课时分层评价39 随机事件的独立性-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价39　随机事件的独立性 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又独立 答案：C 解析：因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥. 2.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，故至少有1人去北京旅游的概率为1－××＝.故选B. 3.两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设P(A)＝x，P(B)＝y，因为P()P()＝，P()P(A)＝P()P(B)，所以得x＝.故选D. 4.某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2021年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意得 即m＋n＝.故选C. 5.(多选)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(　　) A.P(B)＝ B.事件B与事件A1相互独立 C.事件B与事件A2相互独立 D.A1，A2互斥 答案：AD 解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数： 因此P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，A正确； 又P(A1B)＝，因此P(A1B)≠P(A1)P(B)，B错误； 同理可以求得P(A2B)≠P(A2)P(B)，C错误； A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确， 故选AD. 6.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为　　　　　　　. 答案： 解析：记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用. 则D＝A＋BC. P(A)＝×＝，P＝2××＝，P(C)＝， P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝＋×＝. 7.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下： 满意度 评分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 合计 高一 1 3 6 6 4 20 高二 2 6 5 5 2 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 评分＜70分 70≤评分＜90 评分≥90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生的概率为　　　　. 答案：0.42 解析：由题意可得： 满意度等级 不满意 满意 非常满意 高一 4 12 4 高二 8 10 2 所以若高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级， 则有当高二年级抽到不满意时，高一要抽到满意或非常满意，当高二年级抽到满意时，高一要抽到非常满意. 所以P(A)＝×＋×＝0.42. 8.荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是　　　　. 答案： 解析：青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径.第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝. 9.(10分)某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率. 解：用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C＝(A)∪(B)，D＝C∪(AB). (1)由题意知，A与B是相互独立事件， P(B)＝1－P()＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96， 所以两件都是正品的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912. (2)由于事件AB互斥，所以恰有一件是正品的概率为 P(C)＝P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.96×0.05＋0.04×0.95 ＝0.086. (3)由于事件AB与C互斥， 所以P(D)＝P[(AB)∪C] ＝P(AB)＋P(C) ＝0.912＋0.086＝0.998. 10.(10分)排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛： (1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为 ，求甲队最后赢得整场比赛的概率； (2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为 ，乙发球时甲赢1分的概率为 ，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 x(x≤4) 个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x). 解：(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢， 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为 ＋×＝. (2)根据比赛规则，每次发球，发球队得分的概率为，接发球方得分的概率为，甲接下来可以以16∶14 或17∶15赢得比赛，故x的取值只能为2或4. 若甲、乙比分为16∶14，则x取值为2，即两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为 P(x＝2)＝×＝ ； 若甲、乙比分为17∶15，则x取值为4，即两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为 P(x＝4)＝×××＋×××＝. 11.(5分)(多选)某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.抽到某一指定号码即中奖，如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，则两次抽奖中(　　) A.都抽到某一指定号码的概率为0.05 B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95 C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095 D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5 答案：CD 解析：记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5，A错误.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P()＝P()P()＝0.95×0.95＝0.902 5，B错误； “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)∪(B)表示.由于事件AB互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095，C正确；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)∪(A)∪(B)表示.由于事件AB，AB两两互斥，据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(AB)＋P(A)＋P(B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5，D正确.故选CD. 12.(15分)某公司的录用考试有三道题目，张明和李华答对每道题目的概率都是p.每位应试者都有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则考试通过，否则就一直抽题到第三次为止.张明和李华两人对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的，并且约定两人都知道结果时一起离开考场. (1)若p＝0.8，求第二轮考试结束时，张明和李华一起离开考场的概率； (2)如果张明和李华都通过考试的概率大于0.81，求p的取值范围. 解：(1)设张明和李华第i轮考试答对的事件分别为Ai，Bi，其中i＝1，2，3， 记“第二轮考试结束时，张明和李华一起离开考场”为事件A， 则P(A)＝P(A2B1＋A1B2＋A2B2) ＝P(A2B1)＋P(A1B2)＋P(A2B2) ＝(1－p)p2＋p(1－p)p＋(1－p)2p2， 当p＝0.8时，P(A)＝. (2)记“张明和李华都通过考试”为事件B， 则P(B)＝[1－P()][1－P()]＝[1－(1－p)3]2， 即[1－(1－p)3]2＞0.81， 解得p＞1－， 所以p的取值范围是(1－，1). 学科网（北京）股份有限公司 $