1.1 向量-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

1.1　向　量 学习目标 1.了解向量的物理背景， 理解平面向量的基本概念， 能正确进行平面向量的几何表示， 提升直观想象核心素养. 2.掌握向量的长度 (模)、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念， 提升数学抽象核心素养. 知识点一　向量的基本要素及几何表示 名称 定义 表示方法 长度(模)及表示 有向 线段 具有方向的线段 以A 为起点、B为终点的有向线段记作 线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作｜｜ 向量 既有大小又有方向的量 ①字母表示法：用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F或，， ②有向线段表示：用有向线段表示的向量记作 向量a(或)的大小，也是向量a(或)的长度，称为a(或)的模，记作｜a｜(或｜｜) [点拨]　判断一个量是不是向量，关键看它是否具备向量的两要素：大小和方向，同时具备这两个要素的量是向量，否则就不是向量.注意：有向线段不是向量，是表示向量的一个图形工具，在平面内有向线段是固定的，因为有向线段有三要素：起点、方向和长度；而向量是可以自由平移的，因为向量有两要素：大小和方向. 知识点二　向量的相等 1.相等向量：方向相同、长度相等的向量叫作相等向量.向量a与b相等，记作a＝b. 2.相反向量：长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a. 3.零向量：如果向量a的大小｜a｜＝0，就称a是零向量，记作0.所有的零向量相等. [点拨]　(1)向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，而向量的模可以比较大小. (2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. (3)在平面上，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量. (4)规定零向量的方向是任意的，所有的零向量相等. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)0和0相同且0没有方向.(　　) (2)有向线段的三要素为起点、方向、长度.(　　) (3)如果｜｜＞｜｜，那么＞.(　　) (4)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是(　　) A.①②③是数量，④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量，①③⑤是向量 学生用书⬇第2页 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 答案：D 解析：由物理知识可知，密度、路程、质量、功只有大小，没有方向，因此是数量，而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量，故选D. 3.下列说法正确的是(　　) A.若｜a｜＞｜b｜，则a＞b B.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b C.若a≠b，则｜a｜≠｜b｜ D.若a＝b，b＝c，则a＝c 答案：D 解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向且｜a｜＝｜b｜，所以B不正确；两个向量不相等，但它们的模可以相等，所以C不正确；故选D. 4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有　　　　. 答案：， 解析：根据相等向量的定义及平行四边形的性质，与向量，. 探究点一　向量的有关概念 下列说法正确的是(　　) A.若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等且方向相同或相反 B.若｜a｜＝｜b｜，且a与b的方向相同，则a＝b C.0与0表示的含义相同 D.长度相等的向量叫作相等向量 答案：B 解析：A不正确，由｜a｜＝｜b｜只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；B正确，因为｜a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b；C不正确，0表示数量，但0表示零向量，其中｜0｜＝0；D不正确，方向相同、长度相等的向量称为相等向量. 1.判断一个量是否为向量的2个关键条件 (1)大小；(2)方向.两个条件缺一不可. 2.理解零向量应注意的问题 零向量的方向是任意的. 对点练1.(多选)下列判断不正确的是(　　) A.长度为0的向量都是零向量 B.零向量是最小的向量 C.因为｜｜＝｜｜，所以＝ D.因为｜0｜＝0，所以0＝0 答案：BCD 解析：由零向量的定义知A正确.由于向量是不能比较大小的，故B不正确.表示以A为起点，B为终点，方向从A指向B，表示以B为起点，A为终点，方向从B指向A，虽然｜｜＝｜｜，但的方向不同，故C不正确；向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向，故0≠0，D不正确，故选BCD. 探究点二　相等向量与相反向量 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量，，相等的向量，向量的相反向量. 解：与，，； 与，，； 与，，. 向量，，，. 1.相等向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的. 2.相反向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是反向的. 对点练2.在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有(　　) A.一组 B.两组 C.三组 D.四组 答案：A 解析：在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，在如题图所示的向量中，相等向量是，有一组.故选A. 探究点三　向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务. 学生用书⬇第3页 (1)作出，，； (2)求｜｜. 解：(1)根据题意，作出，，，如图所示， (2)由题意知AB∥CD，AB＝CD， 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以AD＝BC＝400 km， 所以｜｜＝400 km. 用有向线段表示向量的步骤 对点练3.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有A，B两个定点，点C为小正方形的顶点，且｜｜＝. (1)作出所有的向量； (2)求｜｜的最大值与最小值. 解：(1)作出所有的向量，如图所示. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2 时，｜｜取得最小值，为＝； ②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值，为＝. 所以｜｜的最大值为，最小值为. 1.(多选)在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　) A.与相等的向量(不含)只有一个 B.与的模相等的向量(不含)有9个 C.的模是的模的倍 D.与不相等 答案：ABC 解析：因为＝，所以与，所以A正确； 与向量的模相等的向量有： ，，，，，，，，，所以B正确； 设对角线AC与BD的交点为O， 在直角△AOD中，因为∠ADO＝30°， 所以｜｜＝｜｜，所以｜｜＝｜｜， 所以C正确； 因为＝，所以是相等向量，所以D不正确. 2.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案：C 解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1. 3.如图，四边形ABCD是菱形，则在向量，，，，和中，相等的有　　　　对. 答案：2 解析：＝，＝.其余不相等，共两对. 4.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)画出下列向量： (1)，使｜｜＝4，点A在点O北偏东45°方向； (2)，使｜｜＝4，点B在点A正东方向. 解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等. 又｜｜＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量，如图所示. (2)由于点B在点A正东方向，且｜｜＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量，如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $