专题 2.7 一元二次方程的解法（专项练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.7 一元二次方程的解法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）方程的根是（   ）． A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先移项，再运用因式分解法解一元二次方程即可． 解：， ， ， 或， 解得：，， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程由根的情况求参数，基于平方数的非负性，方程左边恒大于等于零，因此当a小于零时方程无实数根.． 解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程： 配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，关键是熟练应用知识点解题；利用时方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可求解. 解：选项A： ∵，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B： ∵，，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项C： ∵，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D： ∵，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·上海·期末）下列方程一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查常见方程有无实数根的判断，根据一元二次方程和分式方程的求解过程判断即可． A、原方程为一元二次方程，根的判别式，原方程无实数根，该选项不符合题意； B、原方程为分式方程，变形为整式方程为，变形得，原方程无实数根，该选项不符合题意； C、原方程为分式方程，变形为整式方程为，但为原方程的增根，原方程无实数根，该选项不符合题意； D、原方程解得，为实数根，该选项符合题意． 故选：D 6．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 8．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是同时满足“一元二次方程”的定义和“有实数根”的判别式条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再由根的判别式列不等式，联立求解的取值范围． 解：∵方程是一元二次方程， ∴，即； ∵方程有实数根， ∴， 即， 化简得． 综上，且． 故选：D． 9．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出，对各个图象进行判断即可． 解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 解得， A．由函数图象可得，，即，故A不正确； B．由函数图象可得，，即，故B正确； C．由函数图象可得，，即，故C不正确； D．由函数图象可得，，即，故D不正确． 故选：B． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，求代数式的值，掌握新概念的含义是关键； 根据“倍根方程”的定义，设方程的两个根为和（），将方程表示为 ，展开后与原方程比较系数，得到关于的方程，解出的值，再代入关系式求，最后计算代数式的值． 解：∵方程 是“倍根方程”， ∴设两根为和 （）， 则方程可写为，即， 与原方程比较系数得： ①， ，即②， 将②代入①得：， 两边除以（）：， 即，解得或． ， 当时，由 ②得，此时， ∴． 当 时，由 (2) 得，此时， ∴. 综上，代数式的值为或. 故选 B. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·广东清远·模拟预测）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 12．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，从而确定参数a和b的值，再计算它们的和可得答案． 解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，得到高的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质求解即可． 解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 14．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为 ； 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤． 按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可． 解：对于一元二次方程 （其中 ）， 移项得，， 系数化为1得，， 两边加上 得，， 则， 开平方得，， 移项得，， 故答案为： ． 15．（25-26九年级上·广东潮州·期中）若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了换元法解方程及非负数的性质，解题的关键是通过换元将方程转化为一元二次方程，再结合的非负性求解． 解：设（），则原方程化为， 因式分解得， 解得或， 又，故，即． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴判断正负． 先求出根的判别式，再结合数轴作答即可． 解：∵， ∴， 由数轴可知， ∴， 即关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 17．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，由方程可得或，即得或，进而根据是方程的一个根即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 解：∵， ∴或， ∴或，即， ∵是关于的方程的一个根，为有理数， ∴，的一个值是， ∴是方程的另外一个根， ∴该方程的另外两个根分别是和， 故答案为：，． 18．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）某建筑公司购进77根装饰用的罗马柱，每根罗马柱可近似地看作底面直径为的圆柱体，现需将这批装饰用的罗马柱按如图方式进行堆放（第一排放2根，第二排放3根，第三排放4根……以此类推），为避免雨水浸湿，计划在罗马柱上方搭建遮雨棚，则遮雨棚的高度至少为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探究，解一元二次方程，等边三角形的性质，勾股定理．设有排，根据题意可得第排，有根，根据总数为，建立方程，解方程，进而求得层数，进而求得遮雨棚的高度． 解：设有排，根据题意可得第排，有根， ∴ 解得：或（不合题意舍去） 如图， 依题意，是等边三角形，， ∴， ∴2层的高度为， 3层的高度为，……， 因此遮雨棚的高度至少为： 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广西河池·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开方法，因式分解法是关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． （1）解：， 移项，得， 直接开方，得， 解得，； （2）解：， 因式分解，得， 解得，． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级下·辽宁大连·月考）计算或解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练计算是解题的关键． （1）先完全平方公式和平方差公式进行化简，再加减即可； （2）利用公式法即可解答． （1）解： ； （2）解：， 可得，，， ， ． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·云南曲靖·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1) (2), 【分析】本题主要考查了根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）代入，再利用因式分解法解该方程即可得出结果． （1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：． （2）解：当时，原方程为： ∴ 解得 ，． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式来判断即可； （2）根据题意分两种情况讨论：当腰为5时和当底为5时，然后分别求出符合条件的，即可求出周长． （1）证明：∵ ∴ ∴无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为5时，5为方程的解， 把代入，得， 得， ∴ 或 解得， ∴方程的另外一个解为， ∴此时三角形三边长为3，5，5 ∵，符合题意， 此时三角形的周长； 当底为5时， ∵另两边恰好是这个方程的两根， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ 此时方程的解为， ∴此时三角形三边长为3，3，5 ∵，符合题意， ∴三角形的周长． 综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【答案】（1）原方程的解为，，，；（2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，点是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴，y轴分别交于点，，直线经过点B和点并与x轴交于点C． (1)求直线和的表达式及点C的坐标． (2)当点P在的内部（包含边界）时， ①求a的取值范围； ②是否存在点P，使得？ 若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为，． (2)①；②存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线和的表达式，进而可求得点C的坐标； （2）①求出当时两个函数的函数值，分两种情况：当点P位于内部（包含边界）时，则点P的纵坐标为非负数且应不小于时直线的函数值；当点P位于内部（包含边界）时，则点P的纵坐标为非负数且应不小于时直线的函数值；综合起来即可求得a的取值范围； ②由勾股定理求得，利用勾股定理得到关于a的一元二次方程，解方程即可求解． （1）解：设直线的表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为； 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得， ∴． （2）解：①当时，，， 当点P位于内部（包含边界）时， ∴， 解得：； 当点P位于内部（包含边界）时， ， 解得：， 综合起来得：； ②存在； ∵，,， 当时，， 即， 整理得：， 解得：， ∵,不符合a的取值范围， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式组，勾股定理及解一元二次方程等知识，掌握相关知识是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.7 一元二次方程的解法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）方程的根是（   ）． A． B．， C． D．， 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程： 配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海·期末）下列方程一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 9．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·广东清远·模拟预测）方程的解是 ． 12．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 13．（25-26八年级上·上海·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 14．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为 ； 15．（25-26九年级上·广东潮州·期中）若，则 ． 16．（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是 ． 17．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 18．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）某建筑公司购进77根装饰用的罗马柱，每根罗马柱可近似地看作底面直径为的圆柱体，现需将这批装饰用的罗马柱按如图方式进行堆放（第一排放2根，第二排放3根，第三排放4根……以此类推），为避免雨水浸湿，计划在罗马柱上方搭建遮雨棚，则遮雨棚的高度至少为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广西河池·期末）解下列方程： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级下·辽宁大连·月考）计算或解方程： (1) (2)． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·云南曲靖·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求方程的根． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，点是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴，y轴分别交于点，，直线经过点B和点并与x轴交于点C． (1)求直线和的表达式及点C的坐标． (2)当点P在的内部（包含边界）时， ①求a的取值范围； ②是否存在点P，使得？ 若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $