3.1 复数的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学复数的概念，从方程的解引入复数，系统梳理复数的代数形式（a+bi）、实部虚部定义、虚数单位i的性质，构建“概念定义-分类辨析（实数、虚数、纯虚数）-相等条件（实部虚部分别相等）”的学习支架。 资料通过判断正误、探究题等设计，强化数学抽象（如虚部概念辨析）和逻辑推理（如复数相等条件应用），例题解析详尽，课中辅助教师系统授课，课后学生可借对点练巩固，有效查漏补缺。

3.1　复数的概念 学习目标 1.通过方程的解认识复数，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件， 提升数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养. 2.了解复数的代数形式， 掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系， 达到数学抽象核心素养学业质量水平要求. 知识点一　复数的有关概念 名称 定义 表示方法 备注 复数 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a＋bi的实部，b称为复数a＋bi的虚部，i称为虚数单位 复数通常用字母z表示，代数形式z＝a＋bi(a，b∈R) 规定i2＝－1 复数集 全体复数所组成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫作复数集 通常用大写字母C表示 当b≠0时复数不能比较大小 [点拨]　(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i； (2)a＋bi(a，b∈R)中，虚部是i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi，也不能说虚部系数为b； (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是. 知识点二　复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 知识点三　复数相等 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. [点拨]　在两个复数相等的条件下，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.(　　) (2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.(　　) (3)复数z＝bi(b∈R)是纯虚数.(　　) (4)实数集与复数集的交集是实数集.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.设i为虚数单位，m∈R，“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：B 解析：复数m(m－1)＋i是纯虚数，则m＝0或m＝1，所以“复数m(m－1)＋i是纯虚数”不是“m＝1”的充分条件；当m＝1时，该复数为i，是纯虚数，“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的必要条件，所以“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的必要不充分条件.故选B. 3.若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝(　　) A.4或0 B.－4或0 C.2或0 D.－2或0 答案：A 解析：由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A. 4.若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为　　　　. 答案：－　－ 解析：由已知得 学生用书⬇第69页 探究点一　复数的概念 (多选)下列命题不正确的是(　　) A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i C.若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D.实数集是复数集的真子集 答案：ABC 解析：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即A错误；两个虚数不能比较大小，则B错误；对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则C错误；显然D正确.故选ABC. 与复数有关命题的判断方法 1.举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答. 2.化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部. 对点练1.对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　) A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.i的平方等于1 答案：C 解析：对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a∈R；对于D，i的平方为－1.故选C. 探究点二　复数的分类 复数z＝＋(m2－2m－15)i(m∈R).求m取何值时， (1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数？ 解：(1)若z是实数，则 即 所以当m＝5时，z是实数. (2)若z是虚数，则 即 所以当m≠5且m≠－3时，z是虚数. (3)若z是纯虚数，则 即 所以当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 1.复数a＋bi(a，b∈R)是零的充要条件是a＝0且b＝0. 2.复数a＋bi(a，b∈R)为实数的充要条件是b＝0. 3.复数a＋bi(a，b∈R)为虚数的充要条件是b≠0. 4.复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. 对点练2.已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m满足什么条件时， (1)复数z是零； (2)复数z是实数； (3)复数z是虚数； (4)复数z是纯虚数？ 解：(1)若复数z是零，则解得m＝1，即当m＝1时，复数z是零. (2)若复数z是实数，则m2＋2m－3＝0， 解得m＝1或m＝－3， 即当m＝1或m＝－3时，复数z是实数. (3)若复数z是虚数，则m2＋2m－3≠0， 解得m≠1且m≠－3，即当m≠1且m≠－3时，复数z是虚数. (4)若复数z是纯虚数，则解得m＝0， 即当m＝0时，复数z是纯虚数. 学生用书⬇第70页 探究点三　复数相等 (1)已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，求实数m的值； (2)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值. 解：(1)由已知得 解得m＝－2. (2)因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R， 依题意，得 解得 复数相等的充要条件 　　复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程(组)求解. 对点练3.已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝(　　) A.2 B.3 C.－3 D.9 答案：B 解析：因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3. 探究点四　虚数单位 已知i为虚数单位，求1＋i＋i2＋i3. 解：运用虚数单位i的性质计算，i2＝－1是解题关键. 1＋i＋i2＋i3＝1＋i＋＋i·i2＝1＋i＋－i＝0. 对点练4.已知i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2 024＝(　　) A.1 B.i C.－1 D.－i 答案：A 解析：1＋i＋i2＋…＋i2 024＝＋＋…＋(＋i2 022＋i2 023)＋i2 024＝(1＋i－1－i)＋＋…＋(1＋i－i)＋1＝1. 1.(多选)下列说法中不正确的是(　　) A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C.在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D.若a，b∈R且a＞b，则a－i＞b－i 答案：ABD 解析：选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错误，当a，b∈R时，a－i与b－i都是虚数，不能比较大小.故选ABD. 2.若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan(θ－)的值为(　　) A.7 B.－ C.－7 D.－7或－ 答案：C 解析：因为复数z＝(cos θ－)＋(sin θ－)i为纯虚数， 则， 所以sin θ＝－， 所以tan θ＝＝－， 所以tan(θ－)＝＝＝－7.故选C. 3.已知a，b∈R，若a2－b＋(a－b)i＞2(i为虚数单位)，则a的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：因为a，b∈R，a2－b＋(a－b)i＞2(i为虚数单位)， 所以，故可得a2－a－2＞0， 分解因式可得(a＋1)(a－2)＞0， 解得a＞2或a＜－1. 4.已知复数z＝(m2－3m＋2)＋(2m2－3m－2)i.当实数m取什么值时，复数z是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ 解：(1)若复数z为实数，则2m2－3m－2＝0， 解得m＝－或2，此时复数z是实数. (2)若复数z是虚数，则2m2－3m－2≠0， 解得m≠－且m≠2，此时复数z是虚数. (3)若复数z是纯虚数，则 解得m＝1，此时复数z是纯虚数. 学科网（北京）股份有限公司 $