第五章 统计与概率 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

该高中数学讲义通过概念梳理与分层探究构建统计与概率知识体系，利用表格归纳抽样方法、频率分布表，结合直方图呈现数据特征，清晰展现抽样、用样本估计总体、概率计算的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于情境化例题设计，如结合神舟十六号抽样问题、村BA得分统计，培养数学眼光与数据意识。规律方法总结（如分层抽样公式、古典概型步骤）指导思维，分层对点练与高考真题衔接，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

章末综合提升 探究点一　抽样的基本方法 例1　(1)某校在一次期中作业检查中，对高一(6)班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是(　　) A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人被抽到的机会不相等 C．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是相等的 D．由于采用了两步进行的抽样，所以无法判断每个人被抽的可能性是多少 (2)北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则女生抽取15人，则下列结论错误的是(　　) A．24是样本容量 B．120名社团成员中男生有50人 C．高二与高三年级的社团成员共有90人 D．高一年级的社团成员中女生最多有30人 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取6人，对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的．故选C. (2)对于A，由样本容量定义知：样本容量为24，故A正确；对于B，因为女生共有×120＝75人，所以男生有120－75＝45人，故B错误；对于C，因为高一年级的社团成员有×120＝30人，所以高二与高三年级的社团成员共有120－30＝90人，故C正确；对于D，由C知：高一年级的社团成员共30人，所以高一年级的社团成员中女生最多有30人，故D正确．故选B. 1．随机数法的步骤 第一步，给总体中的每个个体编号； 第二步，在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法； 第三步，依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码直至抽满为止． 2．分层随机抽样中容量的计算 分层随机抽样的特点是“按比例抽样”，即＝.　　 学生用书第88页 对点练1.(1)某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第5列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为(　　) 41　79　27　35　16　86　08　16　21　57　95　62　39　41　59　49　54　27 49　55　12　83　59　83　78　83　51　34　78　70　20　79　93　21　22　41 A．20　　　　　　　 B．21 C．27 D．12 (2)(多选)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界．港珠澳大桥为中国内地前往中国香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄段统计了港珠澳大桥落地以后，由港珠澳大桥实现中国内地前往中国香港的老年、中年、青年旅客的人数比为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则下列说法正确的是(　　) A．老年旅客抽到150人 B．中年旅客抽到40人 C．n＝200 D．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)依次从数表中读出的有效编号为：27，16，08，16，21，27，12，去掉重复的，得到选出来的第5位同学的编号为12.故选D. (2)因为老年、中年、青年旅客的人数比为5∶2∶3，青年旅客抽到60人，所以＝，解得n＝200，所以老年旅客抽到200×＝100(人)，中年旅客抽到200×＝40(人)，100＋40＝140＜200.故选BC. 探究点二　用样本的频率分布估计总体分布 例2　“腾笼换鸟”的政策促进了某地的产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI)资料如图及表格所示： 2022年11月份AQI数据频率分布直方图 2023年11月份AQI数据 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45 (1)请填写如下所示的2023年11月份AQI数据频率分布表，并完成频率分布直方图； 2023年11月份AQI数据频率分布表 分组 频数 频率 [20，40) [40，60) [60，80) [80，100) [100，120) [120，140] 2023年11月份AQI数据频率分布直方图 (2)该地区环保部门2023年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的 学生用书第89页 优良率提高了20多个百分点”(当AQI＜100时，空气质量为优良).试问图表中的数据信息是否支持该观点？ 解：(1)频率分布表如下，频率分布直方图如图所示． 2023年11月份AQI数据频率分布表 分组 频数 频率 [20，40) 2 [40，60) 7 [60，80) 12 [80，100) 5 [100，120) 1 [120，140] 3 2023年11月份AQI数据频率分布直方图 (2)支持.2022年11月份的优良率为20×＝. 2023年11月份的优良率为＋＋＋＝. 因为－＝≈23.3%>20%， 所以图表中的数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”． 与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略 1．已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据． 2．已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及相应范围结合求解．　　 对点练2.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图，如图所示： 分组 频数 频率 [10，15) 10 0.25 [15，20) 24 n [20，25) m p [25，30] 2 0.05 合计 M 1.00 (1)求表中M，p及图中a的值； (2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数． 解：(1)由分组[10，15)的频数是10，频率是0.25，知＝0.25， 解得M＝40. 因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40， 得m＝4，p＝＝＝0.10. 因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商， 所以a＝＝0.12. (2)因为该校高三学生有240人，分组[10，15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为240×0.25＝60. 探究点三　用样本估计总体的数字特征 例3　单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表： 分站 运动员甲的三次滑行成绩 运动员乙的三次滑行成绩 第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次 第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0 第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60 第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10 第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01 第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70 假如从甲、乙2人中推荐1人参加单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐________运动员参加，理由是________． 附：方差s2＝[2＋2＋…＋2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数． 