专题 20.1（1） 勾股定理及其应用（知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲

专题 20.1（1） 勾股定理及其应用（知识梳理 + 题型精析 +真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】勾股定理 1 ★【题型 1】勾股定理的证明 1 ★【题型 2】通过勾股定理直接求直角三角形的第三边 7 ★【题型 3】利用勾股定理建立方程求线段的长 9 【知识点二】勾股定理与两点之间距离 13 ★★【题型 4】勾股定理与两点之间距离 13 【知识点三】勾股定理与弦图问题 16 ★★【题型 5】勾股定理与弦图问题 16 ★★【题型 6】勾股定理与网格问题 19 ★★【题型 7】勾股定理与折叠问题 23 ★★【题型 8】勾股定理与线段的平方关系 27 ★★【题型 9】勾股定理与无理数 32 ★★【题型 10】构造直角三角形通过勾股定理解决问题 35 二.中考真题 40 （一）单选题（5题） 40 （二）填空题（5题） 45 （三）解答题（4题） 50 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 【知识点一】勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为斜边长为，那么 ★【题型 1】勾股定理的证明 方法一、面积法思路：用两种不同方式计算同一个图形的面积，令面积相等，列出等式，化简得到 【例题1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 【变式】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证． 证明：连接， 由图形可知， 则 ． ∴． 方法二、 赵爽弦图思路（中考最常考）：用4个全等直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形。整体面积：大正方形面积 = 拆分面积：4个三角形面积+中间小正方形面积，化简得定理。 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意得到是解题的关键．先根据题意得到图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为c，再根据面积之间的关系得到，即可推出． 解：由题意得，图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为， ∵图（2）中，两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解决本题的关键是根据题意得到等量关系． （1）根据题意即可完成填空； （2）根据题意，由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． （1）证明：正方形①的面积， 正方形②的面积， 又正方形①与正方形②的边长相等， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积， ， 即． 方法三、 总统证法（直角梯形）思路：用2个直角三角形+ 1个等腰直角三角形 拼成直角梯形。 梯形面积公式算一次。三个三角形面积加起来算一次。两式相等化简直接得证。 【例题3】（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法： （1）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可； （2）根据梯形的面积公式以及梯形的面积等于三个直角三角形的面积进行求解即可 ； （3）根据（2）中两种表示方法表示的面积相等列式证明即可． （1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：根据梯形面积公式可得梯形面积为； 根据梯形面积等于三个直角三角形的面积可得梯形面积为， 故答案为：，； （3）证明：∵（2）中两种表示方法表示的梯形面积相等， ∴， ∴， ∴． 【变式】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再作，交的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理的证明解答即可． 证明：， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是梯形， 梯形中，，， ， 等腰直角三角形中，， ， ，， ， ， ． ★【题型 2】通过勾股定理直接求直角三角形的第三边 直角三角形三边关系：勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.已知直角三角形任意两边，通过勾股定理中勾股定理的变形直接求出第三边。 【例题4】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在等边三角形中，，请你建立适当的平面直角坐标系，并直接写出各个顶点的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 以A为原点建立直角坐标系，进而求出各点的坐标． 解：如图，以边所在直线为x轴，以边的中垂线为y轴建立直角坐标系， 则，， 所以，顶点A，B，C的坐标分别为． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长，题目未明确已知两边是直角边还是斜边． 解：∵直角三角形的两边长分别为3和4 当3和4为两条直角边时 由勾股定理得，第三边长为； 当4为斜边，3为直角边时 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为5或， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形（），如图，钢架的长为13米，中柱（D为的中点）的长为5米，则的长为 米． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，勾股定理． 根据等腰三角形三线合一得到，，根据勾股定理求出米，即可求出的长． 解：∵，D为的中点， ∴，， ∵钢架的长为13米，中柱的长为5米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路（如图），已知，，则游客走小路少走了多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理求出，然后计算与的差即可． 解：∵是长方形的一角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 答：游客走小路少走了2米． ★【题型 3】利用勾股定理建立方程求线段的长 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 【例题5】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 解：设，则， 中，， ， 解得：， 则． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（   ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设秋千的绳子的长度为米，则米，进而得到米，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 解：根据题意得：米、米， 设秋千的绳子的长度为米，则米， 四边形是矩形， 米、米， 米， 米， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，将沿边向右平移得到．若，，，恰为的中点，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，平移的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得，可设，则，根据勾股定理即可求出的长度，然后根据平移的性质结合中点的定义、线段和差关系即可得到平移的距离． 解：在中，，，， ， 设，则， 由勾股定理得， 解得：，， 由平移的性质可得：， 恰为的中点， , ，即平移的距离为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)作的平分线交于点D，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握勾股定理，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到关于的方程． （1）由勾股定理求出； （2）过D作于H，由角平分线的性质推出，由勾股定理得到，即可求出的长． （1）解：， ． ，， ． （2）解：过点D作，E为垂足． 平分， ． 又，， ． ． 设，则，，． 在中，， ． ． 解得， 即的长为． 【知识点二】勾股定理与两点之间距离 在平面直角坐标系中，点A（），点B（），那么 ★★【题型 4】勾股定理与两点之间距离 【例题4】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连接，将线段先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到线段，且点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请直接写出点和点的坐标． (2)连接，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了点的平移，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握点的坐标平移规律以及两点间距离公式． （1）根据点的坐标平移规律：左“－”右“＋”，上“＋”下“－”，即可确定平移后点的坐标； （2）根据两点之间距离公式即可求解． （1）解：∵点的坐标为，点的坐标为，连接，将线段先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到线段，且点的对应点为点，点的对应点为点 ∴，，即，； （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴ 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理求两点坐标；根据题意作关于轴的对称点，则这束光从点到点所经过的路径的长为，进而勾股定理，即可求解． 解：如图所示，作关于轴的对称点，则， ∴这束光从点到点所经过的路径的长为 ∵，， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）已知点，，则线段的长为 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式：已知在平面直角坐标系中有两点，则这两点间的距离公式为，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可得． 解：∵点，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，是边上的中线，求： (1)点C的坐标； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中点坐标，用勾股定理解三角形，已知两点坐标求两点距离等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用线段中点求出点C的坐标； （2）利用勾股定理求得的长． （1）解：∵在中，点B的坐标为，是边上的中线， ∴点C的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴． 【知识点三】勾股定理与弦图问题 ★★【题型 5】勾股定理与弦图问题 弦图定义：用4 个全等的直角三角形，围绕拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形，利用面积关系和勾股定理求解边长、面积、线段和差等问题，统称为弦图问题。 【例题5】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】（1）44；（2）2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解二元一次方程组． （1）设直角三角形的两直角边为，斜边为．根据题意以及勾股定理可得，根据小正方形的面积是4，得出，即可求解． （2）根据题意得出，，即可求解． 解：（1）如图，设直角三角形的两直角边为，斜边为． ∵图1中大正方形的面积是24， ． ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积为． （2）把代入得 ， ，得． 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期末）小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果． 解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为，长直角边为， 根据图2，正中心正方形的边长， ∴． ∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即， ∴， 即，解得，则． 观察火箭图案可知，火箭的高度； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查赵爽弦图的性质，勾股定理，结合弦图结构推导边长是解题关键． 设，利用是中点的条件求出和，再根据勾股定理求出，进而求出大正方形面积和小正方形面积，最终算出面积比． 解：设， ∵点为的中点， ∴， 是直角三角形， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积与正方形的面积之比为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． （1）解：根据题意，得， ， 则，即； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， ∴该飞镖状图案的面积是． ★★【题型 6】勾股定理与网格问题 在正方形网格中，利用格点（横线与竖线的交点），求线段长、图形面积、判断直角、最短路径等，统一用勾股定理解决的题型。 【例题6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出线段的长度即可； （2）根据等腰三角形的三线合一，作出的角平分线即可． （1）解：， 即线段的长度为5． （2）解：取的中点D，连接，则即为的角平分线． 根据图形可得：， ∴， ∵， ∴平分． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先确定的长度，再利用“以为圆心，为半径画弧”可知，接着结合网格确定的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算的长度． 解：如图，连接， 由网格图可知：， ∵以为圆心，为半径画弧， ∴． 在中， ． ∴． 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 解：如图，作， 由勾股定理得， ∵， ， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上． (1)过点C作，且，画出线段； (2)在（1）的条件下，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作平行线，平行线的判定，以及角平分线的定义． （1）取格点D，连接，则线段即为所求； （2）由（1）得，可证平分． （1）解：如图，线段即为所求， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴平分． ★★【题型 7】勾股定理与折叠问题 解题思路：先利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质标出相等线段，再在图中找到三边都能用已知量或未知数表示的直角三角形，设未知数后根据勾股定理列出方程，解方程即可求出线段长度。 【例题7】（25-26七年级上·全国·期末）如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． (1)尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心作交 于点M ，连接，再根据角平分线的作法作的角平分线即可； （2）连接，由折叠可得，，在 中根据勾股定理求出，设，在 中再结合勾股定理解题即可． （1）解：如图： 作图步骤： ①以点为圆心，为半径画弧交于点； ②以点为圆心，小于的长为半径画弧交于点，交于点； ③分别以点、为圆心，大于长为半径画弧交于点； ④连接并延长交于点； （2）解：连接，由折叠可得，， 在 中，， ∴， 设，则， 在 中，， 即 ， 解得， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 解：在中，，，， ∴， ∵将进行折叠，使顶点重合， ∴，， 设，在中，， ∴， 解得：， 则， ∴在中，， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，则可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）过点作于点，先利用勾股定理可得，再设，则，在中，利用勾股定理可得的值，则可得的长，然后根据折叠的性质可得，根据求解即可得． （1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴． ★★【题型 8】勾股定理与线段的平方关系 类型：线段的平方和、平方差、平方相等关系等，优先用勾股定理解决，这类题统称为线段平方关系问题。 【例题8】（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 【答案】(1)①垂直平分线的性质；②等边对等角 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可以证明结论成立； 根据小民的证明方法，根据勾股定理得出，根据平方差公式结合已知，即可到结论成立． （1）证明：∵，， ∴（依据：垂直平分线的性质） ∴（依据：等边对等角） （2）解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 小民的证明方法 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得 ∴ ∴ ∵① ∴② ①+②得，，即 ∴． 【变式1】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 【变式3】（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了三线合一、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握各个性质是解题的关键． 先连接，根据三线合一，得出，证明，再通过边相等和全等性质推出，得出，推出，最后根据勾股定理和等量代换求解即可． 解：证明：连接， ∵，于点， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵与交于点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， 又∵， ∴，即， ∴． ★★【题型 9】勾股定理与无理数 解题思路：在数轴上构造直角三角形，利用勾股定理得到斜边为无理数，再用圆规把斜边长度 “搬” 到数轴上。 【例题9】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)< (3)作图见详解，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，实数的大小比较及无理数在数轴上的几何作图． （1）先求的长度，再利用“圆的半径相等”确定的长度，最后结合数轴位置确定数； （2）利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”，把两个数转化为“负的平方根”形式，再比较被开方数； （3）构造直角边平方和为10的直角三角形，利用勾股定理得到斜边为，再以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴的点即为对应的点． （1）解：∵，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴， 故答案为：<． （3）解：如图所示为所求： 理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使， 在中，， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点F，此时， ∴点F即为对应的点． 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意得出，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：∵在数轴上A、B两点所表示的数是，， ∴， ∵与数轴垂直，且， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 【答案】(1)； (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． （1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． ★★【题型 10】构造直角三角形通过勾股定理解决问题 解题思路：作辅助线：构造直角三角形常用做法：（1）过一点作垂线（高）；（2）作水平、竖直线段（网格题）；（3）作等腰三角形底边上的高. 解题过程：（1）设未知数把未知线段或公共线段设为 x；（2）用勾股定理列方程对构造出的直角三角形写：直角边直角边斜边；（3）解方程：化简得出结论求长度、证平方关系、算面积等。 口诀：无直角，作垂线；构直角，列勾股；设未知，解方程。 【例题10】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． （1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理，运用化曲为直的转化思想．解题关键是将圆柱侧面展开为矩形，明确彩带路径在展开图中是直角三角形的斜边，需准确计算水平和竖直方向的直角边长度；易错点是忽略“缠绕2圈”对水平长度的影响，导致水平边长计算错误． 首先把圆柱侧面沿高展开成矩形，确定彩带缠绕2圈后，水平方向长度为底面周长的2倍（米），竖直方向长度为圆柱的高（4米）．其次此时彩带的最短路径为展开图中直角三角形的斜边，根据勾股定理计算斜边长度：米．最后对比选项，得出答案为C． 解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中： 水平直角边：3米， 竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为： 米． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． （1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 5．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． （二）填空题（5题） 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键根据直角三角形的性质，我们需要分情况讨论哪个角是直角，从而求出的长度． 解：在中，当，如图 ， ． ，， ， 解得或（舍去）； 在中，当， ，， ． 故答案为∶2或． 7．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    8．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 9．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 10．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． （三）解答题（4题） 11．（2024·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，即可得到结果． 证明：如图，每个小正方形的边长均为1， 在和中， ∵，， ∴， 同理可得：，， 在和中， ∴≌， ∴． 12．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为1或． 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 （1）解：如图， 直线就是所求作的直线． （2）①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述，的面积为1或． 13．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． （1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 14．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.1（1） 勾股定理及其应用（知识梳理 + 题型精析 +真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】勾股定理 1 ★【题型 1】勾股定理的证明 1 ★【题型 2】通过勾股定理直接求直角三角形的第三边 4 ★【题型 3】利用勾股定理建立方程求线段的长 5 【知识点二】勾股定理与两点之间距离 6 ★★【题型 4】勾股定理与两点之间距离 6 【知识点三】勾股定理与弦图问题 7 ★★【题型 5】勾股定理与弦图问题 7 ★★【题型 6】勾股定理与网格问题 9 ★★【题型 7】勾股定理与折叠问题 10 ★★【题型 8】勾股定理与线段的平方关系 11 ★★【题型 9】勾股定理与无理数 13 ★★【题型 10】构造直角三角形通过勾股定理解决问题 14 二.