课时分层评价8 数量积的坐标表示及其计算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价8　数量积的坐标表示及其计算 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.已知O为坐标原点，＝(－2，1)，＝(0，2)且∥，BC⊥AB，则点C的坐标是(　　) A.(2，6) B.(－2，－6) C.(2，－6) D.(－2，6) 答案：D　 解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2，1) ，因为∥，所以2(x＋2)＝0①.因为BC⊥AB，所以2x＋y－2＝0②.由①②可得所以C(－2，6).故选D. 2.若a＝(2，3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为(　　) A.(3，2) B. C.或 D.以上都不对 答案：C　 解析：设单位向量坐标为(x，y)，则 解得：故选C. 3.已知a＝(－5，5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C.π D.π 答案：D　 解析：因为｜a｜＝5，｜b｜＝3，a·b＝－15， 所以cos ＜a，b＞＝＝＝－， 又因为a与b的夹角范围为[0，π]， 所以a与b的夹角为π.故选D. 4.如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，＝2，则·的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， 所以D(0，0)，A(0，2)，B(2，2)，C(2，0)，E(2，1)， 因为＝2， 所以＝，所以F(，0)， 所以＝(2，－1)，＝(－，－2)， 所以·＝－＋2＝，故选A. 5.已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，当·取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：C　 解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，O(，1)， 设点P(x，0)，x∈[0，2]，向量的夹角为θ， 可得·＝(－x，0)·(－x，1)＝－x(－x)＝x2－x＝(x－)2－， 故当x＝时，·取最小值为－， 此时，｜｜＝，｜｜＝， 则cos θ＝＝＝－， 故选C. 6.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝，E为BC中点，若·＝3，则·＝　　　　. 答案：－3 解析：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系， 因为AB＝3，AD＝，E为BC中点， 所以A(0，0)，B(3，0)，D(0，)， 设C(x，)， 所以＝(3，0)，＝(x，)， 因为·＝3， 所以3x＝3， 解得x＝1， 所以C(1，)， 因为E为BC中点， 所以E(，)，即为(2，)， 所以＝(2，)，＝(－2，)， 所以·＝2×(－2)＋×＝－4＋1＝－3. 7.若{α，β}是一个基，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基{α，β}下的坐标.现已知p＝(1，－1)，q＝(2，1)，m＝(－1，1)，n＝(1，2)，向量a在基{p，q}下的坐标为(－2，2)，则a在基{m，n}下的坐标为　　　　　　. 答案：(0，2) 解析：因为a在基{p，q}下的坐标为(－2，2)， 所以a＝－2p＋2q＝(2，4). 设a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)(x，y∈R)， 则所以a在基{m，n}下的坐标为(0，2). 8.已知⊥，｜｜＝，｜｜＝t，若点P是△ABC所在平面内一点，＝＋，则· 的最大值等于　　　　. 答案：13 解析：由题意建立如图所示的坐标系， 可得A(0，0)，B(，0)，C(0，t)， 因为＝＋， 所以P(1，4)， 所以＝(－1，－4)，＝(－1，t－4)， 所以·＝－(－1)－4(t－4) ＝17－(＋4t)， 由基本不等式可得＋4t≥2＝4， 所以17－(＋4t)≤17－4＝13， 当且仅当＝4t，即t＝时取等号， 所以·的最大值为13. 9.(15分)已知a＝(3，2)，b＝(1，－1). (1)求a·b，｜a｜，｜b｜及a与b的夹角θ的余弦值； (2)求(a－b)·(2a＋b). 解：(1)a·b＝3×1＋2×(－1)＝1，｜a｜＝＝，｜b｜＝＝，cos θ＝＝＝. (2)方法一：(a－b)·(2a＋b)＝2a2－a·b－b2＝2×13－1－2＝23. 方法二：由已知条件知，a－b＝(2，3)， 2a＋b＝(7，3)， 所以(a－b)·(2a＋b)＝2×7＋3×3＝23. 10.(15分)在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝6，AD＝CD＝3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD. (1)求·的值； (2)若N为线段AC上任意一点，求·的取值范围. 解：(1)因为∠DAB＝90°， 所以以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如图： 因为AB∥CD，AB＝6，AD＝CD＝3， 所以A(0，0)，B(6，0)，C(3，3)，D(0，3). 又因为对角线AC交BD于点O， 所以由＝t＝(3t，3t)，即O(3t，3t)， 因此＝(3t，3t－3)，＝(6，－3)， 而∥，所以－3×3t－6×(3t－3)＝0，解得t＝， 因此O(2，2). 又因为点M在AB上，所以设M(m，0)， 因此＝(m－2，－2)，＝(－6，3)， 而OM⊥BD，所以·＝－6(m－2)－6＝0， 解得m＝1，即M(1，0)， 因此＝(1，0)，而＝(－6，3)， 所以·＝－6， 即·的值为－6. (2)因为N为线段AC上任意一点， 所以由(1)知：可设N(n，n)(0≤n≤3)(包括端点)， 因此＝(n，n)，＝(n－1，n)， 所以·＝n(n－1)＋n2＝2n2－n. 因为函数y＝2n2－n的图象开口向上，对称轴为n＝， 所以当n＝时，ymin＝－，当n＝3时，ymax＝15， 所以函数y＝2n2－n的值域为， 即·. (11、12每小题5分，共10分) 11.已知向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n(m＞0，n＞0)，若m＋n＝1，则｜｜的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：C　 解析：向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n＝(3m＋n，m－3n)， 因为m＋n＝1， 所以＝(3m＋n，m－3n)＝(2m＋1，4m－3)， 则｜｜＝ ＝＝， 则当m＝时，｜｜的最小值为，故选C. 12.设向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则｜c｜的最小值是(　　) A. B. C. D.1 答案：B　 解析：以向量a，b的角平分线所在的直线为x轴，建立坐标系，使得a，b的坐标分别为，，设c的坐标为(x，y)， 因为(a－c)·(b－c)＝0， 所以·＝0， 化简得＋y2＝， 表示以点为圆心，为半径的圆， 则｜c｜的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为－.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $