1.6.3 解三角形应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

1.6.3　解三角形应用举例 学习目标 1.掌握应用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本分析方法和步骤， 提升直观想象和逻辑推理核心素养. 2.能够运用正弦定理和余弦定理解三角形的知识， 解决不可到达点的距离测量问题 (包括测量长度、高度和角度等)， 提升数学建模与数学运算核心素养. 知识点一　常见题型和常见角 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①). (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②). (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 学生用书⬇第34页 知识点二　运用解三角形解决实际问题的基本步骤 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　 ) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 答案：B　 解析：灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°， ∠CAB＝∠CBA＝50°， 则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°. 3.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　) A.a km B.a km C.a km D.2a km 答案：A　 解析：在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A. 4.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为　　　　m. 答案：500(＋1) 解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°. 于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD＝45°－30°＝15°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝ ＝＝500(＋)(m). 所以在Rt△ABC中， BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m). 探究点一　测量距离问题 如图，某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100 m的楼顶A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向，且俯角为30°的C处，10 s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向，且俯角为45°的D处.(假设客车匀速行驶) (1)如果此高速路段限速80 km/h，试问该客车是否超速？ (2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向的E处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100 m，则BC＝AB tan 60°＝100 m. 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝BD＝100 m， 在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°， 则CD＝＝ ＝200(m). 所以客车的速度v＝＝20 m/s＝72 km/h， 所以该客车没有超速. (2)在Rt△DBC中，BD＝100 m，CD＝200 m， 所以∠BCD＝30°. 又∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°， 所以∠CEB＝45°. 在△BCE中，由正弦定理，可知＝， 所以EB＝＝50(m)，即此时客车距离楼房50 m. 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 对点练1.如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位 学生用书⬇第35页 于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： (1)轮船D与观测点B的距离； (2)救援船到达D点所需要的时间. (注：sin 75°＝) 解：(1)由D在A的北偏东45°，在B的北偏西60°， 所以∠DAB＝45°，∠DBA＝30°， 所以∠ADB＝105°， 由正弦定理得＝， 所以＝， 又sin 75°＝，所以BD＝10， 所以轮船D与观测点B的距离为10海里； (2)在△BCD中，BD＝10，BC＝20，∠DBC＝60°， 所以DC2＝BD2＋BC2－2BD×BC×cos 60°＝300＋1 200－2×10×20×， 所以DC2＝900，解得DC＝30， 所以t＝＝1(小时)， 所以救援船到达D点所需的时间为1小时. 对点练2.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠ACD＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为　　　　.(注：sin 15°＝) 答案：80 解析：由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°， 由正弦定理得AC＝＝ ＝40(＋). 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°， 所以∠CBD＝30°， 由正弦定理＝， 得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000. 解得AB＝80.故图中海洋蓝洞的口径为80. 探究点二　测量高度问题 在社会实践中，小明观察一棵杉树.如图，他在点A处发现杉树顶端C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现杉树顶端C的仰角大小为75°. (1)求BC的长； (2)若小明身高为1.70 m.求这棵杉树的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732且sin 75°＝). 解：(1)由题意可知∠DAC＝45°，∠DBC＝75°，AB＝4，∠ACB＝30°. 在△ABC中，根据正弦定理可得＝，解得BC＝4.故BC的长为4m. (2)由(1)知BC＝4，∠CDA＝90°， 所以CD＝BCsin 75°＝4sin 75°. 又sin 75°＝， 所以CD＝2＋2， 所以这棵杉树的高度为2＋2＋1.7≈7.16(m). 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC＝a，∠ACB＝C，AB＝a·tan C 底 部 不 可 达 点B与 C，D共 线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与 C，D不 共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 学生用书⬇第36页 对点练3.