单元检测卷（二）统计与概率-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

(时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一 、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是(　　) A．在公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 答案：D 解析：由抽样的特征，抽取样本时要考虑样本具有广泛性与代表性．公园、医院的老年人和10名老年邻居比较特殊，不具有广泛性与代表性，故A、B、C不合理，利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况，样本具有广泛性与代表性，故D合理．故选D. 2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　) A．众数　　　　　　　 B．平均数 C．中位数 D．标准差 答案：D 解析：由众数、平均数、中位数、标准差的定义知，A样本中各数据都加2后，只有标准差不改变．故选D. 3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2 025次，那么第2 024次出现正面朝上的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第2 024次，有两种结果：正面朝上、反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为.故选D. 4．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 答案：B 解析：根据茎叶图中的数据，得甲班5名同学成绩的平均数为×(72＋77＋80＋x＋86＋90)＝81，解得x＝0；又乙班5名同学的中位数为73，则y＝3，x－y＝0－3＝－3.故选B. 5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：将红、黄、白、紫4种颜色的花分别记为1，2，3，4，则所有可能的结果有(12，34)，(13，24)，(14，23)，(23，14)，(24，13)，(34，12)，共6种种法，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率P＝＝.故选C. 6．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意，灯泡不亮包括4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为×××＋×××＋×××＝，所以灯泡亮的概率为1－＝，故选D. 7．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　　) A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张 C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张 答案：A 解析：由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是＋×＝，乙获胜的概率是×＝.所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张).故选A. 8．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大(　　) A．方案一 B．方案二 C．相等 D．无法比较 答案：A 解析：设三门考试课程考试通过的事件为A，B，C，相应的概率为a，b，c，则考试三门课程，至少有两门及格的事件为AB＋AC＋BC＋ABC，其概率为P1＝ab(1－c)＋a(1－b)c＋(1－a)bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc，设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，则P2＝ab＋ac＋bc，又由P1－P2＝ab＋ac＋bc－2abc－＝ab＋ac＋bc－2abc＝(ab＋ac＋bc－3abc)＝[ab(1－c)＋ac(1－b)＋bc(1－a)]>0， 所以P1>P2，即用方案一通过考试的概率更大．故选A. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是(　　) A．这10个月的月销售量的极差为15 B．这10个月的月销售量的第65百分位数为33 C．这10个月的月销售量的中位数为30 D．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 答案：AB 解析：将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10个月的月销售量的极差为15，故A正确；根据百分位数的定义可知，10×65%＝6.5，则这10个月的月销售量的第65百分位数为第七个数33，故B正确；这10个月的月销售量的中位数为＝29，故C错误；结合图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误．故选AB. 10．质地均匀的正四面体骰子的四个面分别标有1，2，3，4四个数字，任意抛掷一次这个正四面体骰子，观察它与地面接触的数字，得到以下事件：A＝“出现数字1或者2”，B＝“出现数字1或者3”，C＝“出现数字1或者4”，D＝“出现数字2”，则以下说法正确的是(　　) A．P(A)＝ B．A与B是互斥事件 C．B∪C与D是对立事件 D．B与C是独立事件 答案：ACD 解析：任意抛掷一次这个正四面体骰子，底面出现数字可能为1，2，3，4，4个基本事件．对于A，由古典概型可得P(A)＝＝，故A正确；对于B，当底面出现数字1时，A与B同时发生，可知A与B不是互斥事件，故B错误；对于C，B∪C表示底面出现数字1或3或4的事件，D表示底面出现数字2的事件，在一次抛掷中，不可能同时发生，且必须有一个发生，所以B∪C与D是对立事件，故C正确；对于D，因为P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(BC)＝，满足P(BC)＝P(B)·P(C)，所以B与C是独立事件，故D正确．故选ACD. 11．已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据xi(i＝1，2，…，m)的平均数为，方差为s；第二部分样本数据yi(i＝1，2，…，n)的平均数为，方差为s，设≤，s≤s，则以下命题正确的是(　　) A．设总样本的平均数为，则≤≤ B．设总样本的平均数为，则2≥· C．设总样本的方差为s2，则s≤s2≤s D．若m＝n，＝，则s2＝ 答案：AD 解析：对于A，因为≤，所以＝＋≤＋＝， ＝＋≥＋＝，即≤≤，故A正确；对于B，取第一部分数据为1，1，1，1，1，则＝1，s＝0，取第二部分数据为－3，9，则＝3，s＝36，则2＝2＝<3＝·，故B错误； 对于C，取第一部分数据为－2，－1，0，1，2，则＝0，s＝2，取第二部分数据为1，2，3，4，5，则＝3，s＝2，则＝＋＝×0＋×3＝，s2＝＋＝×＋×＝>2＝s，故C错误；对于D，若m＝n，＝，则＝＝，s2＝＋＝，故D正确．故选AD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上) 12．甲、乙两人在4次演讲比赛中的成绩如茎叶图所示，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是________． 答案：0.7 解析：记被污损的数字为x，若甲的平均成绩超过乙的平均成绩， 则 解得0≤x<7，且x∈N，所以x可取0，1，2，3，4，5，6，共7种，所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝0.7. 13．某中学举行了一次环保知识竞赛，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．已知尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图如下，则＋的值为________． 组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60) 8 0.16 第2组 [60，70) a ● 第3组 [70，80) 20 0.40 第4组 [80，90) ● 0.08 第5组 [90，100] 2 b 答案：510 解析：设抽取的学生总数为N，则N＝＝50，所以第4组的频数为50×0.08＝4，则a＝50－8－20－4－2＝16，b＝＝0.04，故第2组的频率为＝0.32，则x＝＝0.032，y＝＝0.004，故＋＝510. 14．若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M＝的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为________． 答案： 解析：因为M＝，所以集合M的所有非空子集的个数为29－1＝511.因为若x∈A，且∈A，则A是“伙伴关系集合，所以若－1∈A，则＝－1∈A；若1∈A，则＝1∈A；若2∈A，则∈A，2与成对出现；若3∈A，则∈A，3与成对出现；若4∈A，则∈A，4与成对出现．所以集合M的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有25－1＝31(个).所以在集合M＝的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母a的值；(3分) (2)求至少遇到4个红灯的概率；(4分) (3)求至多遇到5个红灯的概率．(6分) 解：(1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2. (2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C， 因为事件A，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33. (3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件. 则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97. 16．(15分)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． (1)请填写下表：(5分) 平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 乙 (2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：(10分) ①从平均数和方差相结合看，谁的成绩更稳定； ②从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些； ③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力． 解：(1)由图可知，甲射靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙射靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 则可求得，甲的成绩的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的成绩的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数为3. 如下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定． ②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些． ③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩好些． ④从折线图上看，乙基本上呈上升趋势，而甲趋于稳定，故乙更有潜力． 17．(15分)某高校从大二学生中随机抽取200名学生，将其期末考试的《中西法律文化》成绩(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如下频率分布直方图． (1)求成绩在[70，80)内的频率；(3分) (2)根据频率分布直方图，估计该校大二学生期末考试《中西法律文化》成绩的众数、中位数(结果保留到0.1)；(4分) (3)用分层抽样的方法在各成绩组的学生中抽取一个容量为40的样本，则各成绩组应抽取的人数分别是多少？(8分) 解：(1)由题意，知所求频率为1－0.1－0.15－0.15－0.25－0.05＝0.3. (2)由频率分布直方图，可知众数约为75. 由(1)，知a＝＝0.03.设中位数为x，则有0.1＋0.15×2＋0.03×(x－70)＝0.5，解得x＝≈73.3，所以中位数约为73.3. (3)成绩在[40，50)内的应抽取的人数为40×0.01×10＝4； 成绩在[50，60)内的应抽取的人数为40×0.015×10＝6； 成绩在[60，70)内的应抽取的人数为40×0.015×10＝6； 成绩在[70，80)内的应抽取的人数为40×0.03×10＝12； 成绩在[80，90)内的应抽取的人数为40×0.025×10＝10； 成绩在[90，100]内的应抽取的人数为40×0.005×10＝2. 18．(17分)我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86%的居民生活用水不超过这个标准．在本市居民中随机抽取了200户家庭某年的月均用水量(单位：吨)，通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图： (1)求a，m的值，并估计全市所有家庭的月均用水量；(4分) (2)如果我们称m为这组数据中86%分位数，那么这组数据中50%分位数是多少？(5分) (3)在用水量位于区间[1，3)的四类家庭中按照分层抽样的方法抽取15人参加由政府组织的一个听证会(每个家庭有1个代表参会)，在听证会上又在这15个人中任选1人发言，则这个人的家庭月均用水量超过2吨的概率是多少？(8分) 解：(1)由频率分布直方图得(0.16＋0.30＋0.40＋0.50＋0.30＋0.16＋a＋a)×0.5＝1， 解得a＝0.09. 由频率分布直方图得，在区间[0.5，3)内的频率为 1－(0.16＋0.09＋0.09)×0.5＝0.83. 因为计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86%的居民生活用水不超过这个标准，　 所以m＝3＋＝3.187 5. (2)在区间[0.5，2)的频率为(0.16＋0.30＋0.40)×0.5＝0.43，在区间[2，2.5)的频率为0.50×0.5＝0.25， 所以这组数据中50%分位数是2＋＝2.14. (3)在用水量位于区间[1，3)的四类家庭中按照分层抽样的方法抽取15人参加由政府组织的一个听证会(每个家庭有1个代表参会)，家庭月均用水量超过2吨的抽取 15×＝8人， 家庭月均用水量不超过2吨的抽取15－8＝7人． 在听证会上又在这15个人中任选1人发言， 则这个人的家庭月均用水量超过2吨的概率为P＝. 19．(17分)某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种型号的汽车各50辆，分别统计了每辆车在2023年11月22日至11月28日的出租天数，统计数据如下表： A型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 3 30 5 7 5 B型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 10 10 15 10 5 (1)试根据上面的统计数据，判断这两种型号的汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的方差的大小关系；(7分) (2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由．(10分) 解：(1)50辆A型汽车出租天数的平均数为 A＝×(3×3＋4×30＋5×5＋6×7＋7×5)＝4.62， 所以s＝×[(3－4.62)2×3＋(4－4.62)2×30＋(5－4.62)2×5＋(6－4.62)2×7＋(7－4.62)2×5]＝1.235 6， 50辆B型汽车出租天数的平均数为 B＝×(3×10＋4×10＋5×15＋6×10＋7×5)＝4.8， 所以s＝×[(3－4.8)2×10＋(4－4.8)2×10＋(5－4.8)2×15＋(6－4.8)2×10＋(7－4.8)2×5]＝1.56. 所以B型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的方差较大． (2)方案一：因为A型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.62，B型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.8， 所以选择B型汽车的利润较大，故应该购买B型汽车． 方案二：因为A型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.62，B型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.8，而B型汽车出租天数的方差较大，所以选择A型汽车． 学科网（北京）股份有限公司 $