课时测评22 向量的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列说法正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 答案：D 解析：向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小． 2．(多选)下面的命题正确的有(　　) A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若a，b满足＞且a与b同向，则a＞b D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形” 答案：AD 解析：对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且＝，可得AB∥DC，且AB＝DC，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知AB∥DC，且AB＝DC，此时A、B、C、D是不共线的四点，且＝，故D正确．故选AD. 3．如图，四边形ABCD，其中＝，则相等的向量是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案：D 解析：因为＝，所以AB＝DC，且AB∥DC，则四边形ABCD为平行四边形，O为BD的中点，所以＝，又与方向相同，所以＝.故选D. 4．给出下列四个命题：①向量和向量的长度相等；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③0＝0；④向量大于向量. 其中真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：①真命题．因为向量和向量是方向相反，模相等的两个向量；②假命题．向量是用有向线段来表示的，不能把两者等同起来；③假命题．0是一个向量，而0是一个数，|0|＝0；④假命题．向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小．故选B. 5．下列命题中正确的是(　　) A．若与是共线向量，A，B，C，D则四点共线 B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．不相等的两个向量一定不平行 D．两个相等向量的模相等 答案：D 解析：A中，与是共线向量时，A，B，C，D四点不一定共线，判定A错误；B中，a∥b，若b＝0，则a∥c不成立，故B错误；C中，零向量的方向不确定，因此人们规定它可以与任何向量平行，则C错误；D中，两个相等向量的模是一定相等的，故D正确．故选D. 6．以正方形的4个顶点中的一个顶点为始点，另一个顶点为终点作向量，可以作出的互不相等的向量有________个． 答案：8 解析：如图所示，正方形ABCD，以其中一个顶点为始点，另一个顶点为终点作向量有：，，；，，；，，；，，，共12个，其中＝，＝，＝，＝，所以满足条件的向量有8个． 7．给出以下5个条件：①a＝b；②＝；③a与b的方向相反；④＝0或＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号). 答案：①③④ 解析：相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；＝，不能确定方向，所以②不能确定a∥b，方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立，单位向量的模相等，但方向不确定，所以⑤不能推出a∥b. 8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与是平行向量，与是共线向量，则m＝________． 答案：0 解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线，又m与，都共线，所以m＝0. 9．(10分)O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： (1)分别找出与，相等的向量；(2分) (2)找出与共线的向量；(2分) (3)找出与模相等的向量；(3分) (4)向量与是否相等？(3分) 解：(1)＝，＝. (2)与共线的向量有：，，. (3)与模相等的向量有：，，，，，，. (4)向量与不相等，因为它们的方向不相同． 10．(10分)如图，已知D，E，F分别是等边三角形ABC各边的中点，且△ABC的边长为2，连接BF，CD. (1)图中已标出的向量中，模为2的向量有哪些？(4分) (2)试求||，||，||.(6分) 解：(1)由题图中向量及BA＝BC＝CA＝2可知，模为2的向量有，，. (2)因为E，F分别为CB，CA的中点， 所以EF＝AB＝1. 所以||＝1.由勾股定理得BF＝＝＝.同理CD＝. 所以||＝，||＝. 11．(5分)(多选)下列命题中，不正确的是(　　) A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．a＝b的充要条件是＝且a∥b C.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 答案：ABC 解析：对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，因此A错误；对于B，a＝b的充要条件是＝且方向相同，因此B错误；对于C，当b＝0时，则a与c不一定共线，因此C错误；对于D，向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，D正确．故选ABC. 12．(5分)设四边形ABCD中，有＝且＝，则这个四边形是(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 答案：C 解析：因为＝，所以DC∥AB，且DC≠AB.又＝，所以四边形为等腰梯形．故选C. 13．(10分)某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围． (1)作出向量，，；(4分) (2)求||.(6分) 解：(1)向量，，，如图所示． (2)由题意，易知与方向相反， 故与共线． 又||＝||，所以在四边形ABCD中，AB綊CD， 所以四边形ABCD为平行四边形． 所以＝，||＝||＝200 km. 14．(5分)中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量1，2表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有________个． 答案：11 解析：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个．所以共有11个． 15．(15分)如图所示，已知＝＝.求证： (1)△ABC≌△A′B′C′；(5分) (2)＝，＝.(10分) 证明：(1)因为＝， 所以||＝||，且∥. 又因为A不在上，所以AA′∥BB′. 所以四边形AA′B′B是平行四边形． 所以||＝||. 同理||＝||，||＝||. 所以△ABC≌△A′B′C′. (2)由(1)知四边形AA′B′B是平行四边形， 所以与方向相同，且||＝||， 所以＝.同理可证＝. 学科网（北京）股份有限公司 $