是异面直线,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN与CD是异面直线,故A,C正确. 13.　如图所示,连接BD交AC于点O,取DD1的中点F,连接OF,AF. 在△BDD1中,因为O,F分别为BD,DD1的中点,可得OF∥D1B,所以∠AOF即为异面直线D1B和AC所成的角. 因为AO=AC=,OF=BD1=,AF=,在△AOF中,由余弦定理得cos∠AOF=,所以异面直线D1B和AC所成角的余弦值为. 14.　如图,O'为下底面圆圆心,过点B作BD∥AC交圆O'于D,连接OD,AD,则∠OBD即为直线AC与OB所成角,设底面圆半径为1,由圆柱高和底面圆的半径相等,得圆柱高为1,∴在Rt△OO'B中,OB=. ∵∠ABC=45°,∴AC=BC=, ∴BD=AC=.又OB=OD=, ∴△OBD为正三角形, 则∠OBD=,故直线AC与OB所成角的余弦值为. 15.解连接CD1,AC. 由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∵A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形, ∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°, ∴∠AD1C=90°. ∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2, ∴△ACD1是等腰直角三角形, ∴AD1=AC.∵底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°, ∴AC=2×sin 60°×2=6,AD1=AC=3, ∴AA1=. 16.A　如图,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角,除两条与l共面的母线,其余都符合要求.因此,这样的异面直线有无数条. 17.a　如图,取BC的中点E,连接EM,EN, ∵M,E分别为AB,BC的中点, ∴ME∥AC且ME=AC=, 同理可得EN∥BD且EN=BD=, ∴∠MEN为异面直线AC与BD所成的角或其补角,则∠MEN=60°或120°. 在△MEN中,EM=EN=, 若∠MEN=60°,则△MEN为等边三角形,此时,MN=; 若∠MEN=120°,由余弦定理可得MN=a. 综上所述,MN=a. 10 学科网（北京）股份有限公司 $