专题 8.6 实数及其简单运算（专项练习）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.6 实数及其简单运算（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·月考）估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 4．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 6．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）对于的叙述，下列说法正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比大 D．它的相反数为 7．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河南郑州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（24-25九年级上·福建莆田·月考）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算 ． 13．（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则 ．（填“”“”或“”） 14．（25-26七年级下·全国·周测）若，且是无理数，则可以是 （写出一种情况即可）． 15．（24-25七年级下·全国·周测）已知，则实数x的值为 ． 16．（25-26九年级上·广东茂名·期末）一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为 ． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ． 18．（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) (2) 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·上海·月考）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江金华·期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． (1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． (2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·重庆万州·月考）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·全国·月考）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.6 实数及其简单运算（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 解：， 由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数， 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、整式的加减、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，，，再比较与的大小，由此即可得． 解：由数轴可知，，， ∴，，，， ， ∴， ∴在这四个代数式中，结果最小的是， 故选：C． 3．（25-26九年级上·重庆·月考）估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数取值范围的估计，判断无理数在有理数之间的范围是解题的关键．首先通过估算的近似值，再确定的范围即可． 解：∵， ∴， ∴，则， ∴估计的值应在6到7之间． 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键． 先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到x、y的值，然后代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数． 解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 6．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）对于的叙述，下列说法正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比大 D．它的相反数为 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 解：、数轴上的点与实数一一对应，是实数，可以用数轴上的点表示，原选项说法错误； 、是有理数，是无理数，有理数与无理数的和为无理数，故是无理数，原选项说法正确； 、∵， ∴，原选项说法错误； 、 的相反数为，原选项说法错误； 故选：． 7．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 8．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点是的中点得，设点表示的数是，列方程求解即可；本题主要考查了线段中点，数轴，实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的法则是解题的关键． 解：∵点是的中点， ∴， 设点表示的数是， 则， 解得， 则点表示的数是， 故选：C． 9．（25-26八年级上·河南郑州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据三边长计算半周长P，再代入公式求面积S，最后估算S的范围确定n的值． 本题考查秦九韶公式的应用和无理数的估算，熟练掌握估算是解题的关键． 解：∵ 三角形的三边长分别为2, 4, 4， ∴， ∴， ∵ ，， ∴ ， ∴， 又， 故． 故选：C． 10．（24-25九年级上·福建莆田·月考）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数，绝对值的性质，掌握绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的性质，化简等式，得到，从而求出的值． 解：，且， ∴原等式可化为． 解得： ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，无理数的大小比较，解题的关键是掌握以上性质． 比较与3的大小，可知，因此绝对值化简为． 解：∵，即， ∴， 故答案为：． 13．（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 14．（25-26七年级下·全国·周测）若，且是无理数，则可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 解：， 故答案为： （答案不唯一）． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，解题的关键是用有理数夹逼无理数． 15．（24-25七年级下·全国·周测）已知，则实数x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的计算，绝对值方程的解法，掌握若，则或是解题的关键． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 解：由绝对值的性质，可得 或． 解这两个方程，得或． 故答案为：或． 16．（25-26九年级上·广东茂名·期末）一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了立方根的定义，无理数的值的估算，熟练掌握立方根的定义与无理数的值的估算是解题的关键． 根据正方体体积公式，棱长x满足，估算的值介于4和5之间即可求解． 解：∵正方体的体积公式为， ∴， 解得， ∵， ∴，即，， ∴． 故答案为：9． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ． 【答案】/ 【分析】知识点：数轴两点间距离公式．方法：根据点的位置确定距离表达式，列等式求解．关键：正确判断距离的符号（大数减小数）．易错点：距离表达式符号错误（忽略的条件）． 首先用数轴距离公式表示和；再由列等式，解出a． 由数轴上两点间距离公式，（因），． 已知，故： 解得： ． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及实数的绝对值，乘方，算术平方根及立方根等知识与运算，熟练进行运算是解题的关键； （1）先计算绝对值，再进行加减运算即可； （2）分别计算乘方，平方根与立方根，再进行加减乘的运算即可． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·上海·月考）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 综上所述：的值为或1． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． （1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江金华·期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． (1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． (2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1)阴影正方形的面积为，它的边长为 (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据大正方形的面积减去4个小三角形的面积，即可求得阴影正方形的面积，根据算术平方根求得它的边长； （2）先得出边长为的小正方形的对角线长为，再在数轴上构造边长为的正方形，即可求解． （1）解：阴影正方形的面积为 它的边长为； （2）解：如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ∴大正方形的面积为，则小正方形的对角线长为， 如图，画边长为的正方形，则边长为的小正方形的对角线长为， ∴点即为所求， 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·重庆万州·月考）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． （1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·全国·月考）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 【答案】（1）①  ②  （答案不唯一） （2）  2 （3）或 【分析】（1）① 根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”满足，求的另一个整数解； ② 同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于； （2）“平方和数” 为，意味着两个数的平方和为，根据平方的非负性，这两个数必须都为，从而列方程求解； （3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解一元二次方程得到的值． （1）解：（1）①∵， ∴数，的另一个“平方和数”为． ②∵，且， ∴还可以是数，的“平方和数”． （2）解：（2）由题意得 ∵平方数具有非负性， ∴， 要使两个非负数的和为，必须两个数都为： 解得 ：，． （3）解：（3）根据题意，得 当时，； 当时，． ∴或． 【点睛】本题考查了平方和数的定义、平方的非负性、解一元二次方程．解题关键是准确理解“平方和数”的定义，利用平方的非负性和方程思想求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $