2.1.3 两角和与差的正切公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦两角和与差的正切公式这一核心知识点，从两角和与差的正弦、余弦公式推导而来，构建三角恒等变换知识脉络，为三角函数求值、化简及证明提供学习支架。 资料通过公式推导培养逻辑推理素养，例题涵盖给角求值、给值求角等类型，强化数学运算能力。课中助力教师分层教学，课后对点练帮助学生巩固公式正用、逆用及角的变换，有效查漏补缺。

2.1.3　两角和与差的正切公式 学习目标 1.能从两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系， 提升逻辑推理核心素养. 2.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算和证明等， 达到数学运算核心素养学业质量水平要求. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法， 达到逻辑推理核心素养学业质量水平要求. 知识点　两角和与差的正切公式 1.两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的关系 和角公式：将求两角和α＋β的正弦、余弦、正切公式称为和角公式. 差角公式：将求两角差α－β的正弦、余弦、正切公式称为差角公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的联系： [点拨]　公式的结构特征及符号特征如下： (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (3)重要变形： tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β). 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.(　　) (2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.(　　) (3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2.计算等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：原式＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 3.已知tan α＝2，tan β＝5，则tan(α＋β)等于(　　) A.7 B. C.－ D. 答案：C 解析：tan(α＋β)＝＝＝－. 4.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝　　　　. 答案： 解析：因为tan α＝，tan(α＋β)＝， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 学生用书⬇第54页 探究点一　给角求值问题 化简求值： (1)； (2)tan ＋tan ＋tan tan ； (3)(tan 10°－)·. 解：(1)＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－tan 30°＝－. (2)tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝. (3)方法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)· ＝· ＝· ＝－ ＝－2. 方法二：原式＝· ＝· ＝ ＝ ＝－2. 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 1.分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. 2.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 对点练1.等于(　　) A.－1 B.1 C. D.－ 答案：B 解析：原式＝＝＝1.故选B. 对点练2.tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19°的值是(　　) A. B. C.0 D.1 答案：D 解析：tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19° ＝(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝tan(11°＋19°)(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°＝tan 30°(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝×(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°＝1. 故选D. 探究点二　给值求值问题 已知tan＝，tan＝2，求： (1)tan的值； (2)tan(α＋β)的值. 解：(1)tan ＝tan ＝ ＝＝－. (2)tan(α＋β)＝tan ＝ ＝＝2－3. 给值求值问题的两种变换 1.式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值. 2.角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值. 对点练3.已知tan(α＋)＝，且－＜α＜0，则＝　　　　 . 答案：－ 解析：因为tan(α＋)＝， 所以＝， 所以tan α＝－， 又－＜α＜0， 可令α终边上一点为P(3，－1)，OP＝， 则sin α＝－， 故＝＝2sin α＝－＝－. 学生用书⬇第55页 对点练4.如图，AB是一半圆的直径，C，D为半圆周上的两个点，且AB＝5，BC＝3，BD＝2AD，则tan∠CAD的值为　　　　. 答案： 解析：由题意可知，△ADB，△ACB均为直角三角形，AB＝5，BC＝3， 则AC＝4，故tan∠CAB＝. 因为BD＝2AD，则tan∠DAB＝2， 因为∠CAD＝∠DAB－∠CAB， 则tan∠CAD＝tan(∠DAB－∠CAB) ＝＝. 探究点三　给值求角问题 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为(　　) A. B.－ C.或－ D.－或 答案：B 解析：由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4， 所以tan α＜0，tan β＜0. 所以tan(α＋β)＝＝＝. 又因为－＜α＜，－＜β＜， 且tan α＜0，tan β＜0， 所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝－. 给值求角问题的解题策略 1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内. 2.选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦、余弦、正切函数均可；若角的取值范围是，则可选正弦、正切函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数. 对点练5.已知tan α＝－2，tan β＝，α，β∈(0，π)，则α＋β＝　　　　. 答案： 解析：tan(α＋β)＝＝＝－1. 由tan α＝－2，α∈(0，π)，得α∈(，π)， 由tan β＝，β∈(0，π)，得β∈(0，)， 所以α＋β∈(，)， 所以α＋β＝. 1.若tan＝2，则tan α的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：tan＝＝2，解得tan α＝.故选A. 2.设A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根，那么△ABC是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均有可能 答案：A 解析：因为tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根， 由根与系数的关系可得到：tan A＋tan B＝与tan Atan B＝＞0， 又因为C＝π－(A＋B)， 所以tan C＝－＝－＜0， 故C为钝角，即三角形为钝角三角形. 故选A. 3.已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，则tan(θ－)＝　　　　. 答案：－ 解析：因为θ是第四象限角， 所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z， 则－＋2kπ＜θ＋＜＋2kπ，k∈Z， 又sin(θ＋)＝， 所以cos(θ＋)＝ ＝＝. 所以cos(－θ)＝sin(θ＋)＝， sin(－θ)＝cos(θ＋)＝. 则tan(θ－)＝－＝－＝－. 4.在①角α的终边经过点P(1，2)，②α∈(0，)，sin α＝，③α∈(0，)，sin α＋2cos α＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知　　　　　　，且tan(α＋β)＝4，求tan β的值. 解：若选①：角α的终边经过点P(1，2)，则tan α＝2， 则tan β＝tan(α＋β－α)＝＝＝. 若选②：α∈(0，)，sin α＝，则cos α＝＝＝，则tan α＝， 则tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝＝. 若选③：α∈(0，)，由sin α＋2cos α＝得sin α＝－2cos α＞0， 则0＜cos α＜ ，代入sin2α＋cos2α＝1， 得5cos2α－2cos α＋＝0， 即10cos2α－4cos α＋3＝0， 得cos α＝＝＝＝(舍去)或cos α＝＝， 当cos α＝时，sin α＝， 则tan α＝3， 则tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $