专题 2.2 一元二次方程的解法（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.2 一元二次方程的解法（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析基础篇 1 【知识点一】因式分解法解一元二次方程 1 ★【题型 1】因式分解法解一元二次方程 2 【知识点二】直接开平方法解一元二次方程 4 ★【题型 2】用直接开平方法解一元二次方程 4 【知识点三】配方法解一元二次方程 7 ★【题型 3】用配方法解一元二次方程 7 【知识点四】公式法解一元二次方程 10 ★【题型 4】用公式法解一元二次方程 10 【知识点五】一元二次方程根的判别式 12 ★【题型 5】一元二次方程根的判别式判断根的情况 13 ★【题型 6】利用一元二次方程根的判别式求参数取值范围 15 ★【题型 7】利用一元二次方程根的判别式进行证明 17 二.题型精析培优篇 19 ★★【题型 8】选择合适的方法解一元二次方程 20 ★★【题型 9】根的判别式与一元二次方程的参数综合 24 ★★【题型 10】一元二次方程的解法与几何综合 28 ★★【题型 11】一元二次方程的解法与函数综合 32 三.中考真题 37 （一）单选题（6题） 37 （二）填空题（6题） 41 （三）解答题（4题） 45 一.知识梳理与题型精析基础篇 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】因式分解法解一元二次方程 通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法，核心是利用“若A×B=0，则A=0或B=0”的零乘积性质，实现“降次”求解。这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程. ★【题型 1】因式分解法解一元二次方程 【例题1】（2026八年级下·全国·专题练习）用因式分解解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟知一元二次方程的解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形为，解方程即可． （2）用移项，因式分解法将方程变形为，解方程即可． （1）解：， 因式分解，得， ∴， 解得 ； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得 ， ∴， 解得 ． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的求解．利用因式分解的方法即可得出方程的解． 解：， ， ， ∴或 解得：，． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·山东聊城·月考）一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程，先将方程右边进行因式分解，然后移项并提取公因式，最后转化为两个一次方程求解． 解：方程可变形为， ， ， ， 所以或， 解得，． 故答案为：，． 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）移项后根据因式分解法求解即可． （1）解：， ， 或， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 或， 解得：． 【知识点二】直接开平方法解一元二次方程 一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义，可得.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. ★【题型 2】用直接开平方法解一元二次方程 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． （1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 【点睛】本题主要考查了用开平方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法． 【变式1】（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江·假期作业）用开平方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． （1）先通过移项得，再将系数化为1得，最后开方得出结果； （2）将式子直接开方即可得出结果； （3）先移项得，再开方得，最后即可得出结果； （4）两边同时开方得，分别解出两个式子的值即可得出结果． （1）解：， ， ， ， 解得，． （2）解：， ， 解得，． （3）解：， ， ， 解得，． （4）解：， ， ∴或， 解得，． 【知识点三】配方法解一元二次方程 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. ★【题型 3】用配方法解一元二次方程 【例题3】（25-26九年级上·广东清远·期末）在解一元二次方程时，小北的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：或 第五步：， (1)小北的解答过程从第 步开始出现错误； (2)请写出这道题用配方法解答的正确过程． 【答案】(1)二； (2)过程见解析 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）观察所给解题过程，发现错误即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （1）解：由所给解题过程可知， ∵等式两边都需要加上1， ∴第二步开始出现错误． 故答案为：二； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）下图是嘉嘉解方程的过程： 解方程： 解    ①                 ②                 ③ ，④ 嘉嘉在解方程的过程中，先出现错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法的步骤，逐步检查即可求解． 解： ，， 故嘉嘉在解方程的过程中，先出现错误的一步是③，错误原因是等号右边应为1． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用完全平方公式进行配方等知识，难度较大．根据分式总有意义，得到，变形为，即可得到，从而得到． 解：∵分式总有意义， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为 【变式3】（25-26九年级上·广东揭阳·月考）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． （1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可． （1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 【知识点四】公式法解一元二次方程 对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式，我们可以由一元二次方程 的系数a,b,c的值.直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做公式法. ★【题型 4】用公式法解一元二次方程 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）（2）（3）由公式法解一元二次方程即可得到答案． （1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：原方程整理得， ， ， ， 则，． 【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东日照·月考）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法及换元法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．先把方程化为一元二次方程的一般形式，再利用公式法解方程即可得答案． 解： ∵，，， ∴， ∴，． 故答案为：， 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定、、的值，代入求根公式求解； （2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解． （1）解：整理，得． ， ， ，． （2）解：整理，得． ， ， ，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确确定、、的值，再代入求根公式求解． 【知识点五】一元二次方程根的判别式 在一元二次方程中，方程的根的情况由代数式的值来决定，叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根. ★【题型 5】一元二次方程根的判别式判断根的情况 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根 (2)有两个不相等的实数根 (3)有两个相等的实数根 (4)没有实数根 【分析】（1）（2）先求出的值，再根据根的判别式得出答案即可； （3）（4）整理后求出的值，再根据根的判别式得出答案即可． （1）解：，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2），，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （3）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程有两个相等的实数根． （4）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程没有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 【变式1】（23-24八年级上·上海金山·月考）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值来判断根的情况． 解：∵，常数项为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴判断正负． 先求出根的判别式，再结合数轴作答即可． 解：∵， ∴， 由数轴可知， ∴， 即关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（25-26九年级上·江西上饶·期中）定义新运算：对于任意实数m，n，都有等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算． 例如： 根据以上知识解决下列问题： (1)若，求x的值． (2)若的值小于0，请判断方程∶的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的解法，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． （1）根据新运算，列出方程，即可求解； （2）根据新运算，列出不等式，可得到a的取值范围，再结合新运算，列出方程，根据一元二次方程根的判别式，即可求解． （1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵的值小于0， ∴， 解得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． ★【题型 6】利用一元二次方程根的判别式求参数取值范围 【例题6】（25-26九年级上·江西吉安·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若原方程有一个实数根是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程： （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）将代入原方程，解关于的一元二次方程． （1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． （2）解：将代入原方程， ， 解得，， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，方程有两个实数根，需满足一元二次方程的条件（二次项系数不为零）且判别式非负，据此解答即可． 解：∵ 方程有两个实数根， ∴ 方程为一元二次方程，即 ， 且判别式 ， 解得， ∴ 且． 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·湖北宜昌·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数． 根据题意可得二次项系数不为0，且，即可得的取值范围． 解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个实数根， ∴ 且 ， 解得且． ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·月考）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． （1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． ★【题型 7】利用一元二次方程根的判别式进行证明 【例题7】（2023九年级上·江苏·专题练习）证明：方程有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】将方程整理成一元二次方程的一般式，根据根的判别式，进行证明即可． 证明：，整理为：， ∴，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1】（23-24九年级上·河南驻马店·月考）证明关于的方程有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】表示出方程根的判别式，利用非负数的性质判断其值大于0，即可得证． 证明： ， ， ， ∴无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·月考）函数的图象如图所示，试证明：关于的一元二次方程必有两个不相等的实数数根． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的判别式，由一次函数的图象可得，，进而可得，据此即可求解；掌握一次函数的图象和一元二次方程的判别式是解题的关键． 解：由函数的图象可知，， 一元二次方程中， 关于的一元二次方程必有两个不相等实数根． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x 的方程：． (1)若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根． 【答案】(1)0 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程中得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，再把的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． （1）解：∵方程有一个根是3， ∴， 解得：． ∴原方程为，即， 解得，． ∴该方程的另一个根为0； （2）∵ ∴， ∴无论取何值，该方程总有实数根． 二.题型精析培优篇 ★★【题型 8】选择合适的方法解一元二次方程 【例题8】（24-25九年级上·山东枣庄·月考）用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）根据公式法解方程即可； （2）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （3）利用提取公因式法先分解因式，再解方程即可； （4）利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． （1）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·月考）用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． （1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 【变式2】（25-26九年级上·四川巴中·月考）用适当方法解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)无解 (3) (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式判断根的情况即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． （1）解： ∴或， ∴； （2）解： ∵， ∴该一元二次方程无解； （3）解： ∴或， ∴； （4）解： ∵， ∴， ∴，． 【变式3】（25-26九年级上·天津西青·月考）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用直接开平方法解方程； （4）利用因式分解法解方程． （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 或， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， 或， ． ★★【题型 9】根的判别式与一元二次方程的参数综合 【例题9】（25-26九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证； （2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果． （1）证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·周测）关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过计算判别式确定方程有两个不相等实数根，并验证是方程的一个根，从而求得另一个根为，结合判断各选项即可． 解：∵ 方程 的判别式 ， ∵， ∴， ∴ 方程有两个不相等实数根， 故选项C不符合题意； 当时，代入方程：， ∴是方程的一个根， 故选项A不符合题意； 设另一个根为，由因式分解得，展开得， 与原方程比较系数得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 方程的一个根大于1， 故选项B不符合题意； ∵方程的两个根为1和，均不小于1， ∴ 没有根小于1， 故选项D符合题意． 故答案为：D． 【变式2】（25-26九年级上·四川达州·自主招生）关于的方程有实数根，则的取值范围： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，二次根式有意义的条件，解一元一次方程，当时，原方程是一元一次方程，解方程可得方程有实数根；当时，原方程是一元二次方程，利用根的判别式求出k的取值范围，再根据二次根式有意义的条件进一步确定k的取值范围，进而可得答案． 解：当时，原方程为，解得，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 则， 解得， 又∵，即， ∴， ∴且． 综上，的取值范围为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． （1）解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. ★★【题型 10】一元二次方程的解法与几何综合 【例题10】（23-24九年级上·广东河源·月考）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)该三角形的面积为 ． 【答案】(1)该三角形是等腰三角形或直角三角形，理由见解析； (2)或． 【分析】（1）先解一元二次方程，根据该方程的解分情况讨论，结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理即可得解； （2）结合三线合一定理、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可． （1）解：三角形第三条边长是方程的一个根， 解方程可得， ，， 分两种情况讨论： ①当第三条边长为时，符合三角形三边关系，有两条边长为， 此时三角形是等腰三角形； ②当第三条边长为时，符合三角形三边关系， ， 该三角形是直角三角形． 故该三角形是等腰三角形或直角三角形． （2）解：①该三角形是等腰三角形时，如下图： 此时，， 作交于点， ， 则， ； ②该三角形是直角三角形时，如下图： 此时，， ． 综上，该三角形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的判定、勾股定理及其逆定理、三线合一定理，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （   ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理． 根据根的判别式的意义得到，整理得，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状． 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∴， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形，且边长a所对的角是． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【答案】5或10 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，由等题意得，，设，得，，然后根据“好点”定义及勾股定理得到是解决问题的关键． 解：∵，， ∴，则， ∵， ∴， 设，如图，可得，， ∵点是边上的“好点”， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 则，即：， 解得：，， 即：或10； 故答案为：5或10． 【变式3】（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； (2)设方程两实数根分别为、． ①若以、、3为三边的三角形为等腰三角形，求k的值； ②若直角三角形的两边分别为、，第三边为5，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②或 【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可； （2）①根据方程有两个不相等的实数根得到3为方程的一个根，据此代入方程求出k的值即可；②先利用因式分解法解方程得到或，再分5为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可． （1）证明：由题意得， ， ∴无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； （2）解：①∵方程总有不相等的两个实数根， ∴， ∵、、3为三边的三角形为等腰三角形， ∴等腰三角形的腰长为3， ∴， ∴， ∴或， 当时，原方程，解得或， ∴此时三角形三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，原方程，解得或， ∴此时三角形三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，或； ②∵， ∴， 解得或， ∵直角三角形的两边分别为、，第三边为5， ∴当5为斜边时，则， ∴ ∴，即，解得或， 当时，或，此时不符合题意； 当5为直角边时，则， ∴，解得， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理，构成三角形的条件，等腰三角形的定义等等，正确利用因式分解法求出方程的两根是解题的关键． ★★【题型 11】一元二次方程的解法与函数综合 【例题11】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （1）初步思考：自变量的取值范围是_______________ （2）探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限； （3）深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值； 【实际应用】（4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【答案】（1）；（2）一、三；（3）；（4）25 【分析】（1）根据分母不为0即可求解； （2）根据当时，；当时，即可判断； （3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解； （4）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 解：（1）函数的自变量x的取值范围为：， 故答案为：； （2）∵当时，；当时，． ∴该函数的函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三； （3）当时，， ∵， ∴当时，即时，的最大值是． 