精品解析：河南省方城县第一高级中学2026届高三假期第一次模拟考试数学试题

2026届方城县第一高级中学假期第一次模拟考试高三数学试题 学校：______姓名：______班级：______考号：______ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解不等式把集合具体化，利用交集和并集的定义依次判断选项即可． 【详解】由，得，即， 因为， 所以不等式的解为：， 故集合； 因为在上单调递增， 所以由，得：， 故集合， 所以，． 故选：D 2. 已知为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求解. 【详解】，又为纯虚数，所以，得， 故选：C. 3. 已知向量，，，设向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积求夹角的余弦值即可. 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 4. 样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义直接计算即可. 【详解】样本数据从小到大排列为4，8，12，16，20，计算位置：， 因为4为整数，所以第80百分位数为. 故选：D． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平方关系求，再利用商数关系求出即可. 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数， 所以， 则 . 故选：B. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 7. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C. 8. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把平方，再应用基本不等式求解最大值，即可得解. 【详解】因为正数满足， 所以， 所以，当且仅当时取等号，则的最大值为2. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列，满足，且，则（ ） A. B. 当时，是等比数列 C. 当时，是等差数列 D. 当时，是递增数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接由已知得到，即可说明A错误；对于B，证明，结合即可验证；对于C，说明即可；对于D，验证，再利用即可验证. 【详解】对于A，由已知有，故A错误； 对于B，当时，由于，且，故是等比数列，故B正确； 对于C，当时，由，归纳即知. 所以，从而，故是等差数列，故C正确； 对于D，当时，由于，故. 所以，从而是递增数列，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】代入点坐标，解方程组可得函数解析式，再利用定义法可判断函数的奇偶性，再根据复合函数单调性的判断方式可判断函数单调性，进而可判断各选项. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由前面计算可知，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，解得，故选项D错误； 故选：AC. 11. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则z的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由已知可得，则复数不确定，即可判断；对于B，设由于，可得，即可判断；对于C，由于，可得，即可判断；对于D，由， 可得在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，由表示单位圆上的点与点的距离，即可求得的范围，即可判断. 【详解】根据题意，对于选项A，设，由于， 所以，则复数不确定，故选项A不正确； 对于选项B，设，由于， 可得，则，故选项B正确； 对于选项C，设，由于， 所以，则，所以，，故选项C正确； 对于选项D，设，由于，所以， 所以在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆， 因为表示单位圆上的点与点的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以，故选项D正确. 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，.若在恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】在恒成立等价于对任意恒成立，就和结合的单调性分类讨论可得对任意恒成立，参变分离后再次利用导数可求的取值范围. 【详解】在恒成立等价于， 所以，即对任意恒成立，    设，则 所以，当时，，函数单调递增， 且当时，，当时，， 若，则， 若，因为，且在上单调递增，所以， 综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立. 设，，则，所以在单调递增， 所以，即a取值范围为． 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论. 13. 已知抛物线的准线与轴的交点为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，，则_______；若的中点到准线的距离为，则_______. 【答案】 ①. 16 ②. 4 【解析】 【分析】由题可得，可设直线方程与抛物线联立，可得，根据抛物线方程可得，进而可得，再结合条件即得. 【详解】由题可知，设直线，代入抛物线方程可得， ，则， 因为， 所以，又， ∴，， ∴， 又的中点到准线的距离为， ∴，即， ∴，即. 故答案为：16；4. 14. 已知四面体中，，则此四面体的体积为______，若用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则此四边形的对角线的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于四面体体积，可将其补成长方体，利用长方体与四面体的关系求解；对于截面四边形对角线的最小值，先根据面面平行性质证明四边形是平行四边形，再通过相似三角形得到边的关系，最后将对角线长度表示为关于某一变量的函数，求函数的最小值. 【详解】(1)将四面体补成长方体，设长方体的长、宽、高分别为，，. 根据长方体面对角线的性质可得. 三式相加得，则. 分别求解可得，，，即，，. 因为四面体的体积等于长方体体积减去四个等体积的三棱锥体积. 长方体体积. 一个三棱锥的体积. 四个三棱锥体积. 所以四面体的体积. (2)因为平面，平面，平面平面，平面， 根据面面平行的性质可知，同理，，，所以四边形是平行四边形. 设，则. 由，可得，因为，所以. 由，可得，因为，所以. 因为，，补成的长方体上下底面为正方形，可得， 所以，则. 将，代入可得. 令，，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，，所以. 故答案为： ；. 【点睛】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在三棱锥中，底面.已知是的中点，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）由与平面所成角的正弦值为，且平面，得为与平面所成的角.根据三角形相似，可求出.以A为原点，过A作垂直于的直线轴，以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，根据平面与平面夹角的向量求法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为底面平面，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 又为的中点，所以. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，垂足为. 所以为与平面所成的角. 因为底面平面，所以，所以. 由，所以. 所以，所以. 由（1）知，，而，所以. 所以，所以，所以. 以A为原点，过A作垂直于的直线轴，以所 在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 因为为中点，所以. 且. 设平面的一个法向量为， 则，取，则. 平面，所以平面一个法向量可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）由题意可进行分离参数，得在上恒成立，构造函数，利用导数求得其最值，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以函数在点处的切线方程为，即， 因为在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为， 所以，① 因为，所以，②， 联立①②解得； 【小问2详解】 因为，所以恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，由题意可知，故， 故的最小值为1. 17. 已知双曲线离心率为为上一点． （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）设，根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出的高，代入公式求解即可. 【小问1详解】 由题得:， 解得， 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：， 整理得：， 所以， 所以 所以 又因为点到直线的距离为： ， 所以的面积为. 18. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，即可证明. 【小问1详解】 由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. 【小问2详解】 ， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，矩形，动点R在线段AB上，动点Q在延长线上，满足，直线与直线AQ交于P点，已知，． （1）证明：动点P点所在曲线方程为双曲线． （2）在C的右支上任取一点，以为切点作C的切线交两条渐近线于，两点，过，两点分别作两条渐近线的平行线交于，过作直线的平行线，分别交两条渐近线于，，再过，两点分别作两条渐近线的平行线交于，一直反复操作，可得，，，…，． （i）写出直线的方程（不需要证明），并证明点O，，，…在同一条直线上． （ii）设，，以此类推，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i），证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，进而依次得到、，再写出直线、方程，求出它们的交点，即可得； （2）（i）设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式为0得到，写出方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； （ii）根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，从而得直线，与双曲线渐近线方程联立得，再利用等比数列的定义得到，最后应用等比数列前n项和，即可证. 【小问1详解】 由题设及图知， 由动点R在线段AB上，且，则，易知， 由动点Q在延长线上，且，则，易知， 所以，， 联立方程有，则，故， 综上，，则， 所以动点P点所在曲线方程为双曲线，得证； 【小问2详解】 （i）当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， 所以，即， 所以，又， 所以，则， 所以，即， 所以， 当直线斜率不存在时也满足，故直线方程为， 双曲线的渐近线，联立，得和. 则交点， ，且， ， ，而， ，可得三点共线且方程为， 由于， ， ， ， ， ， 共线， 共线， 共线， 共线且轨迹方程为，得证； （ii），直线方程，则， ， 所以， 设，直线，所以， 与分别联立，得和， 则， ， 即， ，又， ，则， 所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届方城县第一高级中学假期第一次模拟考试高三数学试题 学校：______姓名：______班级：______考号：______ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知向量，，，设向量与的夹角为，则（ ） A B. C. D. 4. 样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 若，则（ ） A B. C. D. 6. 将函数图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 7. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A 1 B. 2 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9 已知数列，满足，且，则（ ） A. B. 当时，是等比数列 C. 当时，是等差数列 D. 当时，是递增数列 10. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 11. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则z的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，.若在恒成立，则实数的取值范围是_________. 13. 已知抛物线的准线与轴的交点为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，，则_______；若的中点到准线的距离为，则_______. 14. 已知四面体中，，则此四面体的体积为______，若用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则此四边形的对角线的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在三棱锥中，底面.已知是的中点，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； （2）若，求的最小值. 17. 已知双曲线的离心率为为上一点． （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 18. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 19. 在平面直角坐标系中，矩形，动点R在线段AB上，动点Q在延长线上，满足，直线与直线AQ交于P点，已知，． （1）证明：动点P点所在曲线方程为双曲线． （2）在C的右支上任取一点，以为切点作C的切线交两条渐近线于，两点，过，两点分别作两条渐近线的平行线交于，过作直线的平行线，分别交两条渐近线于，，再过，两点分别作两条渐近线的平行线交于，一直反复操作，可得，，，…，． （i）写出直线的方程（不需要证明），并证明点O，，，…在同一条直线上． （ii）设，，以此类推，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $