1.5.1 数量积的定义及计算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

1.5　向量的数量积 1.5.1　数量积的定义及计算 学习目标 1.通过物理中功的实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积，提升数学抽象、数学运算的核心素养. 2.体会向量的数量积与向量投影的关系， 提升数学抽象和直观想象核心素养. 3.掌握向量数量积的性质， 并能运用性质进行相关的运算和判断， 提升逻辑推理和数学运算核心素养. 知识点一　向量的数量积 设a，b是任意两个向量，＜a，b＞是它们的夹角，则定义a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞为a与b的数量积. a·b＝0⇔a⊥b. [点拨]　数量积是两个向量之间的一种运算，其运算结果是一个数量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定.注意“·”不能省略. 知识点二　投影 　如图，作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝＋，其中与共线. 把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度｜｜＝｜｜｜cos α｜称为投影长. ｜｜cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影. 向量数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的投影｜b｜cos α的乘积，或b的长度｜b｜与a在b方向上的投影｜a｜cos α的乘积.故有｜b｜cos α＝. [点拨]　向量a在b方向上的投影向量为｜a｜cos α e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角α的余弦值决定.向量a在b方向上的投影为｜a｜cos α，可正可负可为零. 知识点三　数量积的运算律 　设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)a·(λb)＝λ(a·b)(结合律)； (3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). [点拨]　(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立. (3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，可以类比完全平方公式，平方差公式，注意“·”不能省. 知识点四　数量积的性质 性质 备注 a·e＝e·a e为单位向量 a·a＝｜a｜｜a｜＝｜a｜2，｜a｜＝ 模与向量的关系 cos＜a，b＞＝ 数量积公式的变形 a·b＝｜a｜｜b｜，则a、b同向； a·b＝－｜a｜｜b｜，则a、b反向 向量同向夹角为0；向量反向夹角为π a⊥b⇔a·b ＝0 向量夹角为，则余弦值为0 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜ 此不等式利用 ｜cos＜a，b＞｜≤1 学生用书⬇第22页 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量.(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)a，b共线⇔a·b＝｜a｜｜b｜.(　　) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) (5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2.若向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　) A. B. C.1＋ D.2 答案：A　 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝1×1×＝. 3.若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝(　　) A.1 B.－4 C.－ D. 答案：C　 解析：由已知，得e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos ＝， 所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6｜e1｜2＋2｜e2｜2＋e1·e2＝－.故选C. 4.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，设e是a同方向上的单位向量，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为　　　　. 答案：e 解析：b在a方向上的投影向量为｜b｜cos ＝e·2×＝e. 探究点一　向量的数量积和投影向量 (1)已知向量a与b满足｜a｜＝10，｜b｜＝3，且向量a与b的夹角为120°.求： ①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b). (2)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，求a在e1上的投影向量. 解：(1)①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2＝100－9＝91. ②因为｜a｜＝10，｜b｜＝3，且向量a与b的夹角为120°， 所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝200＋15－9＝206. (2)设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影向量为｜a｜cos θ ·e1＝·e1＝[(2e1－e2)·e1]e1＝e1＝e1. 