当时，的最大值为． 故答案为：； （4）设，已知， 由等高三角形可知：， 四边形面积， ∵ 当且仅当，即时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了函数的相关知识和等高三角形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A． 没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根． ∵在每一个象限内y随着x增大而增大， ∴ ∴一元二次方程的判别式 ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·月考）已知一次函数的图象在y轴上的截距与一次函数的图象在y轴上的截距互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与y轴的交点问题．令，分别代入解析式，可求得一次函数在y轴上的截距，根据题意列出一元二次方程，计算即可求得． 解：令，和， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)为直线上一点，过点作轴的平行线交的图象于点，当时，求点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在；或或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握一次函数的图象和性质和相关图形的性质定理是解题的关键． （1）先求出点的坐标，接着设点的横坐标为，用含的代数式表示出，再根据建立方程求解即可； （2）分、、分别为顶点时，利用等腰三角形的性质以及勾股定理分别求解即可． （1）解：当时，， ∴D点坐标为． ∵直线经过和， 则， 解得， ∴一次函数的函数解析式为； 当时，， ∴点坐标为， ∴． 设点的横坐标为，则，， ∴． ∵． ∴．                  解得或． ∴点坐标为或； （2）解：存在； 对直线，当时，， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴D点坐标为． 设，则，， 当时， 解得： ∴ 当时， 解得：或 ∴或 当时， 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或或或 三.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 解： 故选B． 5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 6．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． （二）填空题（6题） 7．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了因式分解法与直接开平方法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根． 解：方程 可变形为 ， 直接开平方得 ，即 ； 或者，因式分解得 ， 则 或 ， 解得 或 ． 故答案为： 或 ． 8．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 10．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解， 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 11．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 12．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 【答案】 ③ 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： （三）解答题（4题） 13．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 14．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． （1）解：依题意得：， 解得且； （2）解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． （1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 16．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． （1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2 一元二次方程的解法（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析基础篇 1 【知识点一】因式分解法解一元二次方程 2 ★【题型 1】因式分解法解一元二次方程 2 【知识点二】直接开平方法解一元二次方程 2 ★【题型 2】用直接开平方法解一元二次方程 2 【知识点三】配方法解一元二次方程 3 ★【题型 3】用配方法解一元二次方程 3 【知识点四】公式法解一元二次方程 4 ★【题型 4】用公式法解一元二次方程 4 【知识点五】一元二次方程根的判别式 4 ★【题型 5】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 5 ★【题型 6】利用一元二次方程根的判别式求参数取值范围 5 ★【题型 7】利用一元二次方程根的判别式进行证明 6 二.题型精析培优篇 6 ★★【题型 8】选择合适的方法解一元二次方程 6 ★★【题型 9】一元二次方程根的判别式与一元二次方程的参数综合 7 ★★【题型 10】一元二次方程的解法与几何综合 8 ★★【题型 11】一元二次方程的解法与函数综合 8 三.中考真题 10 （一）单选题（6题） 10 （二）填空题（6题） 10 （三）解答题（4题） 11 一.知识梳理与题型精析基础篇 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】因式分解法解一元二次方程 通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法，核心是利用“若A×B=0，则A=0或B=0”的零乘积性质，实现“降次”求解。这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程. ★【题型 1】因式分解法解一元二次方程 【例题1】（2026八年级下·全国·专题练习）用因式分解解下列一元二次方程： (1)； (2) 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·山东聊城·月考）一元二次方程的解为 ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【知识点二】直接开平方法解一元二次方程 一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义，可得.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. ★【题型 2】用直接开平方法解一元二次方程 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式1】（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江·假期作业）用开平方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【知识点三】配方法解一元二次方程 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. ★【题型 3】用配方法解一元二次方程 【例题3】（25-26九年级上·广东清远·期末）在解一元二次方程时，小北的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：或 第五步：， (1)小北的解答过程从第 步开始出现错误； (2)请写出这道题用配方法解答的正确过程． 