2.3 简单的三角恒等变换-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦简单的三角恒等变换核心知识点，涵盖半角公式、万能公式、积化和差、和差化积及辅助角公式，构建从公式推导到化简、求值、证明的学习支架，为三角函数综合应用与实际问题解决奠定基础。 资料通过判断正误、分层探究（如扇形土地规划问题）和对点练，培养逻辑推理与数学运算素养，课中助力教师引导学生深化理解，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升应用能力。

2.3　简单的三角恒等变换 学习目标 1.了解半角公式及其推导过程，掌握并理解辅助角公式，能灵活运用公式进行相关的化简、计算、证明，提升逻辑推理与数学运算核心素养. 2.通过运用公式进行简单的恒等变换， 进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性， 体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用， 达到数学运算、逻辑推理核心素养学业质量水平要求. 知识点一　半角公式和万能公式 1.半角公式 2.万能公式(化切表示，齐次分式) sin α＝， cos α＝， tan α＝. 角α(α≠2kπ＋π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，称为“万能公式”. [点拨]　有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值. 知识点二　积化和差、和差化积公式 1.积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， (2)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， (3)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， (4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 2.和差化积公式 (1)cos α＋cos β＝2coscos， (2)cos α－cos β＝－2sinsin， (3)sin α＋sin β＝2sincos， (4)sin α－sin β＝2cossin. 知识点三　辅助角公式 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y＝Asin(ωx＋φ)＋B形式，即asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝或者asin x＋bcos x＝cos(x－θ)，其中tan θ＝. [点拨]　推导过程：asin x＋bcos x ＝sin x＋cos x) ＝(sin xcos φ＋cos xsin φ) ＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝； asin x＋bcos x ＝sin x＋cos x) ＝(cos xcos θ＋sin xsin θ) ＝cos(x－θ)，其中tan θ＝，一定要注意｜φ｜，｜θ｜为锐角，辅助角应用时满足“同角，异名，一次”. 学生用书⬇第61页 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos ＝ .(　　) (2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　) (3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立.(　　) (4)若α是第一象限角，则tan ＝ .(　　) (5)sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)].(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A. B.－ C.± D.± 答案：A 解析：因为cos α＝，α∈(0，π)， 所以∈. 所以cos ＝ ＝ ＝. 3.若＜θ＜π，且cos ＝，则sin 等于(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为＜θ＜π且cos ＝. 所以＜＜且sin ＝ ＝ ＝. 4.已知sin θ＝，θ∈，则tan 等于　　　　. 答案： 解析：因为sin θ＝，θ∈， 所以∈且cos θ＝. 所以tan ＝ ＝＝. 探究点一　应用半角公式求值 已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，求sin ，cos ，tan . 解：因为sin －cos ＝－， 所以＝. 所以1－sin α＝， 所以sin α＝. 因为450°＜α＜540°， 所以225°＜＜270°， 所以cos α＝－. 所以sin ＝－ ＝－ ＝－， cos ＝ － ＝－ ＝－. tan ＝＝2. 利用半角公式求值的思路 1.看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. 2.明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. [提醒]　已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号. 对点练1.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan 的值. 解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，由半角公式得 sin θ＝ ＝ ＝， cos θ＝－＝－ ＝－， 所以tan ＝＝＝. 探究点二　三角函数式的化简 化简：(0＜α＜π). 解：因为tan ＝， 所以(1＋cos α)tan ＝sin α. 又cos＝－sin α，1－cos α＝2sin2， 所以原式＝＝ ＝. 因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以sin ＞0. 所以原式＝－2cos . 学生用书⬇第62页 化简问题中的“三变” 1.变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式. 2.变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切. 3.变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等. 对点练2.化简：. 解：原式＝＝＝＝tan 2α. 探究点三　三角函数式的证明 已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝. 证明：由已知，得sin A＋sin B＝－sin C，(1) cos A＋cos B＝－cos C.