答案：乙　甲乙两人水平相当，但乙的发挥比甲更稳定 解析：甲5站的平均成绩为 1＝＝88.40，乙5站的平均成绩为 2＝＝88.40，甲5站成绩的方差为s＝[(86.20－88.40)2＋(92.80－88.40)2＋(87.50－88.40)2＋(89.50－88.40)2＋(86.00－88.40)2]＝6.396. 乙5站成绩的方差为 s＝[(88.40－88.40)2＋(88.60－88.40)2＋(89.10－88.40)2＋(88.20－88.40)2＋(87.70－88.40)2]＝0.212；因为1＝2，s＞s， 所以推荐乙运动员参加，理由是：甲乙两人水平相当，但乙的发挥比甲更稳定． 学生用书第90页 　　 平均数反映样本数据的总体水平，标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度；标准差(方差)越大，离散程度越大，数据越分散；标准差(方差)越小，离散程度越小，数据越集中．　　 对点练3.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解：(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 探究点四　样本的百分位数 例4　村BA全称是“美丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多．村BA以篮球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展．某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中m的值； (2)若该球队准备对得分排名前30%的比赛进行宣传，试估计被宣传的比赛得分不低于多少． 解：(1)由频率分布直方图可得(m＋0.03＋2m＋0.01)×10＝1，解得m＝0.02. (2)因为(0.02＋0.03＋0.04)×10＝0.9>0.7， (0.02＋0.03)×10＝0.5<0.7， 所以70%分位数位于[75，85)之间，设为x， 则(0.02＋0.03)×10＋(x－75)×0.04＝0.7，解得x＝80， 所以被宣传的比赛得分不低于80. 计算一组n个数据的p分位数的一般步骤 第一步：按照从小到大排列原始数据； 第二步：计算i＝np； 第三步：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．　　 对点练4.某校教科室随机地取出了本校高三100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表： 分组 频数 频率 [80，85) 1 0.01 [85，90) 2 0.02 [90，95) 4 0.04 [95，100) 14 0.14 [100，105) 24 0.24 [105，110) 15 0.15 [110，115) 12 0.12 学生用书第91页 [115，120) 9 0.09 [120，125) 11 0.11 [125，130) 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1 (1)求样本数据的60%，80%分位数； (2)估计该校高三学生的数学成绩的90%分位数． 解：从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60， 前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72， 前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81， 前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92. (1)由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60%分位数为110，样本数据的80%分位数一定在第八组[115，120)内，由115＋5×≈119.4，估计样本数据的80%分位数为119.4. (2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90%分位数一定在第九组[120，125)内，由120＋5×≈124.1，估计该校高三学生的数学成绩的90%分位数为124.1. 探究点五　互斥事件与对立事件 例5　张老师去参加学术研讨会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘飞机去的概率． 解：设“乘火车去开会”为事件A，“乘轮船去开会”为事件B，“乘汽车去开会”为事件C，“乘飞机去开会”为事件D，且根据题意得这四个事件是互斥事件． (1)设“他乘火车或乘飞机去”为事件M，则M＝A∪D， P(M)＝P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7. (2)根据对立事件的概率公式可得： 他不乘飞机去的概率为： P＝1－P(D)＝1－0.4＝0.6. 求复杂事件的概率常用的两种方法 1．将所求事件转化成彼此互斥的事件的和． 2．先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．　　 对点练5.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 解：记A表示事件“该车主购买甲种保险”；B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”． (1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B， 所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. (2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 探究点六　古典概型 例6　甲、乙两台机床同时生产一种螺钉，现随机抽取这两台机床生产的螺钉各100颗进行重量检测(单位：克)，检测结果统计如下： 重量区间 (99.5，99.7) [99.7，99.9) [99.9，100.1) [100.1，100.3) [100.3，100.5] 甲机床 7 12 45 32 4 乙机床 3 18 45 28 6 等次 四等品 三等品 一等品 二等品 四等品 品质 不合格 合格 不合格 (1)试分别估计甲机床、乙机床生产的螺钉不合格的概率； (2)从两台机床生产的品质为合格的螺钉中，按等次 学生用书第92页 采用分层抽样的方法抽取6颗螺钉，从这6颗中任意抽取3颗，求这3颗中至少有两颗是一等品的概率． 解：(1)由表可知，甲机床生产的螺钉不合格的概率P1＝＝0.11， 乙机床生产的螺钉不合格的概率P2＝＝0.09. (2)由题意，抽取的一等品有×(45＋45)＝3颗， 设为a，b，c，则非一等品有6－3＝3颗，设为d，e，f， 从这6颗中任意抽取3颗，有(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种， 其中至少有两颗是一等品有10种， 所以3颗中至少有两颗是一等品的概率为＝. 古典概型概率计算问题的关注点 1．判断：该试验类型是否为古典概型问题． 2．关键：写出样本空间所包含的样本点及所求事件所包含的样本点． 3．注意：(1)弄清“放回”抽取还是“不放回”抽取；(2)灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式．　　 对点练6.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用x表示第一次抛掷出现的点数，用y表示第二次抛掷出现的点数，用(x，y)表示这个试验的一个样本点． (1)记A＝“两次点数之和大于9”，B＝“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若xy为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 解：(1)由题意知，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，共有36个样本点， 其中事件A＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即事件A包含6个样本点， 所以事件A的概率为P(A)＝＝. 又由事件B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)}， 即事件B中包含11个样本点，所以事件B的概率为P(B)＝. (2)设事件C＝“xy为偶数”，事件D＝{(x，y)|x∈{1，3，5}，y∈{2，4，6}}， 事件E＝{(x，y)|x∈{2，4，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}}， 可得P(D)＝，P(E)＝， 因为事件D与事件E互斥，且C＝D∪E， 所以P(C)＝P(D)＋P(E)＝＋＝. 因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为1－＝，>，故这种游戏规则不公平． 