3.2 复数的四则运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦复数的四则运算核心知识点，系统梳理复数加减（类比多项式合并同类项）、乘除（除法类比分母有理化）及乘方运算的法则与运算律，构建从运算法则到实际应用（如复数方程求解）的学习支架。 通过类比迁移（多项式运算、分母有理化）帮助理解运算本质，培养数学思维；例题与对点练梯度设计，强化数学运算素养；复数方程求解环节体现数系扩充逻辑，发展数学眼光。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

3.2　复数的四则运算 学习目标 1.掌握复数的加减乘除运算的运算法则， 并能熟练、准确地运用运算法则解决相关问题， 达到数学运算核心素养学业质量水平要求. 2.能进行复数代数形式的加减运算， 了解复数代数形式的加减运算的几何意义， 提升数学运算核心素养. 3.通过复数集内一元二次方程的解，体会实际需要是推动数系不断扩充的根本原因， 感受运算法则的合理性， 达到逻辑推理核心素养学业质量水平要求. 知识点一　复数的加减法 1.复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). [点拨]　把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可. 知识点二　复数的乘法与乘方 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.复数的乘方 复数的乘方运算是指几个相同复数相乘，即对任何复数z，z1，z2及正整数m，n有 zm·zn＝zm＋n， (zm)n＝zmn， (z1·z2)n＝·. [点拨]　in(n∈N*)：因为i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，所以in(n∈N*)以4为周期的式子. 知识点三　复数的除法 　对任意两个复数a＋bi，c＋di，有＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0). [点拨]　对复数除法的两点说明 (1)实数化：分子、分母同乘以c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似； (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数.(　　) (2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(　　) (3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.(　　) (4)两个复数的积与商一定是虚数.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是(　　) A.1 B. C.－1 D.－i 答案：C 解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，故复数z的虚部为－1. 3.若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 答案：D 解析：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i. 4.＝　　　　. 答案：＋i 解析：＝＝＝＝＋i. 学生用书⬇第72页 探究点一　复数的加减法运算 (1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－ (3＋4i)； (2)设z1 ＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2 ＝5－6i，求z1－z2. 解：(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. (2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i. 所以所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 复数加、减运算的法则 1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部. 2.复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 对点练1.－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝　　　　　　　. 答案：－10i 解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i. 对点练2.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝　　　　. 答案：3 解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i， 又z1＋z2是纯虚数，所以 解得a＝3. 探究点二　复数的乘法运算 (1)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝(　　) A.1＋i B.－1＋i C.＋i D.－＋i (2)已知复数(a＋3i)(1＋2i) 是纯虚数，则实数a的值为　　　　. 答案：(1)B　(2)6 解析：(1)(1－i)(1＋i)＝(1－i)· (1＋i)·＝(1－i2) ＝2＝－1＋i. (2)因为(a＋3i)(1＋2i)＝a－6＋3i＋2ai ＝(a－6)＋(3＋2a)i为纯虚数. 所以解得a＝6. 两个复数代数形式的乘法运算步骤 1.首先按多项式的乘法展开； 2.再将i2换成－1； 3.然后再进行复数的加、减运算，并化简为复数的代数形式. 对点练3.i表示虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2 023 ＝　　　　. 答案：0 解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1， 所以1＋i＋i2＋i3＝0， 所以1＋i＋i2＋…＋i2 023＝506×0＝0. 对点练4.已知复数ω＝－＋i(i是虚数单位)，则ω3－2＝　　　　. 答案：－1 解析：因为ω＝－＋i， 所以ω3－2＝－2＝＋3××i＋3××＋－2＝－＋i＋－i－2＝－1. 探究点三　复数的除法运算 (1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　) A.＋i B.－i C.－＋i D.－－i (2)若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则a的值为(　　) A.－2 B.2 C.1 D.－1 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)由于＝i，所以z＋i＝zi， 则z＝＝＝ ＝－i. (2)因为＝ ＝为纯虚数， 所以解得a＝2. 两个复数代数形式的除法运算步骤 1.首先将除式写为分式； 2.再将分子、分母同乘以c±di； 3.然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 学生用书⬇第73页 对点练5.复数z＝(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案：A 解析：因为复数z＝＝＝为纯虚数，所以所以m＝－1. 对点练6.i是虚数单位，＋＝　　　　　　　. 答案：0 解析：()2 024＋()6 ＝＋ ＝＋i6＝(i2)506＋(i2)3＝(－1)506＋(－1)3＝1＋(－1)＝0. 探究点四　复数范围内方程根的问题 在复数范围内解下列方程. (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. 解：(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为(i)2＝(－i)2＝－5， 所以x＝±i， 所以方程x2＋5＝0的根为x＝±i. (2)方法一：因为x2＋4x＋6＝0， 所以(x＋2)2＝－2. 因为(i)2＝(－i)2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 方法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0， 所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根. 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， 则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0， 所以 又因为b≠0， 所以 解得a＝－2，b＝±， 所以x＝－2±i， 即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 复数范围内实系数一元二次方程的解法 1.求根公式法 (1)当Δ≥0时，x＝； (2)当Δ＜0时，x＝. 2.利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此式代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. 对点练7.已知x＝i－1是方程x2＋ax＋b＝0的一个根. (1)求实数a，b的值； (2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明. 解：(1)把x＝i－1代入x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，所以a＝2，b＝2. (2)设另一个根为x2，由根与系数的关系，得i－1＋x2＝－2， 所以x2＝－1－i. 把x2＝－1－i代入方程，得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0， 故x2＝－1－i是方程的另一个根. 1.在复数范围内，方程2x2－3x＋2＝0的解是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由求根公式，得x＝. 2.已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i.若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为　　　　. 答案：－2 解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得⇒a＝－2. 3.已知i是虚数单位，复数z满足＝1＋2i，则复数z＝　　　　. 答案：－＋i 解析：因为＝1＋2i， 所以z＝＝＝ ＝－＋i. 4.(1)求＋的值； (2)若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根是1＋i，其中m，n∈R，i是虚数单位，求m－n的值. 解：(1)()6＋ ＝＋＝i6＋ ＝－1＋i. (2)由题意得＋m＋n＝－1＋m＋n＋2i＋mi＝0， 因为m，n∈R， 所以，解得， 所以m－n＝－5. 学科网（北京）股份有限公司 $