(2) 两式和差化积，得2sincos＝－sin C，(3) 2coscos＝－cos C. (4) 因为当cos＝0时，sin C＝cos C＝0不成立， 所以cos≠0. (3)÷(4)，得tan＝tan C.所以cos＝＝＝cos 2C. ＋，得2＋2cos＝1， 即cos＝－， 所以cos2A＋cos2B＋cos2C ＝ ＝＋ ＝＋＝. 　　这类问题的特点是反复利用和差化积与积化和差公式变换凑出特殊角， 得到相约的项或者相消的项， 从而达到求值解题证明的目的. 对点练3.求证：＝. 证明：原式左边＝＝ ＝＝＝右边，所以原式成立. 探究点四　三角恒等变换与三角函数综合 已知函数f(x)＝cos2－sin cos －. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)＝，求sin 2α的值. 解：(1)由已知得f(x)＝cos2－sin cos － ＝(1＋cos x)－sin x－ ＝cos. 所以f(x)的最小正周期为2π，值域为. (2)由(1)知，f(α)＝cos＝， 所以cos＝， 所以sin 2α＝－cos＝－cos 2＝1－2cos2＝1－＝. 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 学生用书⬇第63页 对点练4.设函数f(x)＝cos x·cos(x－)＋sin2x－. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值. 解：(1)f(x)＝cos x·cos(x－)＋sin2x－ ＝cos x(cos x＋sin x)＋(1－cos2x)－ ＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin(2x－)， 所以f(x)的最小正周期是T＝＝π， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)当x∈时，2x－∈， 此时sin(2x－)∈，可得f(x)∈， 综上，f(x)的最大值为，最小值为－. 探究点五　三角恒等变换的实际应用问题 在半径为R，圆心角为的扇形AOB土地作如下两种方案的规划： 方案一：如图1，C为弧AB的中点，在扇形AOB弧上任取一点P(异于点C)，过点P作扇形的内接矩形PNMQ，使得P，Q关于OC对称，点M，N分别在OA，OB上； 方案二：如图2，在扇形AOB弧上任取一点P，过点P作扇形的内接平行四边形PNMQ，使得点Q在OA上，点M，N在OB上. 记土地利用率l＝(说明：方案一中(SPNMQ)max表示扇形的内接矩形PNMQ面积的最大值，方案二中(SPNMQ)max表示扇形的内接平行四边形PNMQ面积的最大值). 问：采取哪种方案的规划才能使土地利用率较大，并结合运算说明理由. 解：对于方案一：记OC与MN，PQ的交点为E，F. 如图所示： 设∠POC＝α，α∈， 则PF＝Rsin α，OF＝Rcos α， 又OE＝＝＝Rsin α， EF＝OF－OE＝Rcos α－Rsin α， MN＝2PF＝2Rsin α， SPNMQ＝EF×MN＝2Rsin α(Rcos α－Rsin α) ＝R2sin 2α－R2(1－cos 2α) ＝2R2sin(2α＋)－R2， 因为α∈， 所以当2α＋＝，即α＝时，sin取得最大值1， 即∠BOP＝－α＝，(SPNMQ)max＝(2－)R2， l1＝＝＝. 对于方案二： 分别作QH⊥OB，PL⊥OB交OB于H，L两点， 如图所示： 设∠BOP＝θ，θ∈， 则PL＝Rsin θ，OL＝Rcos θ， OH＝＝＝， MN＝OL－OH＝Rcos θ－， SPNMQ＝PL×MN＝Rsin θ ＝R2sin 2θ－× ＝R2sin－R2 因为θ∈， 所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即∠BOP＝， (SPNMQ)max＝R2－R2＝R2， l2＝＝＝. 因为l1＜l2，所以采用方案二土地利用率较大. 　　解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当地表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解. 对点练5.如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y. (1)设PN＝x，将y表示成x的函数关系式； (2)设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式，并求出y的最大值. 解：(1)因为QM＝PN＝x， 所以MN＝ON－OM＝－， 所以y＝MN·PN ＝x·－x2(0＜x＜). (2)当∠POB＝θ时，QM＝PN＝sin θ， 则OM＝＝sin θ， 又ON＝cos θ， 所以MN＝ON－OM＝cos θ－sin θ， 所以y＝MN·PN＝3sin θcos θ－sin2θ(0＜θ＜)， 即y＝－·＝sin(2θ＋)－， 因为θ∈，所以2θ＋∈， 故当2θ＋＝，即θ＝时，y取得最大值为. 学生用书⬇第64页 1.函数f(x)＝1＋cos2x的最小正周期是(　　) A.π B.2π C. D. 答案：A 解析：f(x)＝1＋cos2x＝1＋ ＝＋cos 2x的最小正周期为T＝π. 2.已知f(x)＝sin x(cos x－sin x)＋在上的最大值是1，则m的最小值是(　　) A. B. C.－ D. 答案：A 解析：因为f(x)＝sin x(cos x－sin x)＋， 所以f(x)＝sin xcos x－sin2 x＋ ＝sin 2x－×＋ ＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)， 因为－≤x≤m， 所以－≤2x≤2m， 所以－≤2x＋≤2m＋， 因为f(x)在上的最大值是1，所以2m＋≥，解得m≥，所以m的最小值为.故选A. 3.已知函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递减区间； (3)在△ABC中，若f()＝2，≤B≤，求cos B＋cos C的取值范围. 解：(1)函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1 ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)， 所以f(x)的最小正周期为＝π. (2)令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 可得f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (3)因为f()＝2，所以sin(A＋)＝1， 因为A∈(0，π)，所以A＋∈(，)， 所以A＋＝，可得A＝， 所以cos B＋cos C＝cos B＋cos(π－－B) ＝cos B＋cos(－B) ＝cos B＋sin B＝sin(B＋)， 因为≤B≤，所以≤B＋≤， 所以≤sin(B＋)≤1， 即cos B＋cos C的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $