4.1.2 第1课时 指数函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图象 知识层面 1.理解指数函数的概念与意义，掌握与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法．　2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质． 素养层面 通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养；借助指数函数图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养． 问题1.拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系是什么？ 提示：第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝()x(x∈N*). 问题2.上述两个函数关系式共同点是什么？ 提示：两函数关系式都是指数的形式，自变量x在指数位置，底数是常数． 知识点一　指数函数的概念 1．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. [微提醒]　为什么规定底数a>0且a≠1? (1)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如y＝(－2)x，对于x＝，，…，函数值不存在． (3)若a＝1，则对任意的x∈R，ax＝1是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况的发生，规定a>0且a≠1.有此规定后，对任意的x∈R，ax都有意义．以下谈到指数函数y＝ax时，均默认为a是常数，a>0且a≠1. 2．指数函数的结构特征 指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①ax的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式． 说明：由于y＝a－x＝，因此y＝a－x也是指数函数． 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象和性质如下表： 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 图象过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1 学生用书第7页 续表 底数 a>1 0<a<1 性质 单调性 增函数 减函数 函数值的 变化情况 当x>0时，ax>1， 当x＝0时，ax＝1， 当x<0时，0<ax<1. 当x>0时，0<ax<1， 当x＝0时，ax＝1， 当x<0时，ax>1. 对称性 函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 [微提醒]　(1)当底数a的大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的大致图象． (3)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象． 第1课时　指数函数 1．下列函数中，指数函数的个数为(　　) ①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝－1. A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．4 答案：B 解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数f(x)＝3x－b(b为常数)的图象过点(2，1)，则f(4)的值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．27 答案：C 解析：由f(x)过点(2，1)，代入得32-b＝1，所以b＝2， 所以f(x)＝3x-2，所以f(4)＝9.故选C. 3．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0) 答案：B 解析：要使函数有意义．则2x－1>0，所以2x>1，所以x>0. 4．(多选)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　) A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝∅ 答案：AC 解析：集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选AC. 5．函数f(x)＝－1的值域为________． 答案：(－1，＋∞) 解析：因为>0，所以f(x)>－1. 题型一　指数函数概念的应用 例1　(1)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或2　　　　　　 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 (2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________． [思路点拨]　(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1. (2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点求a，最后求值． 答案：(1)C　(2)64 解析：(1)由指数函数的定义得 解得a＝2. (2)设y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a-2＝，所以a＝2，所以f(4)·f(2)＝24×22＝64. 1．判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数． 2．已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤 　　 学生用书第8页 对点练1.(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________________； (2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号) ①y＝2·()x　②y＝2x-1　③y＝ ④y＝xx　⑤y＝3－　⑥y＝x 答案：(1)(－∞，1)∪　(2)③ 解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数， 则解得a<且a≠1. (2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x-1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③. 题型二　指数函数的解析式或求值 例2　已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， 且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值． [思路点拨]　由已知先求a，再将x＝0，1，－3代入求值． 解：因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝π，于是f(x)＝π. 所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝π＝，f(－3)＝π-1＝. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．　　 对点练2.若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值． 解：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去). 所以f(x)＝3x. 所以f(－1)＝3-1＝. 题型三　与指数函数有关的定义域和值域问题 角度1　求指数型函数的定义域和值域 例3　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝. [思路点拨]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解． 解：(1)由题意知x－4≠0，所以x≠4， 所以函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). 因为≠0，所以2≠1， 故函数的值域为(0，1)∪(1，＋∞). (2)由题意知函数的定义域为R. 因为|x|≥0，所以y＝＝≥＝1， 故函数的值域为[1，＋∞). 求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法 1．求与指数函数有关的函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而y＝f(ax)的定义域由t＝ax的值域在y＝f(t)的定义域内决定，因此求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组). 2．求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞).一般地，对于y＝af(x)型函数，要先求出f(x)的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的草图或利用函数的单调性，就很容易求出原函数的值域.　　　 角度2　二次函数与指数函数的综合问题 例4　求函数y＝－3×＋2，x∈[－2，2]的值域． 学生用书第9页 [思路点拨]　此处用t替换时，需注意在x取值影响下t的取值范围． 解：y＝－3×＋2＝－3×＋2，令t＝， 则y＝t2－3t＋2＝－. 因为x∈[－2，2]，所以≤t≤4， 当t＝时，y取得最小值，ymin＝－； 当t＝4时，y取得最大值，ymax＝6. 故函数y＝－3×＋2，x∈[－2，2]的值域是. 解决二次函数与指数函数的综合问题的方法 对于这类问题，本质是考查二次函数的最值问题．在处理方式上可以利用换元法将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和指数函数y＝ax的单调性求出t的取值范围，即转化成了二次函数的最值问题.　　　 对点练3.(多选)(1)已知集合A＝，则满足A∩B＝B的集合B可以是(　　) A． B． C． D．{x|x>0} (2)求函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)，x∈[0，＋∞)的值域． 答案：(1)AB 解析：(1)由题意，可知集合A为函数y＝，x∈R的值域．令t＝x2＋1，则函数可化为y＝，由x∈R，得t≥1，所以y＝的值域为，即集合A＝.又A∩B＝B，所以B⊆A，故选AB. (2)y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax， 则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x≥0，所以t≥1，则y≥2. 当0<a<1时，因为x≥0，所以0<t≤1， 易得－1<y≤2. 综上，当a>1时，值域是[2，＋∞)； 当0<a<1时，值域是(－1，2]. 1．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　) A．－1或2　　B．－1　　C．2　　D． 答案：C 解析：依题意，有解得m＝2(m＝－1舍去).故选C. 2．函数y＝的定义域是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：C 解析：由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0.故选C. 3．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中不正确的有(　　) A.f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*) 答案：CD 解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)·f(y)，故A正确；f(x－y)＝ax－y＝＝，故B正确；f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，故C不正确；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，故D不正确．故选CD. 4．当x∈[－2，2)时，函数y＝3－x－1的值域为________． 答案：(－，8] 解析：y＝3－x－1＝()x－1在x∈[－2，2)上单调递减，所以()2－1<y≤()-2－1，即3-2－1<y≤32－1，故－<y≤8.所以函数的值域为(－，8]. 学科网（北京）股份有限公司 $