中考真题 15 （一）单选题（5题） 15 （二）填空题（5题） 17 （三）解答题（4题） 18 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 【知识点一】勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为斜边长为，那么 ★【题型 1】勾股定理的证明 方法一、面积法思路：用两种不同方式计算同一个图形的面积，令面积相等，列出等式，化简得到 【例题1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【变式】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 方法二、 赵爽弦图思路（中考最常考）：用4个全等直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形。整体面积：大正方形面积 = 拆分面积：4个三角形面积+中间小正方形面积，化简得定理。 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 方法三、 总统证法（直角梯形）思路：用2个直角三角形+ 1个等腰直角三角形 拼成直角梯形。 梯形面积公式算一次。三个三角形面积加起来算一次。两式相等化简直接得证。 【例题3】（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【变式】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再作，交的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理． ★【题型 2】通过勾股定理直接求直角三角形的第三边 直角三角形三边关系：勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.已知直角三角形任意两边，通过勾股定理中勾股定理的变形直接求出第三边。 【例题4】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在等边三角形中，，请你建立适当的平面直角坐标系，并直接写出各个顶点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形（），如图，钢架的长为13米，中柱（D为的中点）的长为5米，则的长为 米． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路（如图），已知，，则游客走小路少走了多少米？ ★【题型 3】利用勾股定理建立方程求线段的长 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 【例题5】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．求的长． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（   ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，将沿边向右平移得到．若，，，恰为的中点，则平移的距离为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)作的平分线交于点D，求的长． 【知识点二】勾股定理与两点之间距离 在平面直角坐标系中，点A（），点B（），那么 ★★【题型 4】勾股定理与两点之间距离 【例题4】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连接，将线段先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到线段，且点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请直接写出点和点的坐标． (2)连接，求线段的长． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）已知点，，则线段的长为 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，是边上的中线，求： (1)点C的坐标； (2)的长． 【知识点三】勾股定理与弦图问题 ★★【题型 5】勾股定理与弦图问题 弦图定义：用4 个全等的直角三角形，围绕拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形，利用面积关系和勾股定理求解边长、面积、线段和差等问题，统称为弦图问题。 【例题5】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期末）小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． ★★【题型 6】勾股定理与网格问题 在正方形网格中，利用格点（横线与竖线的交点），求线段长、图形面积、判断直角、最短路径等，统一用勾股定理解决的题型。 【例题6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上． (1)过点C作，且，画出线段； (2)在（1）的条件下，求证：平分． ★★【题型 7】勾股定理与折叠问题 解题思路：先利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质标出相等线段，再在图中找到三边都能用已知量或未知数表示的直角三角形，设未知数后根据勾股定理列出方程，解方程即可求出线段长度。 【例题7】（25-26七年级上·全国·期末）如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． (1)尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求 的长． 【变式1】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求和的长． ★★【题型 8】勾股定理与线段的平方关系 类型：线段的平方和、平方差、平方相等关系等，优先用勾股定理解决，这类题统称为线段平方关系问题。 【例题8】（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 【变式1】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式2】（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． ★★【题型 9】勾股定理与无理数 解题思路：在数轴上构造直角三角形，利用勾股定理得到斜边为无理数，再用圆规把斜边长度 “搬” 到数轴上。 【例题9】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 ★★【题型 10】构造直角三角形通过勾股定理解决问题 解题思路：作辅助线：构造直角三角形常用做法：（1）过一点作垂线（高）；（2）作水平、竖直线段（网格题）；（3）作等腰三角形底边上的高. 解题过程：（1）设未知数把未知线段或公共线段设为 x；（2）用勾股定理列方程对构造出的直角三角形写：直角边直角边斜边；（3）解方程：化简得出结论求长度、证平方关系、算面积等。 口诀：无直角，作垂线；构直角，列勾股；设未知，解方程. 【例题10】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 2．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 （二）填空题（5题） 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）是直角三角形，，，则的长为 ． 7．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    8．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 9．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 10．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． （三）解答题（4题） 11．（2024·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 12．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 13．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 14．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $