第4章 4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.1　指数与指数函数 4.1.2　指数函数的性质与图象 第2课时　指数函数的性质与图象的应用 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学 指数函数图象间的关系 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 ax＜bx ax＞bx ax＞bx ax＜bx 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 　当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对任意一个实数x0，什么时候ax0＞bx0？什么时候ax0＜bx0？什么时候ax0＝bx0? [提示]　由图象可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0； ②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0； x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0. ◎结论形成 1．对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： (1)当x＜0时，0＜________＜1. (2)当x＝0时，ax＝bx＝1. (3)当x＞0时，________＞1. 2．对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： (1)当x＜0时，________＞1. (2)当x＝0时，ax＝bx＝1. (3)当x＞0时，0＜________＜1. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1.(　　) (2)对于任意的x∈R，一定有3x＞2x.(　　) (3)y＝3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)是刻画指数增长变化规律的函数模型．(　　) (4)若ax-1＞a2，则x＞3.(　　) 解析　(1)由指数函数的单调性可知正确． (2)由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x≤0时，3x≤2x. (3)y＝3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)是刻画指数衰减变化规律的函数模型． (4)当a＞1时，x＞3；当0＜a＜1时，x＜3. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1.5)，则(　　) A．y1＞y2＞y3　　　　　 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 解析　∵y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5， ∴y1＞y3＞y2，故选B． 答案　B 3．若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2a＋1)＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3－2a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C．(－∞，1) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 解析　函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在R上为减函数， 所以2a＋1＞3－2a，所以a＞ eq \f(1,2). 答案　B 4．函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(1－x)的单调增区间为________________． 解析　y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(1－x)＝2x-1， 故函数的增区间为(－∞，＋∞). 答案　(－∞，＋∞) 题型一　指数函数单调性的应用（题点多探　多维探究） 角度1　比较幂的大小 　比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8-0.1，1.250.2； (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π，1； (3)0.2-3， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))0.2. [解析]　(1)因为0.8-0.1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))-0.1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0.1，1.250.2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0.2， 又指数函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))x为增函数，且0.1<0.2， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0.1< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0.2，即0.8-0.1<1.250.2. (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π＝ππ>π0＝1. (3)0.2-3>0.20＝1， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))0.2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3)) eq \s\up16(\f(1,5))＝ eq \r(5,－3)<0，所以0.2-3> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))0.2. 比较幂值大小的三种类型及处理方法 角度2　解简单指数不等式 　解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5(a＞0，且a≠1). [解析]　当0＜a＜1时，2x＋1≥x－5，解得x≥－6； 当a＞1时，2x＋1≤x－5，解得x≤－6， 所以当0＜a＜1时，不等式的解集为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，＋∞))； 当a＞1时，不等式的解集为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－6)). 解简单的指数不等式往往先化成af(x)＞ag(x)的形式，若a的取值不确定，需分类讨论.　 角度3　函数y＝af(x)的单调性 　判断f(x)＝的单调性，并求最值． [解析]　令u＝x2－2x， 则原函数变为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(u). ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(u)在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x＝1时，函数取得最大值，为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(1－2)＝3，无最小值． 研究y＝af(x)型函数的单调性时，要注意是a＞1，还是0＜a＜1： ①当a＞1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同； ②当0＜a＜1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相反.　 [触类旁通] 1．(1)(2024·河南郑州高一期中)设a＝0.70.7，b＝0.71.8，c＝1.80.7，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a (2)不等式> eq \f(1,27)的解集为________________． (3)f(x)＝的单调递增区间为________________． 解析　(1)由y＝0.7x为减函数， 故a＝0.70.7>b＝0.71.8， 由y＝x0.7为增函数，故c＝1.80.7>a＝0.70.7， 所以b<a<c. (2)由> eq \f(1,27)＝3-3，所以x2－4x>－3，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))>0，解得x<1或x>3. (3)易知函数f(x)＝0.7x2－2x是由指数函数y＝0.7t和二次函数t＝x2－2x复合而成， 由复合函数单调性可知求出函数t＝x2－2x的单调递减区间即可， 利用二次函数性质可知，t＝x2－2x在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1))上单调递减， 所以f(x)＝0.7x2－2x的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1)). 答案　(1)C　(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，1))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))　(3) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1)) 题型二　指数函数模型的应用 　某地区2014年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2025年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少为________________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7，1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7). [解析]　设平均每年新增住房面积为x万平方米， 则 eq \f(500×6＋11x,500×(1＋1%)11)≥7， 解得x≥ eq \f(3 500×1.0111－3 000,11)≈82.27， 即平均每年新增住房面积至少为83万平方米． [答案]　83 [素养聚焦]　　本题主要考查指数函数的实际应用，突出考查数学建模核心素养． 在实际问题中，经常遇到指数增长(衰减)模型：设原有量为N，每次的增长(衰减)率为P，经过x次增长(衰减)，该量增长(衰减)到y，则y＝N(1±p)x(x∈N).此类函数是刻画指数增长或(衰减)变化规律的非常有用的函数模型.　 [触类旁通] 2．某罐头厂2024年4月份平均日产量为20万罐，因销售量增大，工厂从5月份起扩大产能，6月份平均日产量达到45万罐，则该厂日产量的月平均增长率是________________． 解析　设罐头厂日产量的月平均增长率是x，依题意得20(1＋x)2＝45，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不符合题意，舍去)，则该厂日产量的月平均增长率是50%. 答案　50% 题型三　指数函数性质的综合应用（一题多变） 　已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝ eq \f(5,2)，f(2)＝ eq \f(17,4). (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域． [解析]　(1)∵ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(1)＝\f(5,2)，,f(2)＝\f(17,4)，)) ∴根据题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(1)＝2＋2a＋b＝\f(5,2)，,f(2)＝22＋22a＋b＝\f(17,4)，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0.)) 故a，b的值分别为－1，0. (2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)设任意x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)， 则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2－x1)－(2x2＋2－x2) ＝(2x1－2x2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x1)－\f(1,2x2)))＝(2x1－2x2)· eq \f(2x1＋x2－1,2x1＋x2). 因为x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，所以2x1－2x2＜0，2x1＋x2＞1，所以2x1＋x2－1＞0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞). [母题变式] (变结论)本例条件不变，若f(x)－2m≥0对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为________________． 解析　由本例解答知，f(x)的最小值为2，要使f(x)－2m≥0恒成立，即f(x)≥2m恒成立，只需2m≤2即可，解得m≤1. 答案　(－∞，1] 解决指数函数性质的综合问题应关注的两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.　 [触类旁通] 3．设a＞0，f(x)＝ eq \f(3x,a)＋ eq \f(a,3x)是定义在R上的偶函数． (1)求a的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 解析　(1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即 eq \f(3x,a)＋ eq \f(a,3x)＝ eq \f(1,a·3x)＋a·3x， ∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3x)－3x))＝0对一切x∈R恒成立．由此可得a－ eq \f(1,a)＝0，即a2＝1.又a＞0，∴a＝1. (2)证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝3x1－3x2＋ eq \f(1,3x1)－ eq \f(1,3x2)＝(3x2－3x1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3x1＋x2)－1))＝(3x2－3x1)· eq \f(1－3x1＋x2,3x1＋x2). 由x1＞0，x2＞0，x1＜x2， 得x1＋x2＞0，3x2－3x1＞0， 则1－3x1＋x2＜0，3x1＋x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 故f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 知识落实 技法强化 1.比较幂的大小． 2.探究函数y＝af(x)的单调性、值域． 3.解形如af(x)＞ag(x)的不等式． 1.探究y＝af(x)与y＝f(ax)的性质时，要注意换元法的应用． 2.在解决指数函数模型的应用问题的过程中，大多需要根据条件列出方程，进而求解． $