如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 解：选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高是h.那么，在△ACD中，由正弦定理，得AC＝. 所以，这座建筑物的高度为 AB＝AE＋h＝ACsin α＋h＝＋h. 探究点三　测量角度问题 岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截. (1)问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？ (2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间. 解：(1)根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10， 所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°， 在△ABC中，由＝， 得AB＝＝＝＝5. 所以海监船接到通知时，在距离岛A 5海里处. (2)设海监船航行时间为t小时， 则BD＝10t，CD＝10t， 又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°， 所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°. 所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·. 所以2t2－t－1＝0， 解得t＝1或t＝－(舍去). 所以CD＝10，所以BC＝CD， 所以∠CBD＝(180°－120°)＝30°， 所以∠ABD＝75°＋30°＝105°. 所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1小时. (或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1小时) 测量角度问题画示意图的基本步骤 对点练4.如图，在某港口A处获悉，其正东方向20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10 n mile的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船. (1)求接到救援命令时救援船与渔船的距离； (2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(注：cos 49°＝) 解：(1)连接BC，图略.在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB， 即BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700，BC＝10， 所以接到救援命令时救援船与渔船的距离为10 n mile. (2)在△ABC中，AB＝20，BC＝10，∠CAB＝120°， 由正弦定理，得＝， 即＝，所以sin∠ACB＝， 因为cos 49°＝sin 41°＝，所以∠ACB＝41°， 故救援船应沿北偏东71°的方向救援. 学生用书⬇第37页 1.小赵开车从A处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40°的方向直线行驶，30分钟后到达B处，此时，小王发来定位，显示他自己在A的南偏东70°方向的C处，且A与C的距离为15千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王，则小赵到达C处所用的时间大约为(≈2.6)(　　) A.10分钟 B.15分钟 C.20分钟 D.25分钟 答案：B 解析：根据条件可得∠BAC＝30°，AB＝20，AC＝15， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 30°＝175， 则BC＝5≈13(千米)， 由B到达C所需时间约为＝0.25(小时)＝15(分钟). 故选B. 2.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球、撞球.控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术.一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE＝30 cm，EF＝40 cm，FC＝30 cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该正方形的边长为(　　) A.40 cm B.15 cm C.20 cm D.10 cm 答案：D 解析：如图，连接 AC与EF交于点O， 由题意，点O为EF的中点， 因为EF＝40 cm，所以EO＝20 cm， 又AE＝30 cm，∠AEF＝∠CFE＝60°， 在△AEO中，由余弦定理得，AO2＝302＋202－2×30×20×＝700， 所以AO＝10，则AC＝20， 设正方形的边长为x，则x＝20， 解得x＝10(cm).故选D. 3.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝　　　　. 答案：－ 解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H. 由题中所给数据得 DF＝ ＝＝10(m)， DE＝ ＝＝100(m)， EF＝＝＝130(m). 在△DEF中，由余弦定理的推论，得 cos∠DEF＝ ＝＝－. 4.某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，∠BCD＝∠BAE＝，DE＝8 km，BC＝CD＝2 km. (1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度； ①∠CDE＝；②cos∠DBE＝. (2)在(1)条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大). 解：(1)若选①∠CDE＝， 在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝， 由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD， 则BD＝ ＝6， 因为BC＝CD，所以∠CBD＝∠CDB＝， 因为∠CDE＝，所以∠BDE＝， 在Rt△BDE中，BE＝＝＝10(km). 若选②cos∠DBE＝， 在△BDE中，BD＝6，DE＝8， 由余弦定理可得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos∠DBE， 则82＝62＋BE2－2×6×BE×， 即5BE2－36BE－140＝0， 解得BE＝10或BE＝－(舍去). 综上所述：若选①或②，服务通道BE的长度为10 km. (2)在△BAE中，∠BAE＝，BE＝10， 由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcos∠BAE， 即100＝AB2＋AE2＋AB·AE， 故(AB＋AE)2－100＝AB·AE≤()2， 从而(AB＋AE)2≤100， 即AB＋AE≤，当且仅当AB＝AE时等号成立， 故设计AB＝AE，才能使折线段赛道BAE最长. 学科网（北京）股份有限公司 $