1.求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求｜a｜和｜b｜； (3)求数量积，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 2.求投影向量的两种方法 (1)b在a方向上的投影向量为｜b｜cos θ·，θ为a，b的夹角，a在b方向上的投影向量为｜a｜cos θ·. (2)b在a方向上的投影向量为·，a在b方向上的投影向量为·. 对点练1.已知△ABC的外接圆的圆心为O，若＋＝2，且｜｜＝｜｜＝2，则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 答案：A　 解析：因为△ABC的外接圆的圆心为O，且＋＝2， 所以O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以∠BAC＝90°. 因为｜｜＝｜｜＝2， 所以△AOC是边长为2的等边三角形， 所以∠ACB＝60°，∠ABC＝30°， 所以｜｜＝｜｜·sin 60°＝2， 所以向量上的投影向量为｜｜cos∠ABC·＝2××＝.故选A. 学生用书⬇第23页 对点练2.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，点P是边BC上的动点，则·(＋)(　　) A.为定值16 B.为定值10 C.最大值为8 D.与P的位置有关 答案：A　 解析：取BC的中点D，则AD＝＝2， 由平行四边形法则，得＋＝2， 所以·(＋)＝2· ＝2×｜｜×｜｜cos∠PAD ＝2｜｜2＝16，故选A. 探究点二　向量的模 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝(　　) A. B.2 C.4 D.12 (2)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝60°，·＝2，则｜｜的最小值是(　　) A.4 B.2 C. D. 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)｜a＋2b｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝2. (2)因为∠A＝60°，·＝2，所以｜｜·｜｜＝4， 因为G为三角形ABC的重心，所以＝＋)， 所以｜｜2＝＋)2 ＝＋＋2·) ＝＋＋4)≥(2｜｜｜｜＋4) ＝(2×4＋4)＝， 从而｜｜的最小值是 ＝，当且仅当｜｜＝｜｜＝2时等号成立，故选D. 求向量模的一般思路及常用公式 1.求向量模的常见思路 2.常用公式 (1)(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2； (2)｜a±b｜2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 对点练3.已知向量a，b的夹角为45°，且｜a｜＝1，｜2a－b｜＝，则｜b｜＝　　　　. 答案：3 解析：因为a，b的夹角为45°，｜a｜＝1，所以a·b＝｜a｜｜b｜·cos 45°＝｜b｜，又因为｜2a－b｜＝，所以｜2a－b｜2＝4－4×｜b｜＋｜b｜2＝10，所以｜b｜＝3. 对点练4.已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝2，｜a－2b｜＝2，则向量b在a方向上的投影向量的模等于 (　　) A. B. C. D.1 答案：B　 解析：因为＜a，b＞＝60°，｜a｜＝2，｜a－2b｜＝2， 所以｜a｜2－4a·b＋4｜b｜2＝28，即4＋4｜b｜2－4｜b｜＝28，解得｜b｜＝3或－2(舍去)， 所以b在a方向上的投影向量的模等于｜b｜cos 60°＝.故选B. 探究点三　向量夹角与垂直问题 (1)已知｜a｜＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝. ①求｜b｜的值； ②求向量a－b与a＋b夹角的余弦值. (2)已知｜a｜＝4，｜b｜＝8，a与b的夹角是120°. ①求a·b的值； ②当实数k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)？ 解：(1)①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝. 因为｜a｜＝1，所以1－｜b｜2＝，所以｜b｜＝. ②因为｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2， ｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1， 所以｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝1，令a＋b与a－b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是. (2)①a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝4×8×(－)＝－16. ②当(a＋2b)⊥(ka－b)时，(a＋2b)·(ka－b)＝0， 即ka2－2b2＋(2k－1)a·b＝0， 整理得16k－128＋(2k－1)×(－16)＝0， 解得k＝－7. 故当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b). 求向量夹角的基本步骤 对点练5.已知非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：B　 解析：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝＝＝，因为0≤θ≤π，所以a与b的夹角为.故选B. 对点练6.已知平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案：D　 解析：因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝0， 所以a2－ma·b＝0，即9－m×3×2×cos 60°＝0， 所以m＝3. 对点练7.设向量a＝(x，1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：D　 解析：根据题意，设向量a－b与b的夹角为θ， 向量a＝(x，1)，b＝(1，－)， 若a⊥b，则有a·b＝x－＝0，解得x＝， 即a＝(，1)，b＝(1，－)， 则a－b＝(0，4)， 则有｜a－b｜＝4，｜b｜＝2，(a－b)·b＝a·b－b2＝－4， 则cos θ＝＝－， 又由0≤θ≤π，则θ＝，故选D. 探究点四　数量积的运算律 设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给 出以下命题： (1)a·－·b＝0； (2)·a－·b不与c垂直； 学生用书⬇第24页 (3)·＝9－4. 其中是真命题的是　　　　. 答案：(3) 解析：a·表示与向量a共线的向量，·b表示与向量b共线的向量，而a，b不共线，所以错误；由·c＝0知·a－·b与c垂直，故(2)错误；向量的线性运算符合多项式乘法法 则，所以(3)正确，所以真命题的序号是(3). 对点练8.设a，b，c均为非零向量，有下面结论： (1)a＝b⇒a·c＝b·c； (2)a·c＝b·c⇒a＝b； (3)a·＝a·b＋a·c； (4)a·＝·c. 其中正确的是　　　　. 答案：(1)(3) 解析：(1) 利用数量积定义可知是正确的； (2)a·c＝b·c⇒·c＝0，不一定有a＝b；(3) 由数量积运算的 运算律可判断是正确的；(4)a·表示与向量a共线的向量，·c表示与向量c共线的向量，a与c不一定共线， 故不正确， 所以正确的是(1)(3). 探究点五　解决几何图形问题 在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，且a·c＝b·d，则四边形ABCD的形状是　　　　 . 答案：正方形 解析：因为a＋b＋c＋d＝0，所以a＋b＝－，所以＝，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2，又a·b＝c·d，所以a2＋b2＝c2＋d2.即＋＝＋①.同理可得＋＝＋②.①－②，得＝，即＝.①变形为－＝－，再加②得＝，即＝.同理可得＝，＝，故四边形ABCD是 菱形.因为∥，所以a＝－c. 又因为a·b＝b·c，所 以b·＝0，即b·＝0，所以a·b＝0，所以⊥. 所以四边形ABCD为正方形. 对点练9.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，但 不平行，点M，N分别是AD，BC的中点，MN与BA，CD的延长线分别交于点P，Q，求证：∠APM＝∠DQM. 证明：设＝a，＝b， 因为＝＋＋，＝＋＋， 所以2＝＋＋＋(＋). 因为M，N分别为AD，BC的中点， 所以＋＝0，＋＝0， 所以2＝0＋＋＋0＝＋， 即＝. 因为AB＝CD，设＝＝k，∠APM＝θ1，∠DQM＝θ2，a与b的夹角为θ，则a与的夹角为θ1，b与的夹角为θ2. 因为·＝·a，即｜a＋b｜｜a｜cos θ1＝a2＋a·b＝＋｜a｜｜b｜cos θ， 所以｜a＋b｜·kcos θ1＝k2＋k2cos θ， 所以cos θ1＝. 同理可得cos θ2＝. 所以cos θ1＝cos θ2.又θ1，θ2∈[0，π]，所以θ1＝θ2，即∠APM＝∠DQM. 1.若｜a｜＝2，｜b｜＝4，向量a与b向量的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　) A.－3 B.－2 C.2 D.－1 答案：D　 解析：向量a在向量b方向上的投影为｜a｜cos 120°＝2×(－)＝－1.故选D. 2.若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　) A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案：C　 解析：由＋＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形.故选C. 3.给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是　　　　. 答案：④ 解析：因为当两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确. 4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O. (1)设＝x＋y，求x＋y的值； (2)若·＝6·，求的值. 解：(1)在△ABC中，D是BC的中点，BE＝2EA，AD与CE交于点O. 设＝x＋y＝x＋y(－)＝－x－y＋y＝(－x－y)＋y， 又＝，＝， 所以＝(－x－y)＋y， 所以－x－y＋y＝1，① 又＝－(x＋y)＋2y， 所以－(x＋y)＋2y＝1，② 由①②组成方程组解得 所以x＋y＝－＝－. (2)设＝m＝m(＋)， ＝＋＝＋n＝＋n(－) ＝(1－n)＋n＝＋n； 所以 所以＝＝＋)，＝－＝－＋， 所以6·＝6×＋)·(－＋)＝－＋·＋； 又·＝6·， 所以0＝－＋， 所以＝3， 所以＝. 学科网（北京）股份有限公司 $