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）下图是嘉嘉解方程的过程： 解方程： 解    ①                 ②                 ③ ，④ 嘉嘉在解方程的过程中，先出现错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是 ． 【变式3】（25-26九年级上·广东揭阳·月考）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【知识点四】公式法解一元二次方程 对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式，我们可以由一元二次方程 的系数a,b,c的值.直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做公式法. ★【题型 4】用公式法解一元二次方程 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东日照·月考）方程的根是 ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【知识点五】一元二次方程根的判别式 在一元二次方程中，方程的根的情况由代数式的值来决定，叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根. ★【题型 5】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】（23-24八年级上·上海金山·月考）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是 ． 【变式3】（25-26九年级上·江西上饶·期中）定义新运算：对于任意实数m，n，都有等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算． 例如： 根据以上知识解决下列问题： (1)若，求x的值． (2)若的值小于0，请判断方程∶的根的情况． ★【题型 6】利用一元二次方程根的判别式求参数取值范围 【例题6】（25-26九年级上·江西吉安·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若原方程有一个实数根是，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北宜昌·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·月考）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． ★【题型 7】利用一元二次方程根的判别式进行证明 【例题7】（2023九年级上·江苏·专题练习）证明：方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（23-24九年级上·河南驻马店·月考）证明关于的方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·月考）函数的图象如图所示，试证明：关于的一元二次方程必有两个不相等的实数数根． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x 的方程：． (1)若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根． 二.题型精析培优篇 ★★【题型 8】选择合适的方法解一元二次方程 【例题8】（24-25九年级上·山东枣庄·月考）用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·月考）用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【变式2】（25-26九年级上·四川巴中·月考）用适当方法解方程 (1) (2) (3) (4) 【变式3】（25-26九年级上·天津西青·月考）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) ★★【题型 9】一元二次方程根的判别式与一元二次方程的参数综合 【例题9】（25-26九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·周测）关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 【变式2】（25-26九年级上·四川达州·自主招生）关于的方程有实数根，则的取值范围： ． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． ★★【题型 10】一元二次方程的解法与几何综合 【例题10】（23-24九年级上·广东河源·月考）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)该三角形的面积为 ． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （   ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 【变式2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【变式3】（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； (2)设方程两实数根分别为、． ①若以、、3为三边的三角形为等腰三角形，求k的值； ②若直角三角形的两边分别为、，第三边为5，求k的值． ★★【题型 11】一元二次方程的解法与函数综合 【例题11】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （1）初步思考：自变量的取值范围是_______________ （2）探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限； （3）深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值； 【实际应用】（4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【变式1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A． 没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·月考）已知一次函数的图象在y轴上的截距与一次函数的图象在y轴上的截距互为相反数，则 ． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)为直线上一点，过点作轴的平行线交的图象于点，当时，求点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 三.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 6．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （二）填空题（6题） 7．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是 ． 8．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ． 9．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 10．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 11．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 12．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． （三）解答题（4题） 13．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 14．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 16．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $