3.4 复数的三角表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦复数的三角表示核心知识点，从复数代数形式出发，系统梳理三角表示式的定义、辐角及主值概念，明确代数形式与三角形式的互化方法，进而阐述三角形式乘除运算法则（模的乘除与辐角的加减）及几何意义（向量旋转），构建从代数到几何的完整学习支架。 该资料突出数学抽象（三角形式定义）、直观想象（向量旋转几何意义）与数学运算（乘除法则应用）核心素养，通过判断正误、探究点（如互化步骤、几何意义应用）及对点练设计，课中助力教师引导学生深化理解，课后便于学生自主回顾与强化练习，有效弥补知识盲点。

*3.4　复数的三角表示 学习目标 1.掌握复数的三角表示式及相关概念， 掌握复数的三角形式与代数形式的互化， 提升数学抽象、直观想象和数学运算核心素养. 2.掌握复数三角形式的乘除运算法则， 并能正确运算， 掌握复数三角形式的乘除运算的几何意义，提升数学运算和数学直观想象核心素养. 知识点一　i2＝－1的几何意义 虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量逆时针旋转90°. 知识点二　旋转任意角 用cos α＋isin α乘任意复数z，其几何意义是：将复数z对应的平面向量逆时针旋转角α. 知识点三　复数的三角表示 1.定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的正半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫作复数z＝a＋bi的辐角.r(cos θ＋isin θ)叫作复数z＝a＋bi的三角形式. 2.辐角：辐角记作arg z＝θ，当0≤θ＜2π时，称其为复数z的辐角主值.若θ是z的辐角主值，则z的全部辐角arg z＝θ＋2kπ(k∈Z). 知识点四　复数三角形式的运算 1.乘法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].即：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之乘和. z1·z2·…·zn＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin (θ1＋θ2＋…＋θn)]，其中n∈N＋. 如果r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ. 则有[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，其中n∈N＋.这个式子称为棣莫弗公式. 学生用书⬇第78页 2.除法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].即：两个复数相除(除数不为0)，商的模等于它们的模的商，商的辐角等于它们的辐角之差. [点拨]　复数三角形式的特征 (1)r≥0； (2)辐角不唯一； (3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的.(　　) (2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式.(　　) (3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式.(　　) (4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.×＝(　　) A.1 B.－1 C.i D.－i 答案：C 解析：原式＝cos ＋isin ＝cos ＋isin ＝i.故选C. 3.4(cos π＋isin π)÷＝(　　) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：C 解析：原式＝2 ＝2＝－1＋i. 4.复数6的代数形式为　　　　. 答案：6i 解析：原式＝6cos ＋6isin ＝6i. 探究点一　复数的代数形式与三角形式的互化 (1)把复数3－i的代数形式化成三角形式； (2)把复数4的三角形式化成代数形式. 解：(1)r＝＝2，cos θ＝， 因为3－i对应的点在第四象限，所以arg(3－i)＝，所以3－i＝2. (2)4 ＝4cos ＋i ＝4×＋4×i ＝2＋2i. 复数的代数形式化成三角形式的步骤 1.求复数的模； 2.确定辐角所在的象限； 3.根据象限求出辐角； 4.求出复数的三角形式. 对点练1.将复数－i的代数形式化成三角形式. 解：r＝ ＝2，cos θ＝. 因为－i对应的点在第四象限， 所以arg(－i)＝， 所以－i＝2. 对点练2.将复数3的三角形式化成代数形式. 解：3 ＝3cos ＋i ＝3×＋3×i ＝－－i. 学生用书⬇第79页 探究点二　复数三角形式的乘除运算 (1)2(cos 210°＋isin 210°)×5(－sin 30°＋isin 60°)＝　　　　　(用代数形式表示). (2)6÷[3(cos 135°＋isin 135°)]＝　　　　. 答案：(1)5－5i　(2)－－i 解析：(1)2(cos 210°＋isin 210°)×5(－sin 30°＋isin 60°) ＝10(cos 210°＋isin 210°)×(cos 120°＋isin 120°) ＝10[cos (210°＋120°)＋isin(210°＋120°)] ＝10(cos 330°＋isin 330°) ＝10 ＝5－5i. (2)6÷[3(cos 135°＋isin 135°)] ＝6(cos 0°＋isin 0°)÷[3(cos 135°＋isin 135°)] ＝2[cos(0°－135°)＋isin(0°－135°)] ＝2[cos(－135°)＋isin(－135°)]＝2(－－i) ＝－－i. 1.乘法法则：模相乘，辐角相加. 2.除法法则：模相除，辐角相减. 3.复数的n次幂的模等于模的n次幂，它的辐角等于辐角的n倍，n∈N＋. 对点练3.×3＝(　　) A.＋i B.－i C.－＋i D.－－i 答案：C 解析：×3 ＝3 ＝3 ＝－＋i. 对点练4.9(cos 3π＋isin 3π)÷[3(cos 2π＋isin 2π)]＝(　　) A.3 B.－3 C.i D.－i 答案：B 解析：9(cos 3π＋isin 3π)÷[3(cos 2π＋isin 2π)]＝3[cos(3π－2π)＋isin(3π－2π)]＝3(cos π＋isin π)＝－3. 探究点三　复数三角形式乘除运算的几何意义 在复平面内，把与复数－i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z，求复数z(用代数形式表示). 解：方法一：由题意得 z＝(cos 45°＋isin 45°)×(－i) ＝(cos 45°＋isin 45°)×(cos 270°＋isin 270°) ＝cos(45°＋270°)＋isin(45°＋270°) ＝cos 315°＋isin 315° ＝－i. 方法二：由题意得 z＝(cos 45°＋isin 45°)×(－i) ＝×(－i) ＝－i. 　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 对点练5.在复平面内，把与复数4＋4i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转15°，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示). 解：与所求向量对应的复数为 (4＋4i)÷(cos 15°＋isin 15°) ＝8(cos 60°＋isin 60)÷(cos 15°＋isin 15°) ＝8[cos(60°－15°)＋isin(60°－15°)] ＝8(cos 45°＋isin 45°) ＝8 ＝4＋4i. 1.复数z＝－i的三角形式为(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 答案：D 解析：因为r＝2，cos θ＝，所以与z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，故z＝－i＝2. 2.复数z＝化为代数形式为(　　) A.＋i B.－＋i C.－－i D.－i 答案：D 解析：z＝ ＝sin ＋icos ＝×＋i×＝－i. 3.复数9(cos π＋isin π)的模是　　　　. 答案：9 解析：因为cos π＝－1，sin π＝0， 所以9(cos π＋isin π)＝－9， 所以复数9(cos π＋isin π)的模为｜－9｜＝9. 4.已知z1＝，z2＝2(cos ＋isin )，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释. 解：z1z2＝×2(cos ＋isin ) ＝×2 ＝3 ＝3i. 首先分别作与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为(如图).向量即为积z1z2＝3i所对应的向量. 学科网（北京）股份有限公司 $