探究点七　频率与概率 例7　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记事件A＝“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值； (2)记事件B＝“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度的平均保费估计值． 解：(1)事件A的人数为60＋50＝110，P(A)的估计值为＝. (2)事件B的人数为30＋30＝60，P(B)的估计值为＝. (3)续保人本年度的平均保费估计值为＝(0.85a×60＋a×50＋1.25a×30＋1.5a×30＋1.75a×20＋2a×10)＝1.192 5a. 频率与概率问题的关注点 1．依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率． 2．频率的计算公式为频率＝，其中m是事件出现的频数，n为重复试验次数．　　 学生用书第93页 对点练7.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 解：(1)由频率估计概率可得甲获得优秀奖的概率为0.4，乙获得优秀奖的概率为0.5，丙获得优秀奖的概率为0.5，所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为0.4. (2)丙夺冠概率估计值最大． 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩．比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利． 探究点八　相互独立事件 例8　一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为p，p，，，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为. (1)求p的值； (2)求小红不能正确解答本题的概率； (3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率． 解：(1)记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件D，E，F，G，则P(D)＝P(E)＝p，P(F)＝，P(G)＝， 因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为， 于是P(DEFG)＝P(D)P(E)P(F)P(G)＝p2＝，解得p＝， 所以p＝. (2)若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会， 所以小红不能正确解答本题的概率是×××＝. (3)记事件H为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对， 则P＝P＋P＋P(DFG)＋P(EFG) ＝×××＋×××＋×××＋×××＝， 所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为. 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 1．将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和． 2．将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． 3．代入概率的乘法公式和加法公式求解．　　 对点练8.甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球． (1)求第3回合由乙发球的概率； (2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率． 解：(1)由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；第1回合乙赢，第2回合乙赢， 所以第3回合由乙发球的概率为×＋×＝. (2)前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3， 甲赢的回合数为3的概率为××＝， 甲赢的回合数为2的概率为××＋××＋××＝， 所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为＋＝. 学生用书第94页 (2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则(　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 答案：B 解析：讲座前中位数为＝72.5%＞70%，故A错误；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，故B正确；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%＞20%，故D错误．故选B. (2022·天津卷)将1916年到2015年的全球年平均气温(单位：℃)，共100个数据，分成6组：[13.55，13.75)，[13.75，13.95)，[13.95，14.15)，[14.15，14.35)，[14.35，14.55)，[14.55，14.75]，并整理得到如图所示频率分布直方图，则全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有(　　) A.22年　　　　　　　 B．23年 C．25年 D．35年 答案：B 解析：依题意，全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的频率是0.2×0.5＋0.2×0.65＝0.23，故全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有100×0.23＝23(年).故选B. (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值， x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5 的标准差不小于 x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 答案：BD 解析：对于选项A，当x2，x3，x4，x5的平均数不等于x1，x6的平均数时，A选项不成立；故A错误； 对于选项B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确；对于选项C，因为x1是最小值，x6是最大值， 则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如： 1，4，4，4，4，7，则平均数n＝×(1＋4×4＋7)＝4，标准差s1＝， 4，4，4，4，则平均数m＝4，标准差s2＝0， 显然>0，即s1>s2，故C错误； 对于选项D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD. (2023·全国甲卷)某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝.故选D. (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6＝36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有6×5＝30种，则其概率为＝，故选A. (2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，，，，，，，共7种，故所求概率P＝＝.故选D. 学生用书第95页 (2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 解：(1)由题意可知，zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)的值分别为：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 所以＝i＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知：＝11，2＝2＝，故有≥2 ， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． (2022·新高考Ⅱ卷节选)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： 估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). 解：平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). 学科网（北京）股份有限公司 $