2.1.1 两角和与差的余弦公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦“两角和与差的三角函数”核心知识点，以两角差的余弦公式推导为起点，逐步延伸至两角和的余弦公式，通过公式结构特征分析、适用条件说明及判断正误题夯实基础，再以给角求值、给值求值、给值求角三类探究点构建从理解到应用的学习支架。 该资料突出逻辑推理与数学运算核心素养，通过公式推导过程培养学生逻辑思维，设置不同类型例题（如利用诱导公式转化非特殊角、结合三角形内角关系求三角函数值）强化运算能力。课中助力教师分层教学，课后学生可通过对点练和综合题查漏补缺，提升知识应用能力。

2.1　两角和与差的三角函数 2.1.1　两角和与差的余弦公式 学习目标 1.经历推导两角差的余弦公式的过程， 知道两角差余弦公式的意义， 提升数学抽象与逻辑推理核心素养. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系， 合理地运用两角和与差的余弦公式进行运算， 解决实际问题， 培养数学运算核心素养. 知识点　两角和与差的正弦、余弦公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的 余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的 余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β α，β∈R [点拨]　(1)公式的结构特征： (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”. (3)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 则cos(A＋B)＝－cos C，cos(A＋C)＝－cos B， cos(B＋C)＝－cos A； cos()＝sin，cos()＝sin，cos()＝sin. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°.(　　) (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立.(　　) (3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立.(　　) (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°的值为(　　) A.0 B. C. D.cos 40° 答案：B 解析：原式＝cos (50°＋10°)＝cos 60°＝. 3.cos 20°＝(　　) A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D.cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10° 答案：B 解析：因为cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B. 4.设α∈，若sin α＝，则cos等于　　　　. 答案： 解析：因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝＝. 所以cos＝ ＝cos α＋sin α＝＋＝. 学生用书⬇第48页 探究点一　给角求值问题 求值(1)cos(－15°)； (2)coscos＋cossin. 解：(1)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝. (2)coscos＋cossin ＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝. 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 1.把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解. 2.在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的余弦公式右边的形式，然后逆用公式求值. 对点练1.cos 105°＝　　　　. 答案： 解析：原式＝cos(60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝×－× ＝. 对点练2.求下列各式的值： (1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°； (2)sin 100°·sin(－160°)＋cos 200°·cos(－280°). 解：(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35° ＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝. (2)原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°) ＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80° ＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°) ＝－cos(20°－80°)＝－cos 60°＝－. 探究点二　给值求值问题 (1)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α－β)的值. (2)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值. 解：(1)因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 又β∈，cos β＝－， 所以sin β＝－＝－. 所以cos(α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. (2)因为0＜α，β＜，所以0＜α＋β＜π. 由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝＝＝. 又因为cos α＝，所以sin α＝. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. 解决三角函数的求值问题的关键点 1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时通常有两种思路： (1)着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； (2)考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式. 对点练3.若α，β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝，则cos β＝(　　) A. B. C.或 D.或 答案：B 解析：因为α是锐角，且sin α＝， 所以cos α＝＝， 因为α，β都是锐角，且cos(α＋β)＝， 所以sin(α＋β)＝＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×＋×＝.故选B. 对点练4.在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos C的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为cos B＝－＜0， 所以B为钝角，从而A为锐角， 所以cos A＝＝， sin B＝＝. cos C＝cos[π－(A＋B)] ＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B ＝－×(－)＋×＝.故选C. 学生用书⬇第49页 探究点三　给值求角问题 已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值. 解：因为α，β均为锐角， 所以cos α＝，cos β＝. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又因为sin α＞sin β，所以0＜β＜α＜， 所以0＜α－β＜. 故α－β＝. 已知三角函数值求角的解题步骤 1.确定角的范围：根据条件确定所求角的范围. 2.求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限. 3.求角：结合三角函数值及角的范围求角. 对点练5.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝　　　　. 答案： 解析：因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π). 因为cos α＝，cos (α＋β)＝－， 所以sin α＝，sin(α＋β)＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－)×＋× ＝. 因为0＜β＜，所以β＝. 对点练6.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α＜β，求α＋β的值. 解：因为cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β∈，且α＜β，所以α－β∈，2α∈(0，π)， 所以sin(α－β)＝－，sin 2α＝， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝×＋×＝－， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 1.α，β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角， 所以sin(α＋β)＝＝. 又sin α＝， 所以cos α＝＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝.故选B. 2.已知cos(α－)＋sin α＝，α∈，则cos(α＋)＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：A 解析：因为cos(α－)＋sin α＝， 所以cos α·cos＋sin α·sin＋sin α＝， 所以cos α＋sin α＝， 所以cos α＋sin α＝， 所以cos(α－)＝， 所以cos(α－π＋)＝， 所以cos＝， 所以cos(α＋)＝－.故选A. 3.已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos ＝　　　　. 答案：－ 解析：因为α，β∈， 所以α＋β∈，β－∈. 又因为sin(α＋β)＝－，sin＝， 所以cos(α＋β)＝＝， cos＝－＝－. 所以cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝×＋×＝－. 4.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－). (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值. 解：(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(－，－). 所以x＝－，y＝－， r＝｜OP｜＝＝1， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝－＝. (2)由x＝－，y＝－，r＝｜OP｜＝1， 得sin α＝－，cos α＝－， 又由sin(α＋β)＝， 得cos(α＋β)＝± ＝± ＝±， 则cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×(－)＋×(－)＝－， 或cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×(－)＋×(－)＝. 所以cos β的值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $